リーマン予想

数学において、リーマン予想とは、リーマンゼータ関数が負の偶数と実部を持つ複素数でのみ零点を持つという予想である。 1/2⁠ 。純粋数学における最も重要な未解決問題であると多くの人が考えています。^[1]素数の分布に関する結果を示唆するため、数論において非常に興味深い問題です。ベルンハルト・リーマン(1859)によって提唱され 、彼にちなんで名付けられました。

リーマン予想とその一般化のいくつかは、ゴールドバッハ予想や双子素数予想とともに、デイヴィッド・ヒルベルトの未解決問題23のうち8番目の問題である。また、この問題はクレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題の一つでもあり、同研究所はこれらの問題の解決に100万ドルの賞金を提供している。この名前は、有限体上の曲線に対するリーマン予想など、いくつかの密接に関連する類似問題にも使用されている。

リーマンゼータ関数ζ ( s ) は、引数sが1 以外の任意の複素数で、その値も複素数である関数です。この関数は負の偶数でゼロになります。つまり、 sが -2、-4、-6、... のいずれかのとき、 ζ ( s ) = 0 になります。これらは自明なゼロと呼ばれます。ゼータ関数は、sの他の値でもゼロになり、非自明なゼロと呼ばれます。リーマン予想は、これらの非自明なゼロの位置に関するもので、次のことを述べています。

リーマンゼータ関数の任意の非自明な零点の実部は ⁠1/2⁠ .

したがって、仮説が正しければ、すべての非自明なゼロは、複素数からなる臨界線上に存在することになる。1/2⁠ + i t、ここでtは実数、 i は虚数単位です。

リーマンゼータ関数は、実部が1より大きい複素数sに対して、絶対収束する 無限級数によって定義される。

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$

レオンハルト・オイラーは1730年代にバーゼル問題の解法と併せてsの実数値についてこの級数を検討した。また、これがオイラー積に等しいことも証明した。

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdots }$

ここで無限積はすべての素数pに渡る。^[2]

リーマン予想は、この級数とオイラー積の収束領域外の零点について論じている。この予想を理解するには、関数を解析的に接続して、すべての複素数sに対して有効な形式を得る必要がある。ゼータ関数は有理型であるため、この解析接続をどのように実行しても、恒等定理により同じ結果になる。この接続の最初のステップでは、ゼータ関数とディリクレ・イータ関数の級数が次の関係を満たすこと を観察する。

${\displaystyle \left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots ,}$

は、両方の級数の収束領域内にあります。しかし、右側のイータ関数級数は、sの実部が 1 より大きい場合だけでなく、より一般的にはs が正の実部を持つ場合は常に収束します。したがって、ゼータ関数は と再定義することができ、 Re( s ) > 1から、がゼロである点を除いて、より広い領域Re( s ) > 0に拡張できます。これらは、任意の非ゼロの整数をとることができる点です。ゼータ関数は、極限を取ることによってこれらの値にも拡張でき (ディリクレのイータ関数 § ζ ( s ) = η ( s )/0 に関するランダウの問題と解 を参照)、 s = 1の単純な極を除く、正の実部を持つsのすべての値に対して有限の値を与えます 。 ${\displaystyle \eta (s)/(1-2/2^{s})}$${\displaystyle 1-2/2^{s}}$${\displaystyle s=1+2\pi in/\log 2}$${\displaystyle n}$

0 < Re( s ) < 1の領域では、このゼータ関数の拡張は次の関数方程式を満たす。

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).}$

次に、この式をストリップの外側に適用し、s の実部が非正である（かつs ≠ 0）ときは常にζ ( s ) が式の右側と等しくなるようにすることで、残りのすべての非ゼロ複素数s （ Re ( s ) ≤ 0かつs ≠ 0）に対してζ ( s ) を定義できます。

sが負の偶数の場合、係数 sin( πs / 2) が消えるため、 ζ ( s ) = 0 となります。これらはゼータ関数の自明な零点です。( sが正の偶数の場合、この議論は当てはまりません。なぜなら、ガンマ関数は負の整数引数を取るため、正弦関数の零点はガンマ関数の極によって打ち消されるからです。)

ζ (0) = −1/2 の値は関数方程式によって決定されるのではなく、 s がゼロに近づくにつれてζ ( s )が制限される値です。関数方程式はまた、ゼータ関数には自明なゼロ以外に負の実部を持つゼロがないことを意味しており、したがってすべての非自明なゼロは、s が実部を 0 から 1 の間に持つ臨界ストリップ内にあります。

• 
  Re( s ) = 1/2の臨界線に沿ったリーマンゼータ関数。実数値は横軸に、虚数値は縦軸に示されています。Re( ζ (1/2 + it ))、Im( ζ (1/2 + it ))は、 tが-30から30の範囲でプロットされています。 ^[3]
• リーマンゼータ関数の臨界帯 (青、s の実部は 0 から 1 の間)、臨界線 (赤、sの実部は0.5)、およびゼロ (赤とオレンジの交差) を 3D で示すアニメーション: [ x , y , z ] = [Re( ζ ( r + it )), Im( ζ ( r + it )), t ]、ただし 0.1 ≤ r ≤ 0.9、1 ≤ t ≤ 51
• 
  リーマンゼータ関数ζ ( s ) の実部 (赤) と虚部 (青) は、実部 Re( s ) = 1/2 の複素平面上の臨界線に沿っています。ζ( s ) がゼロとなる最初の非自明なゼロは、虚部 Im( s ) が ±14.135、±21.022、および ±25.011 である複素数に対して、両方の曲線が水平の x 軸に接する場所で発生します。

... これは、すべてのWurzelnのリールの罪です。 Hiervon は、より強力な警告を発しました。 ich habe indess die Aufuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Verschen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Unter suchung entbehrlich schien.

...すべてのルーツが本物である可能性が非常に高いです。もちろん、ここで厳密な証明を望む人もいるでしょう。いくつかの束の間の無駄な試みの後、当分の間、これが私の調査の当面の目的には不可欠であると思われるため、暫定的にこの探索を脇に置いた。

— リーマン予想についてのリーマンの発言 (Riemann 1859 より)。 (彼は、実数直線が臨界直線にマッピングされるように修正されたゼータ関数の変種について議論していました。)

リーマンの死後、彼の論文の中に「ζ ( s ) (問題の関数) のこれらの特性は、その表現から導き出されたが、私はそれを公表できるほど単純化できなかった」というメモが見つかりました。その表現がどのようなものなのか、私たちはまだ少しもわかっていません。彼が単純に述べた特性については、私が 1 つ (リーマン予想自体) を除いてすべてを証明するまでに約 30 年かかりました。

— ジャック・アダマール、『数学者の心』、VIII。直観の逆説的な事例

リーマンがゼータ関数とその零点を研究する最初の動機は、与えられた数x以下の素数π ( x ) の数を表す明示的な公式にそれらが現れることであった。この公式は、彼が 1859 年の論文「与えられた大きさより小さい素数の個数について」で発表された。彼の公式は、関連する関数で与えられた。

${\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi (x^{1/2})+{\tfrac {1}{3}}\pi (x^{1/3})+{\tfrac {1}{4}}\pi (x^{1/4})+{\tfrac {1}{5}}\pi (x^{1/5})+{\tfrac {1}{6}}\pi (x^{1/6})+\cdots }$

これはxまでの素数と素数累乗を数え、素数累乗p ^{n を}1 ⁄ nとして数える。この関数から、メビウスの反転公式を使って素数の個数を復元できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi (x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi (x^{1/n})\\&=\Pi (x)-{\frac {1}{2}}\Pi (x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\Pi (x^{1/3})-{\frac {1}{5}}\Pi (x^{1/5})+{\frac {1}{6}}\Pi (x^{1/6})-\cdots ,\end{aligned}}}$

ここでμはメビウス関数である。リーマンの公式は

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t(t^{2}-1)\log t}}}$

ここで、和はゼータ関数の非自明な零点にわたっており、Π _{0はΠ をわずかに修正したバージョンであり、}不連続点におけるその値をその上限と下限の平均に置き換えたものである。

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\Pi (x-\varepsilon )+\Pi (x+\varepsilon )}{2}}.}$

