Ext 関数

数学において、Ext 関手はHom 関手の導出関手です。Tor関手とともに、Ext はホモロジー代数の中核概念の 1 つであり、代数的位相幾何学の考え方を使用して代数構造の不変量を定義します。群のコホモロジー、リー代数、結合代数はすべて Ext で定義できます。名前は、最初の Ext 群 Ext ^{1 が1 つの}モジュールの拡張を別のモジュールで分類するという事実に由来しています。

アーベル群の特殊なケースでは、Ext はラインホルド・ベーア(1934)によって導入されました。これはサミュエル・アイレンバーグとサンダース・マクレーン(1942)によって命名され、位相幾何学 (コホモロジー の普遍係数定理) に適用されました。任意の環上の加群に対して、Ext はアンリ・カルタンとアイレンバーグによって 1956 年の著書Homological Algebraで定義されました。^[1]

を環とし、を上の加群のカテゴリとします。(これは左-加群または右-加群のいずれかを意味すると解釈できます。) 固定された-加群に対して、においてとします。(これはからへの -線型写像のアーベル群です。が可換である場合、これは -加群です。) これはから のアーベル群のカテゴリへの左完全関数であり、したがって右導来関数を持ちます。Ext 群は、次によって定義されるアーベル群です。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle T(B)={\text{Hom}}_{R}(A,B)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(A,B)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ ${\displaystyle R^{i}T}$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}T)(B),}$

整数 iに対して、定義により、これは次のことを意味する。任意の単射解を取る

${\displaystyle 0\to B\to I^{0}\to I^{1}\to \cdots ,}$

項Bを削除し、コチェーン複合体を形成する。

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\to \cdots .}$

各整数iについて、Ext_私^は
( A , B ) は、この複体のiの位置におけるコホモロジーです。 i が負の場合は 0 になります。たとえば、Ext⁰
_回答( A , B )はHom _R ( A , I ⁰ ) → Hom _R ( A , I ^{1 )の}核であり、これはHom _R ( A , B )と同型である。

別の定義では、固定されたRモジュールBに対して、関数G ( A )=Hom _R ( A , B ) を使用します。これは反変関数であり、Ab^の反対カテゴリ( R -Mod)からの左完全関数として見ることができます。Ext グループは、右導出関数R ⁱ Gとして定義されます。

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}G)(A).}$

つまり、任意の射影解像度を選択する

${\displaystyle \cdots \to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,}$

項Aを削除して、コチェーン複合体を形成します。

${\displaystyle 0\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{0},B)\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{1},B)\to \cdots .}$

その後Ext_私^は
( A , B )は、この複合体の位置iにおけるコホモロジーである。

なぜこれまで解決の選択が曖昧にされてきたのか疑問に思う人もいるかもしれない。実際、CartanとEilenbergは、これらの構成は射影的解決か単射的解決かの選択とは独立であり、どちらの構成でも同じExt群が得られることを示した。^[2]さらに、固定された環Rに対して、Extは各変数の関手である（Aでは反変、 Bでは共変）。

可換環RとR加群AとBに対して、 Ext_私^は
( A , B ) はR加群である（この場合 Hom _R ( A , B ) はR加群であることを用いる）。非可換環Rに対して、 Ext_私^は
( A , B ) は一般にアーベル群に過ぎない。Rが環 S上の代数である場合(特にSが可換であることを意味する)、Ext_私^は
( A、B ) は少なくともS加群である。

Ext群の基本的な性質と計算のいくつかを次に示します。^[3]

• 内線⁰
  _回答任意のR加群AとBに対して、( A、B ) ≅ Hom _R ( A、B ) です。

• 内線_私^は
  RモジュールAが射影的（たとえば自由）であるか、 Bが単射的である場合、すべてのi > 0に対して( A , B ) = 0です。

• 逆もまた成り立ちます:
  • 内線の場合¹
    _ル( A , B ) = 0 がすべてのBに対して成り立つならば、Aは射影的である（したがって Ext_私^は
    ( A、B ) = 0（すべてのi > 0 について）
  • 内線の場合¹
    _ル( A , B ) = 0 がすべてのAに対して成立する場合、Bは単射である（したがって Ext_私^は
    ( A、B ) = 0（すべてのi > 0 について）

• ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{i}(A,B)=0}$すべてのi≥2およびすべてのアーベル群AとBに対して。^[4]

• 前の例を一般化すると、R が主イデアル領域である場合、すべてのi ≥ 2に対して次の式が成り立ちます。${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=0}$

• Rが可換環であり、Rのuが零因子でない場合、

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B[u]&i=0\\B/uB&i=1\\0&{\text{それ以外の場合、}}\end{cases}}}$

