解決（代数）

数学、より具体的にはホモロジー代数において、解析（または左解析、二重にコア解析または右解析^[1]）は、特定のモジュールまたはこのカテゴリのオブジェクトの構造を特徴付ける不変量を定義するために使用される、モジュール（または、より一般的には、アーベルカテゴリのオブジェクト）の正確なシーケンスです。通常、矢印が右向きの場合、シーケンスは（左）解析の場合は左に無限であり、右解析の場合は右に無限であると想定されます。ただし、有限解析は、シーケンス内のオブジェクトのうち有限個のみがゼロ以外のものである場合です。これは通常、左端のオブジェクト（解析の場合）または右端のオブジェクト（コア解析の場合）がゼロオブジェクトである有限正確なシーケンスによって表されます。^[2]

一般に、シーケンス内のオブジェクトは、何らかのプロパティP (たとえば、自由である) を持つように制限されます。したがって、P 解像度と呼ばれます。特に、すべてのモジュールには、自由解像度、 射影解像度、および平坦解像度があり、それぞれ自由モジュール、射影モジュール、または平坦モジュールで構成される左解像度です。同様に、すべてのモジュールには、入射解像度があり、これは、入射モジュールで構成される右解像度です。

環R上の加群Mが与えられたとき、Mの左分解（または単に分解）はR加群 の正確な列（無限の可能性もある）である。

${\displaystyle \cdots {\overset {d_{n+1}}{\longrightarrow }}E_{n}{\overset {d_{n}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d_{3}} {\longrightarrow }}E_{2}{\overset {d_{2}}{\longrightarrow }}E_{1}{\overset {d_{1}}{\longrightarrow }}E_{0}{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.}$

準同型写像d _iは境界写像と呼ばれる。写像εは拡大写像と呼ばれる。簡潔にするために、上記の解決は次のように書くことができる。

${\displaystyle E_{\bullet }{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}M\longrightarrow 0.}$

双対概念は右分解（またはコア分解、あるいは単に分解）である。具体的には、環R上の加群Mが与えられたとき、右分解はR加群 の無限の正確な列である可能性がある。

${\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{0}{\overset {d^{0}}{\longrightarrow }}C^{1}{\overset {d^ {1}}{\longrightarrow }}C^{2}{\overset {d^{2}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {d^{n-1}}{\longrightarrow }}C^{n}{\overset {d^{n}}{\longrightarrow }}\cdots ,}$

ここで、各C ^{i は}Rモジュールである（このような解決の二重性を示すために、解決内のオブジェクトとそれらの間の写像に上付き文字を使用するのが一般的である）。簡潔にするために、上記の解決は次のように書くことができる。

${\displaystyle 0\longrightarrow M{\overset {\varepsilon }{\longrightarrow }}C^{\bullet }.}$

関与するモジュールのうち、ゼロでないモジュールが有限個だけである場合、 (共)分解は有限であると言われます。有限分解の長さは、有限分解内のゼロでないモジュールにラベルを付ける最大インデックスnです。

多くの場合、与えられたモジュールMを解決するモジュールE _iに条件が課されます。たとえば、モジュールMの自由解決は、すべてのモジュールE _iが自由Rモジュールである左解決です。同様に、射影解決と平坦解決は、すべてのE _i がそれぞれ射影R モジュールと平坦Rモジュールである左解決です。単射解決は、C ⁱがすべて単射モジュールである右解決です。

すべてのR加群は自由左分解を持つ。^[3] ましてや、すべての加群は射影分解と平坦分解も許容する。証明のアイデアは、 E _{0 を}Mの要素によって生成される自由R加群として定義し、次にE _{1 を自然写像}E ₀ → Mの核の要素によって生成される自由R加群として定義することなどである。双対的に、すべてのR加群は入射分解を持つ。射影分解（および、より一般的には平坦分解）はTor 関手を計算するために使用できる。

モジュールMの射影分解は、連鎖ホモトピーを除いて一意です。つまり、M の 2 つの射影分解 P 0 → M と P 1 → M が与えられた場合、それらの_間には連鎖ホモトピー_が存在します。