リーマンの公式の和は絶対収束しないが、零点ρをその虚数部の絶対値の順に取ることによって評価することができる。第1項に現れる関数liは、発散積分の コーシー主値によって与えられる（オフセットされていない）対数積分関数である。

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\log t}}.}$

ゼータ関数の零点を含む項 li( x ^ρ ) は、 li が 0 と 1 に分岐点を持ち、領域 Re( ρ ) > 0 で複素変数ρの解析接続によって定義される ( x > 1 の場合) ため、定義には注意が必要です。つまり、これらはEi ( ρ log x )と見なす必要があります。その他の項も零点に対応します。支配的な項 li( x ) は、重複度 -1 の零点として考えられるs = 1の極から生じ 、残りの小さな項は自明な零点から生じます。この級数の最初の数項の和のグラフについては、Riesel & Göhl (1970) または Zagier (1977) を参照してください。

この式は、リーマンゼータ関数の零点が素数の「期待される」位置の周りでの振動を制御することを示しています。リーマンは、ゼータ関数の非自明な零点が直線s = 1/2 + itの周りに対称的に分布していることを知っており、そのすべての非自明な零点は0 ≤ Re( s ) ≤ 1 の範囲内にある必要があることも知っていました。彼は、零点のいくつかが実部 1/2 の臨界直線上にあることを確認し、すべての零点がその上にあると示唆しました。これがリーマン予想です。

この結果は予想外のものであり、一見無関係に見える数学の2つの分野、すなわち離散的な研究である数論と、連続的なプロセスを扱う複素解析を結びつけるものであったため、ほとんどの数学者の想像力をかき立てました。

—  （バートン 2006、376 ページ）

リーマン予想の実際的な用途には、リーマン予想の下で真であることが知られている多くの命題と、リーマン予想と同等であることが示されるいくつかの命題が含まれます。

リーマンの、与えられた数より小さい素数の個数に関する明示的な公式は、リーマンゼータ関数の零点の和に関して、素数の期待位置の周りの振動の大きさは、ゼータ関数の零点の実部によって制御される、と述べています。特に、素数定理の誤差項は、零点の位置と密接に関係しています。たとえば、β が零点の実部の上限である場合、^[4] 、ここで は素数計算関数、は対数積分関数、はxの自然対数であり、ここではビッグオー記法が使用されています。1/2 ≤ β  ≤ 1であることは既にわかっています。  ^[5]${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)=O\left(x^{\beta }\log x\right)}$${\displaystyle \pi (x)}$${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$${\displaystyle \log(x)}$

フォン・コッホ（1901）は、リーマン予想が素数定理の誤差の「可能な限り最良の」境界を意味することを証明した。フォン・コッホの結果の正確なバージョンは、シェーンフェルト（1976）によるもので、リーマン予想は以下を意味するとしている。

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log(x),\qquad {\text{for all }}x\geq 2657,}$

ショーンフェルド（1976）は、リーマン予想が次のことを意味することも示した。

${\displaystyle |\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log ^{2}x,\qquad {\text{for all }}x\geq 73.2,}$

ここで はチェビシェフの第二関数です。 ${\displaystyle \psi (x)}$

デュデック（2014）は、リーマン予想は、すべての素数に対して、 ${\displaystyle x\geq 2}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x}$。

定数4/ πは、 xが十分に大きいと仮定すれば、(1 + ε )に簡約される 。これはクラメールの定理の明示的なバージョンである。

リーマン予想は、上記の素数計算関数に加えて、 他の多くの算術関数の増加に対する強い制限を意味します。

一つの例として、メビウス関数μが挙げられます。

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

は、実部が1/2より大きいすべてのsに対して成立し、右辺の和が収束するということは、リーマン予想と同値である。このことから、メルテンス関数が次のように定義される 場合には、

${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$

そして、

${\displaystyle M(x)=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right)}$

は、任意の正の ε に対してリーマン予想と同値である ( JE Littlewood、1912; たとえば、Titchmarsh (1986) の段落 14.25 を参照)。n次Redheffer行列の行列式はM ( n )に等しいため、リーマン予想はこれらの行列式の増加に関する条件としても述べることができる。Littlewood の結果は、その後、Edmund Landau ^[6]、Edward Charles Titchmarsh ^[7]、 Helmut Maier とHugh Montgomery ^[8]、Kannan Soundararajan ^[9]によって何度か改良されている。Soundararajan の結果は、リーマン予想を条件として、

${\displaystyle M(x)=O\left(x^{1/2}\exp \left((\log x)^{1/2}(\log \log x)^{14}\right)\right).}$

リーマン予想はMの増加にかなり厳しい制限を課すが、これはOdlyzko & te Riele (1985)がやや強いメルテンス予想を反証したためである。

${\displaystyle |M(x)|\leq {\sqrt {x}}.}$

もう一つの密接に関連する結果は、ビョルナー (2011) によるもので、リーマン予想は、割り切れる整数の格子によって決定される単体複体のオイラー特性がすべてに対してである(接続代数を参照) という命題と同等であるというものである。 ${\displaystyle o(n^{1/2+\epsilon })}$${\displaystyle \epsilon >0}$

リーマン予想は、μ( n )以外の算術関数の成長率に関する多くの予想と同等である。典型的な例はロビンの定理^[10]であり、σ( n )がシグマ関数である場合、

${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d\mid n}d}$

それから

${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$

すべてのn > 5040に対して、リーマン予想が真である場合に限ります。ここで、γはオイラー・マスケローニ定数です。

関連する境界は2002 年にJeffrey Lagariasによって与えられ、彼はリーマン予想が次の命題と同等であることを証明しました。

${\displaystyle \sigma (n)<H_{n}+\log(H_{n})e^{H_{n}}}$

任意の自然数 n > 1に対して、 n番目の調和数である。^[11]${\displaystyle H_{n}}$

リーマン予想は、不等式

${\displaystyle {\frac {n}{\varphi (n)}}<e^{\gamma }\log \log n+{\frac {e^{\gamma }(4+\gamma -\log 4\pi )}{\sqrt {\log n}}}}$

φ ( n )はオイラーのトーシェント関数、120569#は最初の120569個の素数の積である。[ 12 ^]

もう一つの例はジェローム・フランエルによって発見され、ランダウによって拡張された（フランエルとランダウ（1924）を参照）。リーマン予想は、ファレイ数列の項がかなり正則であることを示すいくつかの命題と同等である。そのような同値性の1つは次の通りである。F _{n が}1/ nから1/1まで のn次のファレイ数列である場合、すべてのε > 0 に対して

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}|F_{n}(i)-{\tfrac {i}{m}}|=O\left(n^{{\frac {1}{2}}+\epsilon }\right)}$

はリーマン予想と同等である。ここで

${\displaystyle m=\sum _{i=1}^{n}\varphi (i)}$

はn次ファレイ数列の項の数です。

群論の例として、g ( n )がn次の対称群S _nの元の最大位数によって与えられるランダウ関数である場合、マシアス、ニコラス、ロビン（1988）は、リーマン予想が境界

${\displaystyle \log g(n)<{\sqrt {\operatorname {Li} ^{-1}(n)}}}$

十分に大きいnに対して。

リーマン予想には他にも弱い結果がいくつかある。その一つは臨界線上のゼータ関数の成長率に関するリンデレーフ予想であり、これは任意のε > 0に対して、

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=O(t^{\varepsilon }),}$

として。 ${\displaystyle t\to \infty }$

リーマン予想は、臨界帯の他の領域におけるゼータ関数の成長率についても、非常に厳しい限界を示唆している。例えば、

${\displaystyle e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq 2e^{\gamma }}$

${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {1/|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq {\frac {12}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }}$

したがってζ（１＋  it ）の成長率とその逆数は２倍まで分かることになる。^[13]

素数定理によれば、平均すると素数pとそれに続く素数 との差はlog pである。しかし、素数間の差は平均よりはるかに大きい場合もある。クラメールは、リーマン予想を仮定すると、すべての差はO ( √ p  log  p ) であることを証明した。これは、リーマン予想を用いて証明できる最良の境界でさえ、真実と思われるものよりはるかに弱いケースである。クラメールの予想によれば、すべての差はO ((log  p ) ² ) であるが、これは平均差より大きいものの、リーマン予想によって示唆される境界よりはるかに小さい。数値的証拠はクラメールの予想を支持している。^[14]

