有限生成モジュール

数学において、有限生成加群は有限生成集合を持つ加群である。環R上の有限生成加群は有限R加群、R上の有限、^[1]、または有限型加群とも呼ばれる。

関連する概念には、有限共生成加群、有限提示加群、有限関連加群、コヒーレント加群があり、これらはすべて以下で定義されます。ネーター環上では、有限生成加群、有限提示加群、コヒーレント加群の概念は一致します。

体上の有限生成加群は単に有限次元 ベクトル空間であり、整数上の有限生成加群は単に有限生成アーベル群です。

左R加群Mが有限生成であるとは、Mにa ₁、a ₂、...、a _{n が}存在し、 Mの任意のxに対して、 Rにr ₁、r ₂、...、r _{n が}存在し、 x = r ₁ a ₁ + r ₂ a ₂ + ... + r _n a _nであるときです。

この場合、集合 { a 1 , a 2 , ..., a n } は M の生成集合と呼ばれます。有限生成集合は R に対して線型独立である必要がないため、基底である必要はありません。真実なのは_、 Mが_有限生成と_なるのは、R線型写像が射影的に存在する場合のみであるということです。

${\displaystyle R^{n}\to M}$

あるnに対して（Mは有限ランクの自由モジュールの商）。

集合Sが有限生成の加群を生成する場合、 Sに含まれる有限生成集合が存在します。これは、有限生成集合内の生成元を表現するにはS内の有限個の要素のみが必要であり、これらの有限個の要素が生成集合を形成するためです。ただし、Sに最小濃度の有限生成集合が含まれないこともあります。たとえば、素数の集合は-加群として見ると の生成集合であり、素数から形成される生成集合には少なくとも 2 つの要素があり、単集合{1}も生成集合です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

モジュール Mが体R上のベクトル空間であり、生成集合が線型独立である場合、n は明確に定義され、Mの次元と呼ばれます(明確に定義されるとは、任意の線型独立な生成集合がn個の要素を持つことを意味します。これはベクトル空間の次元定理です)。

任意のモジュールは、その有限生成サブモジュールの有向集合の和集合です。

モジュールMが有限生成である場合、かつその場合のみ、和Mを持つサブモジュールの増加チェーンM _{i は}安定します。つまり、 M _i = Mとなるiが存在します。この事実は、ゾルンの補題とともに、すべての非ゼロの有限生成モジュールは最大サブモジュールを許容することを意味します。サブモジュールの増加チェーンが安定する場合 (つまり、任意のサブモジュールが有限生成である場合)、モジュールMはノイザン モジュールと呼ばれます。

• モジュールが 1 つの要素によって生成される場合、それは巡回モジュールと呼ばれます。
• R を整域とし、Kをその分数体とする。すると、 Kの有限生成R部分加群I はすべて分数イデアルになる。つまり、RにはrI がRに含まれるような非ゼロのrが存在する。実際、 r をIの生成子の分母の積とすることができる。Rがネーターである場合、すべての分数イデアルはこのようにして生じる。
• 整数環 Z上の有限生成加群は有限生成アーベル群と一致する。これらは、 Z を主イデアル領域としてとった構造定理によって完全に分類される。
• 分割環上の有限生成（つまり左）加群は、（分割環上の）正確に有限次元ベクトル空間です。

有限生成加群のすべての準同型像は有限生成です。一般に、有限生成加群のサブ加群は有限生成である必要はありません。例として、可算変数のすべての多項式の環R  =  Z [ X ₁ , X ₂ , ...]を考えます。R自体は有限生成 R 加群です(生成集合は {1})。定数項がゼロの多項式すべてからなるサブ加群K を考えます。すべての多項式には係数がゼロでない項が有限個しか含まれていないため、R加群Kは有限生成ではありません。

一般に、すべてのサブモジュールが有限生成である場合、モジュールはネーターであると言われます。ネーター環上の有限生成モジュールはネーターモジュールです（実際、この特性はネーター環を特徴付けます）。ネーター環上のモジュールが有限生成であるのは、それがネーターモジュールである場合に限ります。これは、 ネーター環R上の多項式環R [ X ] はネーターであると述べているヒルベルトの基底定理に似ていますが、正確には同じではありません。両方の事実は、ネーター環上の有限生成可換代数が再びネーター環であることを意味しています。

より一般的には、有限生成加群である代数（例えば環）は有限生成代数です。逆に、有限生成代数が（係数環上で）積分である場合、それは有限生成加群です。（詳細については積分元を参照してください。）

0 → M ′ → M → M ” → 0 を加群の正確なシーケンスとします。このとき、 M ′、M ” が有限生成であれば、 M は有限生成です。この逆は部分的に存在します。M が有限生成で、M” が有限提示である場合(有限生成よりも強い、下記参照)、M ′ は有限生成です。また、M ′、M ”がノイザン (ノイザン、ノイザン アルティニアン) である場合に限り、Mはノイザン (ノイザン、ノイザン アルティニアン) です。