解析はホモロジー次元を定義するのに使用されます。モジュールMの有限射影解析の最小の長さは射影次元と呼ばれ、pd( M ) と表記されます。たとえば、モジュールの射影次元が 0 になるのは、それが射影モジュールである場合のみです。M が有限射影解析を許容しない場合、射影次元は無限大です。たとえば、可換局所環 Rの場合、射影次元が有限になるのは、 Rが正則である場合のみであり、この場合、射影次元はRのKrull 次元と一致します。同様に、モジュールに対しても、入射次元id( M ) と平坦次元fd( M ) が定義されます。

右R加群のカテゴリで、Rのホモロジー次元を定義するために、入射次元と射影次元が使用されます。このホモロジー次元は、 Rの右大域次元と呼ばれます。同様に、平坦次元は、弱大域次元を定義するために使用されます。これらの次元の振る舞いは、環の特性を反映します。たとえば、環が右大域次元 0 を持つのは、半単純環である場合に限ります。また、環が弱大域次元 0 を持つのは、フォン・ノイマン正則環である場合に限ります。

M を次数付き代数上の次数付き加群とし、これは体上にその正の次数の元によって生成される。すると、M には自由加群E _{i が}次数付きとなり、 d _iと ε が次数付き線型写像となるような自由分解が存在する。これらの次数付き自由分解のうち、極小自由分解とは、各E _iの基底元の数が最小となるものである。各E _iの基底元の数とその次数は、次数付き加群のすべての極小自由分解で同じである。

I が体上の多項式環における同次イデアルである場合、 Iによって定義される射影代数集合のカステルヌオーヴォ・マンフォード正則性は、 Iの極小自由分解におけるE _iの基底元の次数がすべてriより低くなるような極小の整数rです。

自由分解の典型的な例は、局所環内の正則列のKoszul 複体、または体上に有限生成された 次数付き代数内の同次正則列の Koszul複体によって与えられます。

X を非球面空間、すなわちその普遍被覆 E が収縮可能であるとする。すると、Eのすべての特異（または単体）鎖複体は、環Z上だけでなく群環Z [ π ₁ ( X )]上でも加群Zの自由分解となる。

アーベル圏AにおけるオブジェクトMの分解の定義は上記と同じですが、E _iとC ^{i は}A内のオブジェクトであり、含まれるすべてのマップはA内の射です。

射影的加群と単射的加群の類似概念は、射影的対象と単射的対象であり、したがって射影的解決と単射的解決である。しかし、そのような解決は一般アーベル圏Aに存在する必要はない。Aのすべての対象が射影的（または単射的）解決を持つ場合、A は十分な数の射影的（または十分な数の単射的）解決を持つと言われる。たとえそれらが存在するとしても、そのような解決は扱いが難しいことが多い。例えば、上で指摘したように、すべてのR加群は単射的解決を持つが、この解決は関数的ではない。すなわち、準同型M → M'と単射的解決が 与えられた場合である。

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow I_{*},\ \ 0\rightarrow M'\rightarrow I'_{*},}$

一般に、との間の写像を得るための関数的な方法は存在しない。 ${\displaystyle I_{*}}$${\displaystyle I'_{*}}$

射影分解のないアーベル圏の例の1つは、スキーム上の連接層の圏である。例えば、が射影空間である場合、上の任意の連接層は、正確なシーケンスによって与えられる表示を持つ 。${\displaystyle {\text{Coh}}(X)}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X=\mathbb {P} _{S}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \bigoplus _{i,j=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i,j})\to \bigoplus _{i=0}{\mathcal {O}}_{X}(s_{i})\to {\mathcal {M}}\to 0.}$

最初の 2 つの項は、 に対して であるため、一般に射影的ではありません。しかし、両方の項は局所的に自由であり、局所的に平坦です。両方のクラスの層は、特定の計算でそのまま使用でき、一部の導関数を計算するための射影解析を置き換えます。 ${\displaystyle H^{n}(\mathbb {P} _{S}^{n},{\mathcal {O}}_{X}(s))\neq 0}$${\displaystyle s>0}$