リーマン予想と同等の命題は数多く見つかっていますが、これまでのところ、そのどれもがリーマン予想の証明（または反証）に大きな進展をもたらしていません。いくつかの典型的な例を以下に示します。（他の例は、除数関数σ( n ) に関係します。）

リース基準はリース（1916）によって与えられたもので、

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=O\left(x^{{\frac {1}{4}}+\epsilon }\right)}$

リーマン予想が成り立つ場合のみ、すべての ε > 0 に対して成り立ちます。ハーディ・リトルウッドの条件も参照してください。

ナイマン（1950）は、リーマン予想が真であるのは、次の形式の関数の空間が

${\displaystyle f(x)=\sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\rho \left({\frac {\theta _{\nu }}{x}}\right)}$

ここでρ ( z )_はzの小数部、0≤θν≤1であり、

${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\theta _{\nu }=0,}$

は、単位区間上の二乗可積分関数のヒルベルト空間L ² (0,1)で稠密である。Beurling (1955) はこれを拡張し、ゼータ関数に実部が 1/ pより大きい零点が存在しないのは、この関数空間がL ^{p (0,1) で稠密である場合に限ることを示した。この Nyman-Beurling の基準は、Baez-Duarte [15]}によっての場合に強化された。 ${\displaystyle \theta _{\nu }\in \{1/k\}_{k\geq 1}}$

セーラム（1953）は、リーマン予想が正しいのは、積分方程式が

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {z^{-\sigma -1}\varphi (z)}{{e^{x/z}}+1}}\,dz=0}$

には、非自明な有界解は存在しません。 ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle 1/2<\sigma <1}$

ヴェイユの基準は、ある関数の正値がリーマン予想と同等であるという主張です。これと関連しているのは、ある数列の正値がリーマン予想と同等であるという主張であるリーの基準です。

シュパイザー（1934）は、リーマン予想は、の導関数が帯状領域に零点を持たない という主張と同値であることを証明した。${\displaystyle \zeta '(s)}$${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle 0<\Re (s)<{\frac {1}{2}}.}$

臨界線上に単純なゼロのみを持つということは、その導関数が臨界線上にゼロを持たないことと同等です。 ${\displaystyle \zeta (s)}$

ファレー数列は、1924 年に ジェローム・フランエルとエドモンド・ランドーによって 2 つの同値性を与えられました。

Λで表され、ニコラス・ゴバート・デ・ブリュインとチャールズ・M・ニューマンにちなんで名付けられたデ・ブリュイン・ニューマン定数は、関数

${\displaystyle H(\lambda ,z):=\int _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)\,du}$、

実パラメータλによってパラメータ化され、複素変数zを持ち、超指数関数的に減少する関数を使用して定義される

${\displaystyle \Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9u}-3\pi n^{2}e^{5u})e^{-\pi n^{2}e^{4u}}}$。

λ ≥ Λ のときのみ、 は実零点のみを持つ。リーマン予想はH (0,  z ) のすべての零点が実数であるという主張と同値なので、リーマン予想は という予想と同値である。ブラッド・ロジャースとテレンス・タオは、実際には零点が定数の下限であることを証明することによって、この同値性を発見した。 ^[16]零点が上限でもあることを証明すれば、リーマン予想が証明されることになる。2020 年 4 月現在、上限は である。^[17]${\displaystyle \Lambda \leq 0}$${\displaystyle \Lambda =0}$${\displaystyle \Lambda \leq 0.2}$

いくつかの応用では、リーマン予想だけではなく、ディリクレ L 級数や数体のゼータ関数に一般化リーマン予想が使われます。リーマン ゼータ関数の多くの基本特性は、すべてのディリクレ L 級数に簡単に一般化できるため、リーマン ゼータ関数のリーマン予想を証明する方法は、ディリクレ L 関数の一般化リーマン予想にも適用できると考えられます。一般化リーマン予想を使用して最初に証明されたいくつかの結果は、後にそれを使用せずに無条件証明されましたが、これらは通常はるかに困難でした。次のリストの結果の多くは、Conrad (2010) から引用されています。

• 1913年、グロンヴァルは、一般化リーマン予想はガウスのクラス数1の虚二次体のリストが完全であることを意味することを示したが、後にベイカー、シュタルク、ヘーグナーは一般化リーマン予想を使用せずにこれを無条件に証明した。
• 1917 年、ハーディとリトルウッドは、一般化リーマン予想は、ある意味では 3 mod 4 の素数は 1 mod 4 の素数よりも一般的であるというチェビシェフの予想を意味することを示した。(関連する結果については、素数定理 § 素数競争を参照してください。)$${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{p>2}(-1)^{(p+1)/2}x^{p}=+\infty ,}$$
• 1923年、ハーディとリトルウッドは、一般化リーマン予想は奇数に対する弱い形のゴールドバッハ予想、すなわち十分に大きい奇数はすべて3つの素数の和であることを意味することを示したが、1937年にヴィノグラードフは無条件の証明を与えた。1997年、デシュイラース、エフィンガー、テ・リーレ、ジノヴィエフは、一般化リーマン予想は5より大きい奇数はすべて3つの素数の和であることを意味することを示した。2013年、ハラルド・ヘルフゴットは、デイビッド・J・プラットの協力を得て行われた大規模な計算を条件として、GRH依存性のない3元ゴールドバッハ予想を証明した。
• 1934年、チョウラは一般化リーマン予想により、等差数列a mod mの最初の素数は、ある定数Kに対して最大でKm ² log( m ) ²となることが示された。
• 1967 年、フーリーは一般化リーマン予想が原始根に関するアルティン予想を意味することを示した。
• 1973 年、ワインバーガーは、一般化されたリーマン予想により、オイラーのイドネアル数のリストが完全であることが示唆されることを示しました。
• ワインバーガー (1973) は、すべての代数体のゼータ関数に対する一般化リーマン予想は、クラス数 1 を持つ任意の数体がユークリッド数体または判別式が-19、-43、-67、または -163 の虚数二次数体のいずれかであることを意味することを示した。
• 1976年、G.ミラーは、一般化リーマン予想は、ミラーテストによって数が素数かどうかを多項式時間でテストできることを意味すると示しました。2002年、マニンドラ・アグラワル、ニーラジ・カヤル、ニティン・サクセナは、 AKS素数判定テストを使用してこの結果を無条件に証明しました。
• Odlyzko (1990) は、一般化リーマン予想を使用して、数体の判別式と類数のより正確な推定値を与える方法について説明しました。
• Ono & Soundararajan (1997) は、一般化リーマン予想によれば、ラマヌジャンの積分二次形式 x ² + y ² + 10 z ²は、正確に 18 個の例外を除いて、局所的に表現されるすべての整数を表すことを示した。
• 2021年、アレクサンダー・ダンとマクシム・ラジウィルは、GRHの仮定の下で、 3次ガウス和に関するパターソン予想を証明した。 ^{[18] [19]}

RH の帰結のいくつかは、その否定の帰結でもあり、したがって定理である。Hecke、Deuring、Mordell、Heilbronn の定理に関する議論で、Ireland & Rosen (1990、p. 359) は次のように述べている。

ここでの証明方法は本当に素晴らしいです。一般化リーマン予想が正しいなら、定理は正しいです。一般化リーマン予想が間違っているなら、定理は正しいです。したがって、定理は正しいです!!

