チューリング法

数学において、チューリング法は、任意のグラム点 g _mに対して、 ζ ( s )の零点が0 < Im( s ) < Im( g _m )の領域でm  + 1 個存在することを証明するために使用される。ここで、ζ ( s )はリーマンゼータ関数である。^[1]これはアラン・チューリングによって発見され、1953 年に発表されたが、^[2]その証明には誤りが含まれており、1970 年に R. シャーマン・レーマンによって訂正が発表された。^[3]

i < nとなる整数iに対して、グラム点のリストと補数リストを見つける。ここでg _iは、 ${\displaystyle \{g_{i}\mid 0\leqslant i\leqslant m\}}$${\displaystyle \{h_{i}\mid 0\leqslant i\leqslant m\}}$

${\displaystyle (-1)^{i}Z(g_{i}+h_{i})>0,}$

ここでZ ( t )はハーディZ関数である。g _{i は}負 またはゼロになる可能性がある。と仮定すると、となる整数kが存在する場合、 ${\displaystyle h_{m}=0}$${\displaystyle h_{k}=0}$

${\displaystyle 1+{\frac {1.91+0.114\log(g_{m+k}/2\pi )+\sum _{j=m+1}^{m+k-1}h_{j}}{g_{m+k}-g_{m}}}}2,}$

そして

${\displaystyle -1-{\frac {1.91+0.114\log(g_{m}/2\pi )+\sum _{j=1}^{k-1}h_{mj}}{g_{m}-g_{mk}}}>-2,}$

すると、境界が達成され、0 < Im( s ) < Im( g _m )の領域にζ ( s )の零点が正確にm  + 1 個存在することがわかります。