B を環とし、A をその部分環として、 B が忠実に平坦な右A加群となるようにする。このとき、左A加群Fが有限生成（有限提示）されるための必要十分条件は、B加群B ⊗ _A Fが有限生成（有限提示）されるためである。^[2]

可換環R上の有限生成加群の場合、中山の補題は基本的である。この補題により、有限生成加群の有限次元ベクトル空間現象を証明できる場合がある。たとえば、f  : M → Mが有限生成加群MのR自己 同型射であれば、fは単射でもあるため、Mの自己同型となる。^[3] これは、Mがホップ加群であることを単純に示している。同様に、アルティン加群M はコホップである。つまり、任意の単射自己同型f は、また、単射自己同型でもある。^[4]

任意のRモジュールは、有限生成Rサブモジュールの帰納的極限です。これは、仮定を有限の場合に弱めるのに役立ちます (例: Tor 関数による平坦性の特徴付け)。

有限生成と整数元との関連の一例は、可換代数に見ることができる。可換代数AがR上の有限生成環であるということは、 Aの元集合G = { x ₁ , ..., x _n }が存在し、 GとR を含むAの最小の部分環はA自身であることを意味する。環積は元を結合するのに使用できるため、 Gの元のR線型結合以上のものが生成される。たとえば、多項式環R [ x ] は環としては{1, x }によって有限生成されるが、加群としては生成されない。A がR上の可換代数（単位元を持つ）である場合、次の 2 つのステートメントは同値である: ^[5]

• A は有限生成Rモジュールです。
• A はR上の有限生成環であり、かつRの整拡大でもある。

M を分数体Kを持つ整域A上の有限生成加群とする。このとき次元はA上のMのジェネリック ランクと呼ばれる。この数はM内の最大A線型独立ベクトルの数と同じであり、またはMの最大自由部分加群のランクと同値である(アーベル群のランクを参照)。は捩れ加群であるため、である。 Aがネーターである場合、ジェネリック自由性により、 が自由加群となるような元f ( Mに依存) が存在する。この自由加群のランクはMのジェネリック ランクである。 ${\displaystyle \operatorname {dim} _{K}(M\otimes _{A}K)}$${\displaystyle (M/F)_{(0)}=M_{(0)}/F_{(0)}=0}$${\displaystyle M/F}$${\displaystyle M[f^{-1}]}$${\displaystyle A[f^{-1}]}$

ここで、積分領域A が体k上の有限個の次数同次元による代数として生成されると仮定する。Mも次数付きで、Mのポアンカレ級数を とする。ヒルベルト・セールの定理により、となる多項式F が存在する。すると、Mのジェネリック階数は となる。^[6]${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle P_{M}(t)=\sum (\operatorname {dim} _{k}M_{n})t^{n}}$${\displaystyle P_{M}(t)=F(t)\prod (1-t^{d_{i}})^{-1}}$${\displaystyle F(1)}$

主イデアル領域上の有限生成加群は、自由である場合に限り、捩れなしになります。これは、主イデアル領域上の有限生成加群の構造定理の結果であり、その基本形式は、PID 上の有限生成加群は捩れ加群と自由加群の直和であると述べています。ただし、次のように直接示すこともできます。MをPID A上の捩れなしの有限生成加群、F を最大自由サブ加群とします。fをとなるA内の とします。すると、は自由加群のサブ加群であり、A はPID であるため、自由になります。しかし、M は捩れなしである ため、 は同型になります。${\displaystyle fM\subset F}$${\displaystyle fM}$${\displaystyle f:M\to fM}$

上記と同じ議論により、デデキント域 A (またはより一般的には半遺伝環) 上の有限生成加群が捩れなしとなるのは、それが射影的である場合に限ります。したがって、A上の有限生成加群は、捩れ加群と射影加群の直和です。ノイザン整域上の有限生成射影加群は階数が一定であるため、 A上の有限生成加群のジェネリック階数は、その射影部分の階数です。

以下の条件は、 M が有限生成 (fg) であること と同等です。

• Mの任意の部分モジュール族 { N _i | i ∈ I }に対して、であれば、Iの有限部分集合Fに対して が成り立ちます。${\displaystyle \sum _{i\in I}N_{i}=M\,}$${\displaystyle \sum _{i\in F}N_{i}=M\,}$
• M内の任意のサブモジュールのチェーン{ N _i | i ∈ I }について、 であれば、I内の任意のiに対してN _i = M が成立します。${\displaystyle \bigcup _{i\in I}N_{i}=M\,}$
• がエピモフィズムである場合、制限はIの有限部分集合Fに対するエピモフィズムです。${\displaystyle \phi :\bigoplus _{i\in I}R\to M\,}$${\displaystyle \phi :\bigoplus _{i\in F}R\to M\,}$

これらの条件から、有限生成であることは森田同値によって保存される特性であることが容易に分かります。条件は、有限共生成モジュールMの双対概念を定義するのにも便利です。次の条件は、モジュールが有限共生成であること (f.cog.) と同等です。