一般化リーマン予想が偽であると言っていることが何を意味するかを理解するには注意が必要です。つまり、どのクラスのディリクレ級数に反例があるかを正確に指定する必要があります。

これは素数定理の誤差の符号に関するものです。すべてのx ≤ 10 ^{25に対して}π ( x ) < li( x )であることが計算されており(この表を参照)、π ( x ) > li( x ) となるxの値はわかっていません。

1914年にリトルウッドは、 xの任意の大きな値が存在することを証明した。

${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)+{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x,}$

また、xの任意の大きな値に対して、

${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x)-{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x.}$

したがって、差π ( x )−li( x )は無限回符号が変化します。歪数は、最初の符号変化に対応する xの値の推定値です。

リトルウッドの証明は、RH が偽であると仮定した場合 (Ingham 1932、第 V 章の約半ページ) と、RH が真であると仮定した場合 (約 12 ページ) の 2 つのケースに分かれています。スタニスワフ・クナポフスキ (1962) は、これに続いて、区間 内で符号が変わる回数に関する論文を発表しました。 ${\displaystyle \Delta (n)}$${\displaystyle \Delta (n)}$

これは、与えられた類数を持つ虚二次体は有限個しか存在しないという予想です（ガウスの『算術論』第303条で初めて述べられました）。これを証明する1つの方法は、判別式D → −∞として類数h ( D ) → ∞を示すことです。

リーマン予想に関する次の一連の定理は、Ireland & Rosen 1990、358-361 ページで説明されています。

(ヘッケとハイルブロンの研究では、発生するL関数は虚数二次指標に付随するものだけであり、それらのL関数に対してのみGRH が真であるかGRH が偽であるかが意図されています。3次ディリクレ指標のL関数に対して GRH が偽であることは、厳密に言えば GRH が偽であることを意味しますが、それはハイルブロンが念頭に置いていた種類の GRH の偽ではなかったため、彼の仮定は単にGRH が偽であるよりも制限されていました。)

1935年、カール・シーゲルはRHやGRHを一切使用せずにこの結果を強化した。^{[20] [21]}

1983年にJLニコラスは 無限個のnに対して、φ ( n )はオイラーのトーティエント関数、γはオイラー定数であることを 証明した。リーベンボイムは「この証明方法は興味深いもので、まずリーマン予想が正しいという仮定のもとで不等式​​が示され、次にその逆の仮定のもとで不等式​​が示される」と述べている。^[22]$${\displaystyle \varphi (n)<e^{-\gamma }{\frac {n}{\log \log n}}}$$

リーマン予想は、リーマンゼータ関数を、形式的には類似しているが、はるかに一般的な大域L 関数に置き換えることによって一般化できます。このより広い設定では、大域L関数の非自明な零点の実部が 1/2 になることが予想されます。単一のリーマンゼータ関数のみに対する古典的なリーマン予想ではなく、これらの予想こそが、数学におけるリーマン予想の真の重要性を説明しています。

一般化リーマン予想は、リーマン予想をすべてのディリクレ L 関数に拡張します。特に、シーゲル零点( 1/2 と 1 の間のL関数の零点) は存在しないという予想を意味します。

拡張リーマン予想は、リーマン予想を代数体のすべてのデデキントゼータ関数に拡張します。有理数のアーベル拡大に対する拡張リーマン予想は、一般化リーマン予想と同等です。リーマン予想は、数体のヘッケ指標のL関数にも拡張できます。

大リーマン予想は、ヘッケ固有形式のメリン変換など、すべての保型ゼータ関数にそれを拡張します。

アルティン (1924) は、(二次)関数体の大域ゼータ関数を導入し、それに対するリーマン予想の類似を予想した。これは種数 1 の場合はハッセによって、一般にはヴェイユ (1948) によって証明されている。たとえば、サイズq ( qは奇数) の有限体の二次特性のガウス和が絶対値を持つという事実は、関数体の設定におけるリーマン予想の例である。これにより、ヴェイユ (1949) は、すべての代数多様体に対して同様の命題を予想するに至り、結果として得られたヴェイユ予想はピエール・ドリーニュ (1974、1980) によって証明された。${\displaystyle {\sqrt {q}}}$

算術ゼータ関数は、リーマンとデデキントのゼータ関数、および有限体上の多様体のゼータ関数を、あらゆる算術スキームまたは整数上の有限型のスキームに一般化します。クロネッカー次元nの正則連結等次元算術スキームの算術ゼータ関数は、適切に定義された L 因子と補助因子の積に因数分解できます( Jean-Pierre Serre  、1969–1970)。関数方程式と有理型接続を仮定すると、L 因子の一般化リーマン予想は、臨界ストリップ内の零点が中心線上にあることを述べています。同様に、正則連結等次元算術スキームの算術ゼータ関数の一般化リーマン予想は、臨界ストリップ内の零点が垂直線上にあり、臨界ストリップ内の極が垂直線上にあることを述べています。これは正特性のスキームでは知られており、ピエール・ドリーニュ (1974、1980) から導かれますが、特性 0 ではまったく知られていません。 ${\displaystyle \Re (s)\in (0,n)}$${\displaystyle \Re (s)=1/2,3/2,\dots ,n-1/2}$${\displaystyle \Re (s)=1,2,\dots ,n-1}$

セルバーグ (1956) は、リーマン面のセルバーグゼータ関数を導入しました。これらはリーマンゼータ関数に似ています。関数方程式と、オイラー積に似た無限積を持ちますが、素数ではなく閉じた測地線をとっています。セルバーグトレース公式は、素数論の明示的な公式のこれらの関数の類似物です。セルバーグは、セルバーグゼータ関数がリーマン予想の類似物を満たし、そのゼロの虚数部がリーマン面のラプラシアン演算子の 固有値に関連付けられていることを証明しました。

有限グラフの伊原ゼータ関数は、2行2列のp進特殊線型群の離散部分群の文脈で伊原康隆によって初めて導入されたセルバーグゼータ関数の類似物です。正則有限グラフがラマヌジャングラフ（効率的な通信ネットワークの数学的モデル）となるのは、その伊原ゼータ関数が砂田剛志によって指摘されたリーマン予想の類似物を満たす場合のみです。

Montgomery (1973) は、ゼータ関数の (適切に正規化された) 零点の相関関数はランダムエルミート行列の固有値の相関関数と同じになるはずであるというペア相関予想を提唱しました。Odlyzko (1987) は、この予想がこれらの相関関数の大規模な数値計算によって裏付けられていることを示しました。

モンゴメリは、（リーマン予想を仮定して）すべての零点の少なくとも 2/3 は単純であることを示し、関連する予想として、ゼータ関数のすべての零点が単純である（またはより一般的には、虚数部間に非自明な整数線形関係がない）というものがあります。リーマンゼータ関数を一般化する代数体のデデキントゼータ関数は、しばしば複数の複素零点を持ちます。 ^{[23]これは、デデキントゼータ関数が}アルティンの L 関数の累乗として因数分解されるため、アルティンの L 関数の零点がデデキントゼータ関数の複数の零点を生じることがあるためです。複数の零点を持つゼータ関数の他の例としては、いくつかの楕円曲線の L 関数があります。これらは、臨界線の実数点で複数の零点を持つことができます。バーチ・スウィナートン・ダイアー予想は、このゼロの重複度が楕円曲線の階数であると予測します。

リーマン予想と類似したゼータ関数の例は他にもたくさんあり、そのうちのいくつかは証明されている。関数体のゴスゼータ関数にはリーマン予想があり、Sheats (1998) によって証明されている。円分体についてはバリー・マズールとアンドリュー・ワイルズによって、全実体についてはワイルズによって証明された岩澤理論の主予想は、 p進L関数の零点を演算子の固有値と同一視するもので、 p進L関数に対するヒルベルト・ポリア予想の類似物と考えることができる。^[24]

数人の数学者がリーマン予想に取り組んできましたが、その試みはいずれも証明として認められていません。ワトキンス (2021) は、いくつかの誤った解決策を挙げています。

ヒルベルトとポリアは、リーマン予想を導く一つの方法は、自己随伴演算子を見つけることであり、その存在から、実固有値に関する基準を適用したときにζ ( s ) の零点の実部に関する命題が導かれるだろうと示唆した。この考えに対するいくらかの支持は、零点が何らかの演算子の固有値に対応するリーマンゼータ関数のいくつかの類似物から得られる。すなわち、有限体上の多様体のゼータ関数の零点は、エタールコホモロジー群上のフロベニウス要素の固有値に対応し、セルバーグゼータ関数の零点は、リーマン面のラプラシアン演算子の固有値であり、p 進ゼータ関数の零点は、イデアル類群上のガロア作用の固有ベクトルに対応する。

Odlyzko (1987) は、リーマンゼータ関数の零点の分布が、ガウスユニタリー集団から抽出されたランダム行列の固有値といくつかの統計的特性を共有することを示した。これは、ヒルベルト・ポリア予想をある程度裏付けるものである。