多くの場合、実際に興味があるのは、解析に現れるオブジェクトではなく、与えられた関数に対する解析の振る舞いである。そのため、多くの状況では、非巡回解析の概念が使用される。2つのアーベル圏の間の左完全関数 F : A → Bが与えられた場合、解析

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow E_{0}\rightarrow E_{1}\rightarrow E_{2}\rightarrow \cdots }$

AのオブジェクトMの導来関手R _i F ( E _n ) がすべてのi  > 0 およびn ≥ 0 に対して消えるとき、その左解析はF非巡回であると呼ばれます 。双対的に、左解析は、その導来関手が解析のオブジェクト上で消えるとき、右完全関手に関して非巡回です。

たとえば、R加群Mが与えられた場合、テンソル積は   右完全関数Mod ( R ) → Mod ( R ) です。すべての平坦な解析は、この関数に関して非巡回です。平坦な解析は、すべてのMによるテンソル積に対して非巡回です。同様に、すべての関数Hom ( ⋅ , M ) に対して非巡回である解析は射影解析であり、関数Hom ( M , ⋅ ) に対して非巡回である解析は入射解析です。 ${\displaystyle \otimes _{R}M}$

任意の左完全（右完全）な関数に対して、 任意の単射（射影）解析はF非巡回です。

非巡回分解の重要性は、導来関手R _i F（左完全関手の導来関手、および右完全関手の導来関手L _i Fも同様）がF非巡回分解のホモロジーとして得られるという事実にある。つまり、オブジェクトMの非巡回分解が与えられたとき、 ${\displaystyle E_{*}}$

${\displaystyle R_{i}F(M)=H_{i}F(E_{*}),}$

ここで右辺は複体のi番目のホモロジーオブジェクトである。${\displaystyle F(E_{*}).}$

この状況は多くの状況に当てはまります。たとえば、微分可能多様体M上の定数層 Rは、滑らかな微分形式の層によって解決できます。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{*}(M)}$

${\displaystyle 0\rightarrow R\subset {\mathcal {C}}^{0}(M){\stackrel {d}{\rightarrow }}{\mathcal {C}}^{1}(M){\stackrel {d}{\rightarrow }}\cdots {\stackrel {d}{\rightarrow }}{\mathcal {C}}^{\dim M}(M)\rightarrow 0.}$

層は細層であり、大域断面関数に関して非巡回であることが知られている。したがって、大域断面関数Γの導来関数である 層コホモロジーは次のように計算される。${\displaystyle {\mathcal {C}}^{*}(M)}$${\displaystyle \Gamma :{\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}(M)}$${\displaystyle \mathrm {H} ^{i}(M,\mathbf {R} )=\mathrm {H} ^{i}({\mathcal {C}}^{*}(M)).}$

同様に、Godement 解決はグローバル セクション ファンクタに関して非循環的です。

• 標準解像度
• ヒルベルト・バーチの定理
• ヒルベルトの朔望定理
• 無料プレゼンテーション
• 行列の因数分解（代数）

• イアン・T・アダムソン（1972）「初等環と加群」、大学数学テキスト、オリバー・アンド・ボイド、ISBN 0-05-002192-3
• アイゼンバッド、デイヴィッド（1995）、可換代数。代数幾何学に向けて、Graduate Texts in Mathematics、第150巻、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 3-540-94268-8、MR  1322960、Zbl  0819.13001
• ジェイコブソン、ネイサン(2009) [1985]、基礎代数 II (第 2 版)、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-47187-7
• ラング、セルジュ（1993）、代数学（第3版）、マサチューセッツ州レディング：アディソンウェスレー、ISBN 978-0-201-55540-0、ZBL  0848.13001
• ワイベル、チャールズ A. (1994)。ホモロジー代数入門。ケンブリッジ高等数学研究。第 38 巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-55987-4. MR  1269324. OCLC  36131259.