• Mの任意の部分モジュール族 { N _i | i ∈ I }に対して、であれば、Iの有限部分集合Fに対して が成り立ちます。${\displaystyle \bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,}$${\displaystyle \bigcap _{i\in F}N_{i}=\{0\}\,}$
• M内の任意のサブモジュールのチェーン { N _i | i ∈ I }について、 であれば、I内の任意のiに対してN _i = {0} が成立します。${\displaystyle \bigcap _{i\in I}N_{i}=\{0\}\,}$
• が単射であり、それぞれがRモジュールである場合、 は Iの有限部分集合Fに対する単射です。${\displaystyle \phi :M\to \prod _{i\in I}N_{i}\,}$${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle \phi :M\to \prod _{i\in F}N_{i}\,}$

fg モジュールと f.cog. モジュールは両方とも、ノイザン モジュールとアルティン モジュール、およびモジュールのヤコブソン ラジカル J ( M ) とsocle soc( M ) と興味深い関係があります。次の事実は、2 つの条件間の双対性を示しています。モジュールMの場合:

• Mがネーター的であること、そしてその場合のみ、Mのすべての部分加群Nはfgである。
• Mが Artinian である場合、かつその場合に限り、すべての商モジュールM / Nは f.cog です。
• Mが fg であるのは、J ( M ) がMの余分な部分モジュールであり、M / J ( M ) が fg である場合に限ります。
• Mが f.cog. であるためには、 soc( M ) がMの本質的部分加群であり、 soc( M ) が fg であるためである。
• M が半単純モジュール(任意のモジュールNの soc( N )など)である場合、 f.cog の場合にのみ fg になります。
• Mがfgかつ非ゼロの場合、Mは最大サブモジュールを持ち、任意の商モジュールM / Nはfgである。
• Mが f.cog. かつ 0 以外の場合、M には最小サブモジュールがあり、Mの任意のサブモジュールNは f.cog です。
• NとM / Nが fg であれば、 Mも fgです。「fg」を「f.cog」に置き換えた場合も同様です。

有限生成加群は有限の一様次元を持たなければなりません。これは有限生成本質基底を用いた特徴付けを適用することで簡単にわかります。いくぶん非対称ですが、有限生成加群は必ずしも有限の一様次元を持つわけではありません。たとえば、非ゼロ環の無限直積は、それ自体の有限生成 (巡回!) 加群ですが、明らかに非ゼロ部分加群の無限直和を含んでいます。有限生成加群も必ずしも有限の共一様次元を持つわけではありません。R / J ( R ) が半単純環ではないような単位元を持つ任意の環Rは反例です。

別の定式化は次のようになります。有限生成モジュールMとは、 R ^{k を}Mに写像するエピモーフィズムが存在するモジュールです 。

f: Rk → M^です。

いま、エピモーフィズムがあると仮定すると、

φ  : F → M .

モジュールMと自由モジュールFの場合。

• φの核が有限生成である場合、 Mは有限関連モジュールと呼ばれます。M はF /ker( φ )と同型であるため、これは基本的に、自由モジュールを取り、 F内に有限個関係 (ker( φ )の生成元) を導入することによってMが得られることを表します。
• φの核が有限生成でF が有限階数を持つ場合 (つまりF = R ^k )、M は有限提示加群と呼ばれます。ここで、Mは有限個の生成元 ( F = R ^kのk個の生成元の像) と有限個の関係 ( ker( φ )の生成元) を使用して指定されます。自由提示も参照してください。有限提示加群は、 R加群のカテゴリ内の抽象プロパティによって特徴付けることができます。つまり、それらはまさにこのカテゴリ内のコンパクトなオブジェクトです。
• コヒーレント モジュール Mは、有限生成サブモジュールが有限に提示される有限生成モジュールです。

任意の環R上で、コヒーレントな加群は有限に提示され、有限に提示された加群は有限に生成され、有限に関連しています。ネーター環Rの場合、有限に生成され、有限に提示され、コヒーレントであることは、加群に対する同値な条件です。

射影的または平坦なモジュールでは、いくつかのクロスオーバーが発生します。有限生成射影モジュールは有限に提示され、有限関連平坦モジュールは射影的です。

また、環Rに対して以下の条件が同値であることも真です。

1. R は右連接環である。
2. モジュールR _{R は}コヒーレント モジュールです。
3. すべての有限に提示された右Rモジュールはコヒーレントです。

コヒーレンスは有限生成や有限提示よりも扱いにくい条件のように思えますが、コヒーレント加群のカテゴリはアーベルカテゴリであるため、コヒーレンスは有限生成や有限提示よりも扱いやすい条件です。一方、一般に有限生成加群も有限提示​​加群もアーベルカテゴリを形成しません。

• 積分要素
• アルティン・リースの補題
• 可算生成モジュール
• 有限代数

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• ラム、TY (1999)、「モジュールと環に関する講義」、数学大学院テキスト第189号、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-98428-5
• ラング、セルジュ（1997）、代数学（第3版）、アディソン・ウェズリー、ISBN 978-0-201-55540-0
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