1999年、マイケル・ベリーとジョナサン・キーティングは、古典ハミルトニアンH = xpの未知の量子化が存在すると予想し、さらに 強く、リーマン零点は演算子 のスペクトルと一致すると予想しました。これは、ハイゼンベルクの不確定性原理と量子調和振動子のスペクトルとしての自然数につながる正準量子化とは対照的です。重要な点は、量子化がヒルベルト・ポリア計画の実現となるように、ハミルトニアンは自己随伴演算子でなければならないということです。この量子力学の問題に関連して、ベリーとコネスは、ハミルトニアンのポテンシャルの逆関数が関数の 半導関数に関係していることを提案した 。そこで、ヒルベルト-ポリア手法では、 これにより、固有値がリーマン零点の虚数部の二乗であるハミルトニアンが生成され、このハミルトニアン演算子の関数行列式はリーマン Xi 関数となる。実際、リーマン Xi 関数は関数行列式 (アダマール積) に比例する。 しかし、この演算子は、ポテンシャルの逆関数 (暗黙の関数 ) は含むものの、ポテンシャル自体は含まないため、実際には役に立たない。有限体上のリーマン予想との類似性から、零点に対応する固有ベクトルを含むヒルベルト空間は、整数のスペクトルSpec ( Z )の何らかの第一コホモロジー群である可能性が示唆される。デニンガー (1998) は、そのようなコホモロジー理論を見つけるためのいくつかの試みについて説明した。^[25]${\displaystyle {\hat {H}}}$$${\displaystyle \zeta (1/2+i{\hat {H}})=0}$$${\displaystyle 1/2+i{\hat {H}}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$$${\displaystyle N(s)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Arg} \xi (1/2+i{\sqrt {s}})}$$$${\displaystyle V^{-1}(x)={\sqrt {4\pi }}{\frac {d^{1/2}N(x)}{dx^{1/2}}}.}$$$${\displaystyle \det(H+1/4+s(s-1))}$$ $${\displaystyle {\frac {\xi (s)}{\xi (0)}}={\frac {\det(H+s(s-1)+1/4)}{\det(H+1/4)}}.}$$

ザギエ (1981) は、ラプラシアン演算子の下でリーマンゼータ関数の零点に対応する固有値を持つ上半平面上の不変関数の自然空間を構築し、この空間で適切な正定値内積の存在を示すことができれば、リーマン予想が成り立つだろうと述べた。カルティエ (1982) は、奇妙なバグのために、コンピュータプログラムがリーマンゼータ関数の零点を同じラプラシアン演算子の固有値としてリストしたという関連する例について議論した。

Schumayer & Hutchinson (2011) は、リーマンゼータ関数に関連する適切な物理モデルを構築するためのいくつかの試みを調査しました。

リー・ヤンの定理は、統計力学における特定の分割関数の零点はすべて、実部が0に等しい「臨界線」上に位置していると述べており、これはリーマン予想との関係についての推測につながっています。^[26]

Pál Turán (1948) は、 s の実部が 1 より大きいとき に 関数が零点を持たない場合 、 λ( n ) は、n がr個の素因数を持つ場合、(−1) ^rで与えられるリウヴィル関数であることを示した。彼は、これは今度はリーマン予想が正しいことを意味することを示した。しかし Haselgrove (1958) は、T ( x ) が無限個のxに対して負であることを証明し(また、密接に関連するポリア予想を反証した)、Borwein、Ferguson および Mossinghoff (2008) は、そのような最小のxは72 185 376 951 205であることを示した。 Spira (1968) は数値計算により、 N =19の場合の上記の有限ディリクレ級数には実部が 1 より大きい零点があることを示した。Turán はまた、やや弱い仮定、すなわち上記の有限ディリクレ級数においてNが大きい場合の実部が 1+ N ^−1/2+εより大きい零点が存在しないという仮定もリーマン予想を意味することを示したが、Montgomery (1983) は、十分に大きいNすべてに対して、これらの級数は実部が1 + (log log N )/(4 log N )より大きい零点を持つことを示した。したがって、Turán の結果は空虚に正しく、リーマン予想の証明には役立たない。 $${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{-s}}$$$${\displaystyle T(x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n}}\geq 0{\text{ for }}x>0,}$$

Connes  (1999, 2000) は、リーマン予想と非可換幾何学の関係を説明し、イデル類群のアデル類空間への作用に対するセルバーグのトレース公式の適切な類似物がリーマン予想を意味することを示した。これらのアイデアのいくつかは、Lapidus (2008) で詳しく説明されている。

ルイ・ド・ブランジュ （1992）は、リーマン予想は、整関数のヒルベルト空間上の正値条件から導かれることを示した。しかし、コンリーとリー（2000）は、必要な正値条件が満たされていないことを示した。この障害にもかかわらず、ド・ブランジュは同じ方向でリーマン予想の証明を試みたが、これは他の数学者に広く受け入れられなかった。^[27]

リーマン予想は、ゼータ関数の零点が準結晶を形成することを示唆している。準結晶とは、フーリエ変換も離散的な台を持つ分布である。ダイソン (2009) は、1 次元準結晶を分類、または少なくとも研究することでリーマン予想を証明しようと提案した。

代数的数体などの幾何学的次元 1 から数体上の楕円曲線の正則モデルなどの幾何学的次元 2 に移行する場合、モデルの算術ゼータ関数に対する一般化リーマン予想の 2 次元部分は、ゼータ関数の極を扱います。 次元 1 では、Tate の論文のゼータ積分の研究は、リーマン予想に関する新しい重要な情報にはつながりません。 これとは対照的に、次元 2 では、 Tate の論文の 2 次元一般化に関するIvan Fesenkoの研究に、ゼータ関数に密接に関連するゼータ積分の積分表現が含まれています。 次元 1 では不可能だったこの新しい状況では、ゼータ積分と関連するアデール群を介してゼータ関数の極を研究できます。ゼータ積分に関連する境界関数の 4 次導関数の正値性に関するFesenko (2010)の関連予想は 、本質的に一般化リーマン予想の極部を意味します。Suzuki (2011) は、後者がいくつかの技術的な仮定とともに Fesenko の予想を意味することを証明しました。

有限体上のリーマン予想のデリーニュの証明では、元のゼータ関数の零点と極の和に対応する零点と極を持つ積多様体のゼータ関数を使用して、元のゼータ関数の零点の実部を制限しました。類推により、黒川 (1992) は、零点と極がリーマンゼータ関数の零点と極の和に対応する多重ゼータ関数を導入しました。級数が収束するように、彼は虚部が負でない零点または極の和に制限しました。これまでのところ、多重ゼータ関数の零点と極の既知の制限は、リーマンゼータ関数の零点の有用な推定値を与えるほど強力ではありません。

関数方程式と引数原理を組み合わせると、虚数部が0からTまでのゼータ関数の零点の数は次のように表される。

${\displaystyle N(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\xi (s))={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)s(s-1)/2)}$

s =1/2+i Tの場合、引数は、∞+i Tで引数0から始めて、Im( s )= Tの線に沿って連続的に変化させることによって定義されます。これは、大きいがよく理解されている項の合計です。

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-s/2}s(s-1)/2)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+7/8+O(1/T)}$

そして、小さいながらも謎めいた言葉

${\displaystyle S(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\zeta (1/2+iT))=O(\log T).}$

したがって、 T付近の虚数部を持つ零点の密度はおよそ log( T )/(2 π )となり、関数S はこれからの小さな偏差を表します。関数S ( t ) はゼータ関数の各零点で 1 ずつジャンプし、t ≥ 8では零点間で単調に減少し、導関数は −log tに近くなります。

Trudgian (2014)は、 ならば、 ${\displaystyle T>e}$

${\displaystyle |N(T)-{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi e}}|\leq 0.112\log T+0.278\log \log T+3.385+{\frac {0.2}{T}}}$。

カラツバ（1996）は、任意の区間（T、T + H ]は少なくとも ${\displaystyle H\geq T^{{\frac {27}{82}}+\varepsilon }}$

${\displaystyle H(\log T)^{\frac {1}{3}}e^{-c{\sqrt {\log \log T}}}}$

関数S ( t )の符号が変わる点。

セルバーグ（1946）は、 Sの偶数乗の平均モーメントは次のように与えられること を示した。

${\displaystyle \int _{0}^{T}|S(t)|^{2k}dt={\frac {(2k)!}{k!(2\pi )^{2k}}}T(\log \log T)^{k}+O(T(\log \log T)^{k-1/2}).}$