任意のR加群Bに対して成り立ちます。ここでB [ u ] はBのu捩れ部分群、{ x ∈ B : ux = 0} を表します。R を整数環とすると、この計算は任意の有限生成アーベル群Aに対して計算するために使用できます。${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)}$

• 前の例を一般化すると、最初のモジュールが可換環の任意の正規列による商である場合、Koszul複体を使用してExt群を計算できます。^[5]たとえば、Rが体k上の多項式環 k [ x ₁ ,..., x _n ]である場合、Ext^*
  _り( k , k )は Ext ^1のn 個の生成元k上の外積代数 Sである。さらに、 Ext^*
  _ス( k , k )は多項式環Rです。これはKoszul双対性の例です。

• 導来関手の一般的な性質により、Extには2つの基本的な完全列が存在する。^[6]まず、R加群の短完全列0 → K → L → M → 0は、次の形式の長完全列を誘導する。

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(A,K)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,L)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,M)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,K)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,L)\to \cdots ,}$

任意のR加群Aに対して成立する。また、短完全列 0 → K → L → M → 0 は、長完全列として次の形式を導く。

${\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} _{R}(M,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(L,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(K,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(L,B)\to \cdots ,}$

任意のRモジュールBに対して。

• Extは、最初の変数の直和（無限大の可能性あり）と、 2番目の変数の積を積にとります。 ^[7]つまり、

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(M,\prod _{\alpha }N_{\alpha }\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N_{\alpha })\end{aligned}}}$

• A を可換ノイザン環 R上の有限生成加群とする。このとき、 Ext は局所化と可換であり、 R内の任意の乗法的に閉じた集合 S、任意のR加群B、および任意の整数iに対して、^[8]

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)\cong \operatorname {Ext} _{S^{-1}R}^{i}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).}$

Ext群は、加群の拡張との関係からその名前が付けられている。R加群AとBが与えられたとき、BによるAの拡張はR加群 の短完全列である。

${\displaystyle 0\to B\to E\to A\to 0.}$

2つの拡張機能

${\displaystyle 0\to B\to E\to A\to 0}$

${\displaystyle 0\to B\to E'\to A\to 0}$

可換図式が存在する場合、 （ AのBによる拡張として）は同値であると言われる。

5番目の補題は、中央の矢印が同型であることを意味していることに注意する。AのBによる拡大は、それが自明な拡大と同値である場合に分割と呼ばれる。

${\displaystyle 0\to B\to A\oplus B\to A\to 0.}$

AのBによる拡大の同値類とExtの要素の間には1対1の対応がある。¹
_ル（A、B）^[9]自明な拡大はExtのゼロ元に対応する。¹
_ル（A、B）。

ベール和は、外積分上のアーベル群構造の明示的な記述である。¹
_ル（A、B ）は、 AのBによる拡大の同値類の集合として見られる。^[10]すなわち、2つの拡大が与えられたとき、

${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow[{f}]{}}E{\xrightarrow[{g}]{}}A\to 0}$

そして

${\displaystyle 0\to B{\xrightarrow[{f'}]{}}E'{\xrightarrow[{g'}]{}}A\to 0,}$

まずプルバックを形成し、 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \Gamma =\left\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\right\}.}$

次に商モジュールを形成する

${\displaystyle Y=\Gamma /\{(f(b),-f'(b))\;|\;b\in B\}.}$

EとE′のベール和は拡張である

${\displaystyle 0\to B\to Y\to A\to 0,}$

最初のマップは で、2 番目のマップは です。 ${\displaystyle b\mapsto [(f(b),0)]=[(0,f'(b))]}$${\displaystyle (e,e')\mapsto g(e)=g'(e')}$

拡大の同値性を除き、ベール和は可換であり、自明な拡大を単位元として持ちます。拡大 0 → B → E → A → 0の負は、同じモジュールE を含む拡大ですが、準同型B → Eがその負に置き換えられています。

米田信夫はアーベル群を定義した Ext^nC
_​( A , B ) は任意のアーベル圏C内のオブジェクトAとBに対して成り立ちます。これは、 C に十分な射影または十分な単射がある場合、分解の観点から定義と一致します。まず、Ext ⁰
_℃( A , B ) = Hom _C ( A , B )。次に、Ext¹
_世紀( A , B ) は、 AのBによる拡大の同値類の集合であり、ベール和の下でアーベル群を形成する。最後に、より高次の Ext 群 Ext^nC
_​( A , B )は、n次元拡張の同値類として定義され、これは正確なシーケンスである。

${\displaystyle 0\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0,}$

２つの拡張を識別する関係によって生成される 同値関係の下で

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi :0&\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0\\\xi ':0&\to B\to X'_{n}\to \cdots \to X'_{1}\to A\to 0\end{aligned}}}$