これは、S ( T )/(log log T ) ^{1/2 が}平均 0 で分散 2 π ^2のガウス確率変数に似ていることを示唆している(Ghosh (1983) はこの事実を証明した)。特に、| S ( T )| は通常 (log log T ) ^1/2付近にあるが、時にはそれよりずっと大きくなる。S ( T ) の増加の正確な順序はわかっていない。リーマンの当初の境界S ( T )=O(log T )に対する無条件の改善はないが、リーマン予想はわずかに小さい境界S ( T )=O(log T /log log T ) を意味する。^{[13]実際の桁数はこれよりもいくらか小さい可能性がある。これは、} S ( T )と同じ分布を持つランダム関数はlog( T ) ^1/2程度の順序で増加する傾向があるためである。逆の方向では、小さすぎることはあり得ません。Selberg (1946) は、S ( T ) ≠ o((log T ) ^1/3 /(log log T ) ^7/3 )であることを示し、Montgomery は、リーマン予想を仮定して、S ( T ) ≠ o((log T ) ^1/2 /(log log T ) ^1/2 )であることを示しました。

数値計算により、 Sは非常にゆっくりと増加することが確認されています。T < 280では| S ( T)| < 1 、 T < 6 800  000 では| S ( T ) | < 2であり、これまでに発見された| S ( T )|の最大値は3よりそれほど大きくありません。^[28]

リーマンの推定値S ( T ) = O(log T ) は、ゼロ間のギャップが制限されていることを意味します。リトルウッドはこれをわずかに改善し、虚数部間のギャップが 0 に近づくことを示しました。

アダマール (1896) とラ・ヴァレー＝プーサン (1896) はそれぞれ独立に、直線 Re(s) = 1 上に零点は存在し得ないことを証明した。関数方程式および実部が 1 より大きい零点は存在しないという事実と合わせて、すべての非自明な零点は0 < Re ( s ) < 1の臨界帯の内部に存在する必要があることが示された。これは、素数定理の最初の証明における重要なステップであった。

ゼータ関数が実部1の零点を持たないという元々の証明は両方とも似ており、ζ (1 +  it )がゼロであればζ (1 + 2 it )は特異であることを示すことに依存しているが、これは不可能である。これを証明する1つの方法は、不等式を使用することである。

${\displaystyle |\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|\geq 1}$

σ > 1、t実数、σ → 1 の極限を見ればこの不等式が成り立つ。オイラー積の対数の実部を取ると次のようになる。

${\displaystyle |\zeta (\sigma +it)|=\exp \Re \sum _{p^{n}}{\frac {p^{-n(\sigma +it)}}{n}}=\exp \sum _{p^{n}}{\frac {p^{-n\sigma }\cos(t\log p^{n})}{n}},}$

ここで、和はすべての素数累乗p ⁿにわたるので、

${\displaystyle |\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|=\exp \sum _{p^{n}}p^{-n\sigma }{\frac {3+4\cos(t\log p^{n})+\cos(2t\log p^{n})}{n}}}$

これは少なくとも1である。なぜなら、不等式により、合計のすべての項が正であるからである。

${\displaystyle 3+4\cos(\theta )+\cos(2\theta )=2(1+\cos(\theta ))^{2}\geq 0.}$

リーマン予想の反例をコンピュータで大規模に検索したプラットとトルジアン^{[17]は、 に対してリーマン予想を検証した。それを超えると、ゼロのない領域は}σ + i tに関する不等式として知られ、ゼロになる可能性がある。最も古いバージョンはドゥ・ラ・ヴァレ＝プッサン（1899–1900）によるもので、 1 − σ ≥ ⁠ を満たすゼロのない領域が存在することを証明した。${\displaystyle |t|\leq 3.0001753328\cdot 10^{12}}$Ｃ/ログ( t )⁠何らかの正の定数C。言い換えれば、ゼロは直線σ = 1 に近づきすぎることはできません。、ヴィノグラドフの平均値定理などの方法を使用して、いくつかの著者によって拡大されています。

モッシングホフ、トルッジアン、ヤンによる最新の論文^[29]は2022年12月のものであり、2002年のケビン・フォード、2015年のモッシングホフとトルッジアン自身、および2022年10月のペース・ニールセンによるフォードのわずかな改善を改善した4つのゼロフリー領域を示しています。

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{5.558691\log |t|}}}$いつでも、${\displaystyle |t|\geq 2}$

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{55.241(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}}$（境界内の最大の既知の領域）のときはいつでも、${\displaystyle |t|\geq 3}$${\displaystyle 3.0001753328\cdot 10^{12}\leq |t|\leq \exp(64.1)\approx 6.89\cdot 10^{27}}$

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {0.04962-{\frac {0.0196}{1.15+\log 3+{\frac {1}{6}}\log t+\log \log t}}}{0.685+\log 3+{\frac {1}{6}}\log t+1.155\cdot \log \log t}}}$（境界内の最大の既知の領域）および${\displaystyle |t|\geq 1.88\cdot 10^{14}}$${\displaystyle \exp(64.1)\leq |t|\leq \exp(1000)\approx 1.97\cdot 10^{434}}$

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {0.05035}{{\frac {27}{164}}(\log {|t|})+7.096}}+{\frac {0.0349}{({\frac {27}{164}}(\log {|t|})+7.096)^{2}}}}$いつでも（その境界内で最大の既知の地域）${\displaystyle |t|\geq \exp(1000)}$

この論文では、2番目のゼロフリー領域の改善も提示されているが、この領域の境界は、論文の証明の要件を満たすのに「十分に大きい」と仮定されているだけなので不明である。この領域は ${\displaystyle |t|}$

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{48.1588(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}}$。

ハーディ（1914）とハーディとリトルウッド（1921）は、ゼータ関数に関連する特定の関数のモーメントを考慮して、臨界線上に無限個の零点があることを示した。セルバーグ（1942）は、少なくとも（小さな）正の割合の零点が線上に存在することを証明した。レビンソン（1974）は、ゼータ関数の零点をその導関数の零点に関連付けることで、これを零点の3分の1に改善し、コンリー（1989）はさらにこれを5分の2に改善した。2020年に、この推定値は、ゼータ関数の高次導関数とそれに関連するクロスターマン和に対応できる拡張された軟化子を考慮して、プラット、ロブレス、ザハレスキュ、ゼインドラー^[30]によって5分の12に拡張された。

ほとんどの零点は臨界線の近くにあります。より正確には、Bohr & Landau (1914) は、任意の正のεに対して、実部が少なくとも 1/2+ εで虚部が−TとTの間である零点の数はであることを示しました。臨界ストリップ上の零点は臨界線を中心に対称であり、臨界ストリップ内の零点の総数は であるという事実と合わせると、ほぼすべての非自明な零点は臨界線から距離ε以内にあります。Ivić (1985) は、零点密度推定と呼ばれるこの結果のより正確なバージョンをいくつか示しています。これは、虚部が最大でTで実部が少なくとも 1/2+ εである領域内の零点の数を制限します。 ${\displaystyle O(T)}$${\displaystyle \Theta (T\log T)}$

1914 年にゴッドフリー・ハロルド・ハーディは、実数の零点が無限に存在することを証明しました。 ${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$

ハーディとジョン・エデンザー・リトルウッドによる次の 2 つの予想、すなわち、 の実零点間の距離、 の十分に大きい に対する区間上のの零点の密度、および の値が可能な限り小さい場合( は任意の小さい数) に関する予想は、リーマンゼータ関数の研究に 2 つの新しい方向性を開きます。 ${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$${\displaystyle (T,T+H]}$${\displaystyle T>0}$${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

1. 任意の に対して、となる下限が存在し、その区間には関数 の奇数次の零点が含まれます。${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$${\displaystyle T\geq T_{0}}$${\displaystyle H=T^{{\tfrac {1}{4}}+\varepsilon }}$${\displaystyle (T,T+H]}$${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$

を実数零点の総数とし、を区間にある関数の奇数次零点の総数とします。 ${\displaystyle N(T)}$${\displaystyle N_{0}(T)}$${\displaystyle ~\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)~}$${\displaystyle (0,T]~}$

2. 任意の に対して、および が存在し、およびに対して不等式が真となる。${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$${\displaystyle T\geq T_{0}}$${\displaystyle H=T^{{\tfrac {1}{2}}+\varepsilon }}$${\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH}$

Atle Selberg (1942) は、Hardy–Littlewood 2 の問題を調査し、任意のε > 0に対して、かつc = c ( ε ) > 0が存在し、に対して不等式 が真であることを証明しました。Selberg は、これが に強化されると予想しました。AA Karatsuba (1984a、1984b、1985) は、条件 0 < ε < 0.001 を満たす 固定されたεに対して、十分に大きいTおよび、区間 ( T、T + H ) にはリーマン ゼータ関数の少なくともcH log( T ) 個の実数零点が含まれることを証明し、Selberg 予想を裏付けました。Selberg と Karatsuba の推定値は、 T → ∞としての成長の順序に関して改善することはできません。 ${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$${\displaystyle T\geq T_{0}}$${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$${\displaystyle N(T+H)-N(T)\geq cH\log T}$${\displaystyle H=T^{0.5}}$${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$${\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}}$ ${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$

カラツバ (1992) は、セルバーグ予想の類似物がほぼすべての区間 ( T、T + H ]、で成り立つことを証明しました。ここで、ε は任意の小さい固定された正の数です。カラツバ法では、臨界線の「超短」区間、つまり、長さHが任意の小さい次数Tよりも遅く増加する区間 ( T、T + H ] で、リーマンゼータ関数の零点を調べることができます。特に、彼は、条件を満たす任意の与えられた数εに対して、に対するほぼすべての区間 ( T、T + H ] に関数の零点が少なくとも含まれることを証明しました。この推定値は、リーマン予想から得られる推定値に非常に近いです。 ${\displaystyle H=T^{\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon _{1}}$${\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1}$${\displaystyle H\geq \exp {\{(\log T)^{\varepsilon }\}}}$${\displaystyle H(\log T)^{1-\varepsilon _{1}}}$${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$

機能

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\zeta (s)}$

は臨界帯のゼータ関数と同じ零点を持ち、関数方程式により臨界線上で実数となるため、2点間の実数線上に零点が存在することを証明するには、関数がこれらの点で反対の符号を持つことを数値的に確認すればよい。通常は次のように書く。

${\displaystyle \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)=Z(t)e^{-i\theta (t)}}$

ここで、ハーディのZ 関数とリーマン・ジーゲル シータ関数 θ は、これと、θ (0) = 0 を満たす滑らかな実関数であるという条件によって一意に定義されます。関数Zの符号が変わる区間を多数見つけることで、臨界線上に多くの零点があることを示すことができます。零点の虚数部 Tまでリーマン予想を検証するには、この領域で線から外れた零点がこれ以上ないことも確認する必要があります。これは、チューリング法を使用して領域内の零点の総数を計算し、それが線上にある零点の数と同じであることを確認することで実行できます。これにより、 Tの任意の値までリーマン予想を計算的に検証できます(この領域内のゼータ関数の零点がすべて単純で臨界線上にある場合)。

これらの計算は、 の有限範囲を推定するためにも使用できます。たとえば、2020年の最新の結果（高さ までのゼロ）を使用すると、次のようになります。 ${\displaystyle \pi (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 3\times 10^{12}}$

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log(x),\qquad {\text{for }}2657\leq x\leq 1.101\times 10^{26}.}$

一般に、この不等式は

${\displaystyle x\geq 2657}$そして${\displaystyle {\frac {9.06}{\log {\log {x}}}}{\sqrt {\frac {x}{\log {x}}}}\leq T,}$

ここで、 は、 のすべての零点に対してリーマン予想が成り立つような最大の既知の値である。^[31]${\displaystyle T}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \Im {\left(\rho \right)}\in \left(0,T\right]}$

ゼータ関数の零点の計算例をいくつか以下に示します。零点の「高さ」は虚数部の大きさで、n番目の零点の高さはγ _nで表されます。これまでに確認した零点はすべて臨界線上にあり、単純です。(零点が複数あると、零点間の符号の変化を見つけることに依存する零点検出アルゴリズムで問題が生じます。)零点の表については、Haselgrove & Miller (1960) または Odlyzko を参照してください。

グラム点とは、ゼータ関数が実数かつ非ゼロとなる臨界直線 1/2 +  it上の点のことです。臨界直線上のゼータ関数の式ζ (1/2 +  it ) = Z ( t )e  ^{−  iθ ( t )}（ハーディ関数Zは実数tに対して実数、θはリーマン・ジーゲル・シータ関数）を用いると、 sin( θ ( t )) = 0のときにゼータが実数となることがわかります。これはθ ( t ) がπの整数倍であることを意味し、 θの式を逆転させることでグラム点の位置を簡単に計算できます。グラム点は通常、 n = 0、1、...に対してg _nと番号が付けられます。ここでg _{n は}θ ( t ) = n πの唯一の解です。

グラムは、2 つのグラム点の間にはゼータ関数の零点が 1 つだけ存在することが多いことに気付きました。ハッチンソンはこの観察をグラムの法則と呼びました。グラムの法則と呼ばれることもある、密接に関連した記述は他にもいくつかあります。たとえば、(-1) ⁿ Z ( g _n ) は通常正である、またはZ ( t ) は通常連続するグラム点で反対の符号を持ちます。最初のいくつかの零点 (青) の虚数部γ _nと最初のいくつかのグラム点g _{n は}、次の表に示されています。

グラムの法則の最初の失敗は、127 番目のゼロとグラム点g ₁₂₆で発生しますが、これらは「間違った」順序になっています。

グラム点t は、ゼータ関数が 1/2 + itで正の場合に良好と呼ばれます。Z が「間違った」符号を持つ「悪い」グラム点のインデックスは、126、134、195、211、... です (OEIS のシーケンスA114856)。 グラムブロックは、2 つの良いグラム点で囲まれた区間で、その間にあるすべてのグラム点は不良です。 Rosser、Yohe、Schoenfeld (1969 )によるRosserの規則と呼ばれるグラムの法則の改良では、ブロック内の個々のグラム区間の一部にゼロが 1 つだけ含まれない可能性がある場合でも、グラムブロックには多くの場合、予想される数のゼロ (グラム区間の数と同じ) が含まれます。たとえば、g ₁₂₅とg _{127で囲まれた区間は、固有の不良グラム点}g ₁₂₆を含むグラムブロックであり、2 つのグラム区間のどちらにも固有のゼロが含まれないにもかかわらず、期待されるゼロの数 2 が含まれます。Rosser らは、ゼータ関数全体にわたって Rosser の規則の例外は無限にあるものの、最初の 300 万個のゼロには Rosser の規則の例外がないことを確認しました。

グラムの法則とロッサーの法則はどちらも、ある意味ではゼロが期待される位置からあまり離れないことを示しています。ゼロの期待される位置からの距離は、上で定義した関数Sによって制御され、これは非常にゆっくりと増加します。その平均値は (log log T ) ^1/2のオーダーで、T が約 10 ^{24 の場合にのみ 2 に達します。これは、両方のルールが}T が小さい場合にほとんどの場合に当てはまるが、最終的には頻繁に破綻することを意味します。実際、Trudgian (2011) は、グラムの法則とロッサーの法則の両方が正の割合のケースで破綻することを示しました。具体的には、約 66% で 1 つのゼロが 2 つの連続するグラム点に囲まれると予想されますが、17% ではゼロがなく、17% では 2 つのゼロが長期的にはそのようなグラム間隔内にあることが予想されます Hanga (2020)。

リーマン予想に関する数学論文は、その真偽について慎重に曖昧な傾向がある。意見を表明する著者のほとんどは、リーマン (1859) やボンビエリ (2000) のように、それが真であると予想 (または少なくとも希望) していることを暗示している。それについて深刻な疑問を表明する数少ない著者には、懐疑論の理由をいくつか挙げるイヴィッチ (2008) や、それが誤りであり、それを証明する証拠はなく、それが真である理由も想像できないと断言するリトルウッド (1962) がいる。調査論文 (ボンビエリ 2000、コンレイ 2003、サルナック 2005) のコンセンサスは、それを証明する証拠は強力だが圧倒的ではないため、それがおそらく真である一方で合理的な疑いがあるというものである。

リーマン予想に対する賛否両論の一部は、Sarnak (2005)、Conrey (2003)、Ivić (2008) によって列挙されており、次のものが含まれます。