{1, 2, ..., n }内のすべてのmに対して写像が存在し、結果として得られるすべての平方が可換である場合、つまり、 AとB上の恒等写像である連鎖写像 が存在する場合。 ${\displaystyle X_{m}\to X'_{m}}$ $${\displaystyle {\begin{array}{cc cc cc c cc cc cc}0&\longrightarrow &B&\longrightarrow &X_{n}&\longrightarrow &\dots &\longrightarrow &X_{1}&\longrightarrow &A&\longrightarrow &0\\&&{\Bigg \Vert }&&{\Bigg \downarrow }\iota _{n}\!&&&&{\Bigg \downarrow }\iota _{1}&&{\Bigg \Vert }&&\\0&\longrightarrow &B&\longrightarrow &X'_{n}&\longrightarrow &\dots &\longrightarrow &X'_{1}&\longrightarrow &A&\longrightarrow &0\end{array}}}$$ ${\displaystyle \iota \colon \xi \to \xi '}$

上記の2つのn-拡張のベール和は、をA上の引き戻し、をB下の押し出しとすることで形成される。^[11]すると、拡張のベール和は次のようになる。 ${\displaystyle X''_{1}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X'_{1}}$${\displaystyle X''_{n}}$${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle X'_{n}}$

${\displaystyle 0\to B\to X''_{n}\to X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\to \cdots \to X_{2}\oplus X'_{2}\to X''_{1}\to A\to 0.}$

重要な点は、アーベル圏Cの Ext 群は、 Cに付随する圏、導来圏 D ( C )の射の集合として見ることができるということである。 ^{[12]導来圏の対象は}Cの対象の複合体である。具体的には、

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)=\operatorname {Hom} _{D({\mathbf {C} })}(A,B[i]),}$

ここで、 Cのオブジェクトは 0 次に集中した複素数とみなされ、[ i ] は複素数をiステップ左にシフトすることを意味します。この解釈から、双線型写像が存在します。これは、米田積と呼ばれることもあります。

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)\times \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{j}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i+j}(A,C),}$

これは単純に導来カテゴリにおける射の合成です。

米田積は、より基本的な言葉で記述することもできます。i = j = 0 の場合、積はカテゴリCのマップの合成です。一般に、積は 2 つの米田拡大をつなぎ合わせることで定義できます。

あるいは、米田積は分解の観点から定義することもできます。（これは導来カテゴリの定義に近いです。）たとえば、R を環とし、R加群A、B、Cとし、P、Q、T をA、B、Cの射影分解とします。すると、Ext_私^は
( A , B )は連鎖写像P → Q [ i ]の連鎖ホモトピー類の群と同一視できる。米田積は連鎖写像を合成することで与えられる:

${\displaystyle P\to Q[i]\to T[i+j].}$

これらの解釈のいずれによっても、米田積は結合的です。その結果、任意のR加群Aに対して、は次数付き環になります。たとえば、これは と見ることができるため、群コホモロジー上の環構造を与えます。また、米田積の結合性により、任意のR加群AおよびBに対して、は 上の加群です。 ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)}$ ${\displaystyle H^{*}(G,\mathbb {Z} ),}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,B)}$${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)}$

• 群コホモロジーはによって定義されます。ここで、Gは群、Mは整数上のGの表現、 はGの群環です。${\displaystyle H^{*}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,M)}$${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

• 体k上の代数 AとA双加群Mに対して、ホックシルトコホモロジーは次のように定義される。

${\displaystyle HH^{*}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}^{*}(A,M).}$

• リー代数コホモロジー はによって定義されます。ここで は可換環k上のリー代数、Mは- 加群、 は普遍包絡代数です。${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{*}(k,M)}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$

• 位相空間 Xに対して、層コホモロジーは次のように定義できます。ここで、 Ext はX上のアーベル群の層のアーベル圏で取られ、局所定数値関数の層です。${\displaystyle H^{*}(X,A)=\operatorname {Ext} ^{*}(\mathbb {Z} _{X},A).}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• 留数体kを持つ可換ノイザン局所環 Rに対して、はk上の次数付きリー代数π*( R )の普遍包絡代数であり、Rのホモトピー・リー代数として知られています。（正確には、k が標数2を持つとき、 π*( R ) は「調整されたリー代数」として見なされる必要があります。^{[13] ）}アンドレ・キラン・コホモロジーD *( k / R , k ) から π*( R ) への次数付きリー代数の自然な準同型があり、 kが標数 0 を持つ場合、これは同型です。^[14]${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{*}(k,k)}$

• グローバル次元
• バー解像度
• グロタンディーク群
• グロタンディークの局所双対性

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