• リーマン予想の類似例はすでにいくつか証明されている。有限体上の多様体に対するリーマン予想の証明 (1974) は、おそらくリーマン予想を支持する最も強力な理論的根拠である。これは、保型形式に関連するすべてのゼータ関数がリーマン予想を満たすという、より一般的な予想 (特別なケースとして古典的なリーマン予想を含む) にいくらかの証拠を与える。同様に、セルバーグゼータ関数はリーマン予想の類似例を満たし、関数方程式とオイラー積展開に類似した無限積展開を持つなど、リーマンゼータ関数といくつかの点で似ている。しかし、ディリクレ級数では与えられないなど、いくつかの大きな違いもある。ゴスゼータ関数に対するリーマン予想は、Sheats (1998) によって証明された。これらの肯定的な例とは対照的に、いくつかのエプスタインゼータ関数は、臨界線上に無限個の零点を持つにもかかわらず、リーマン予想を満たさない。^[13]これらの関数はリーマンゼータ関数と非常に似ており、ディリクレ級数展開と関数方程式を持つが、リーマン予想を満たさないことが知られているものはオイラー積を持たず、保型表現とは直接関係がない。
• 一見、直線上に多くの零点があるという数値的検証は、その強力な証拠のように思えます。しかし、解析的整数論には、実質的な数値的証拠に裏付けられた多くの予想があり、それらは誤りであることが判明しました。悪名高い例については、歪数を参照してください。ここでは、リーマン予想に関連するもっともらしい予想に対する最初の例外が、おそらく 10 ³¹⁶付近で発生します。このサイズの虚部を持つリーマン予想に対する反例は、現在直接的なアプローチを使用して計算できる範囲をはるかに超えています。問題は、動作が、log log Tなどの非常にゆっくりと増加する関数によって影響を受けることが多いことです。これらの関数は無限大に近づきますが、その増加が非常に遅いため、計算ではこれを検出できません。このような関数は、零点の動作を制御するゼータ関数の理論で発生します。たとえば、上記の関数S ( T ) の平均サイズは、(log log T ) ^1/2付近です。S ( T ) はリーマン予想の反例で少なくとも 2 跳ね上がるので、リーマン予想の反例はS ( T ) が大きくなったときにのみ現れ始めると予想できます。計算された限りでは 3 を超えることはありませんが、無制限であることがわかっており、これは計算がまだゼータ関数の典型的な動作の領域に達していない可能性があることを示唆しています。
• デンジョイのリーマン予想に対する確率論的議論^[33]は、 μ( x ) が「 1 」と「 -1 」のランダムなシーケンスである場合、すべてのε > 0に対して、部分和 （その値は単純なランダムウォークの位置）が確率 1で境界を満たすという観察に基づいています。リーマン予想は、メビウス関数 μ と、同じ方法でそれから導かれるメルテンス関数Mのこの境界と同等です。言い換えると、リーマン予想は、ある意味で、 μ( x ) がコイントスのランダムなシーケンスのように動作すると言うことと同等です。 μ( x ) がゼロでない場合、その符号はxの素因数の数の偶奇性を与えるため、非公式には、リーマン予想は整数の素因数の数の偶奇性がランダムに動作すると言います。数論におけるこのような確率論的議論は、多くの場合正しい答えを与えますが、厳密にすることは非常に難しい傾向があり、マイヤーの定理などの結果によっては間違った答えを与えることもあります。$${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$$$${\displaystyle M(x)=O(x^{1/2+\varepsilon })}$$
• Odlyzko (1987) の計算では、ゼータ関数の零点はランダムエルミート行列の固有値と非常によく似た挙動を示すことが示されており、これは、それらが何らかの自己随伴演算子の固有値であることを示唆しており、リーマン予想を暗示している。このような演算子を見つける試みはすべて失敗している。
• 十分に大きな奇数に対するゴールドバッハの弱い予想など、最初は一般化リーマン予想を使用して証明され、後に無条件に真であることが示された定理がいくつかあります。これは、その「予測」のいくつかが正しいため、一般化リーマン予想の弱い証拠と見なすことができます。
• 2つの零点が非常に接近することがあるレーマーの現象^[34]は、リーマン予想を信じない理由として挙げられることがある。しかし、リーマン予想が正しいとしても、偶然にこのようなことが起こることは予想され、オドリツコの計算によれば、零点の接近はモンゴメリの予想と同じくらい頻繁に起こると示唆されている。
• パターソンは、ほとんどの数学者にとってリーマン予想の最も説得力のある理由は、素数が可能な限り規則的に分布しているという希望であると示唆している。^[35]

• サバグ、カール（2003a）、数学における最大の未解決問題、ファラー・ストラウス・アンド・ジルー、ニューヨーク、ISBN 978-0-374-25007-2、MR  1979664
• カール・サッバーグ(2003b)、リーマン博士のゼロス、Atlantic Books、ロンドン、ISBN 978-1-843-54101-1
• デュ・ソートイ、マーカス（2003）、素数の音楽、ハーパーコリンズ出版社、ISBN 978-0-06-621070-4、MR  2060134
• ロックモア、ダン（2005）、リーマン予想の追跡、パンテオンブックス、ISBN 978-0-375-42136-5、MR  2269393
• ダービーシャー、ジョン（2003）、プライム・オブセッション、ジョセフ・ヘンリー・プレス、ワシントンDC、ISBN 978-0-309-08549-6、MR  1968857
• ワトキンス、マシュー（2015）、素数の謎、リベラリスブックス、ISBN 978-1782797814、MR  0000000
• フレンケル、エドワード(2014)、リーマン予想Numberphile、2014 年 3 月 11 日 (ビデオ)
• ナヒン、ポール・J.（2021）。『ゼータ3の追求：世界で最も謎めいた未解決の数学問題』プリンストン大学出版局。ISBN 978-0691206073。

注: Derbyshire 2003、Rockmore 2005、Sabbagh 2003a、Sabbagh 2003b、Sautoy 2003、および Watkins 2015 は非技術的な文献です。Edwards 1974、Patterson 1988、Borwein/Choi/Rooney/Weirathmueller 2008、Mazur/Stein 2015、Broughan 2017、および Nahin 2021 は数学的な入門書です。Titchmarsh 1986、Ivić 1985、および Karatsuba/Voronin 1992 は上級モノグラフです。

• ウィキメディア・コモンズのリーマン予想に関連するメディア

• アメリカ数学協会、リーマン予想
• ゼロデータベース、103 800 788 359 ゼロ
• アポストル、トム、s のゼータのゼロはどこにありますか?ジョン・ダービーシャーが歌った、リーマン予想についての詩。
• Borwein, Peter、「リーマン予想」(PDF) 、 2009-03-27 にオリジナル(PDF)からアーカイブ（講義用スライド）
• コンラッド、K. (2010)、リーマン予想の帰結
• Conrey, J. Brian; Farmer, David W, リーマン予想の同値性、2010-03-16 にオリジナルからアーカイブ
• グルドン、ザビエル。 Sebah、Pascal (2004)、ゼータ関数のゼロの計算(GUE 仮説をレビューし、広範な参考文献も提供します)。
• オドリツコ、アンドリュー、ホームページゼータ関数の零点に関する論文やゼータ関数の零点の表を含む
• Odlyzko, Andrew (2002)、リーマンゼータ関数の零点：予想と計算（PDF）講演のスライド
• Pegg, Ed (2004)、Ten Trillion Zeta Zeros、Math Games ウェブサイト、2004-11-02 にオリジナルからアーカイブ、2004-10-20に取得ザビエル・グルドンの最初の10兆個の非自明なゼロの計算についての議論
• Rubinstein, Michael、ゼロ生成アルゴリズム、2007-04-27 にオリジナルからアーカイブ。
• du Sautoy, Marcus (2006)、Prime Numbers Get Hitched、Seed Magazine、2017-09-22にオリジナルからアーカイブ、2006-03-27に取得{{citation}}: CS1 maint: unfit URL (link)
• ワトキンス、マシュー R. (2021-02-27)、リーマン予想の（反）証明の提案、2022年12月9日にオリジナルからアーカイブ
• Zetagrid (2002) リーマン予想を反証しようとした分散コンピューティング プロジェクト。2005 年 11 月に終了しました。