スキューズの番号

数論において、スキューズ数（Skewes number）は、南アフリカの数学者スタンレー・スキューズが、最小の自然数の上限として用いたいくつか の大きな数のいずれかである。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x),}$

ここで、πは素数関数、li は対数積分関数です。スキューズの数はこれよりはるかに大きいですが、 と の間に交差が近くにあることが分かっています。これが最小の交差であるかどうかは分かっていません。 ${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x)}$${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$${\displaystyle e^{727.95133}。}$

スキューズの研究指導者であったJE リトルウッドは、リトルウッド (1914) でそのような数 (したがって、そのような数の最初のもの) が存在することを証明し、差の符号が無限回変化することを発見しました。当時利用可能なすべての数値的証拠は、が常に よりも小さいことを示唆しているようでしたが、リトルウッドの証明は具体的なそのような数を示していませんでした。 ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$${\displaystyle \pi (x)}$${\displaystyle \operatorname {li} (x).}$${\displaystyle x}$

スキューズ（1933）は、リーマン予想が 正しいと仮定すると、${\displaystyle x}$${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x),}$

${\displaystyle e^{e^{e^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}.}$

リーマン予想を仮定せずに、スケウズ（1955）は、以下 の値が存在することを証明した。${\displaystyle x}$

${\displaystyle e^{e^{e^{e^{7.705}}}}<10^{10^{10^{964}}}.}$

スキューズの課題はリトルウッドの存在証明を有効なものにすること、つまり最初の符号変化の具体的な上限を示すことだった。ゲオルク・クライゼルによれば、当時は原理的にさえもこれは明らかとは考えられていなかった。

これらの上限は、その後、リーマンゼータ関数の零点の大規模コンピュータ計算を使用することで大幅に削減されました。交差点の実際の値の最初の推定値は、Lehman (1966) によって与えられ、 と の間に となる連続した整数が 個以上あることが示されました。リーマン予想を仮定せずに、HJJ te Riele  (1987) は の上限を証明しました。より優れた推定値はBays & Hudson (2000) によって発見され、となるこの値の近くのいずれかに少なくとも 個の連続した整数があることを示しました。Bays と Hudson は、がに近づくのはるかに小さい値をいくつか発見しました。これらの値の近くに交差点がある可能性はまだ完全には排除されていないようですが、コンピュータ計算では交差点が存在する可能性は低いことが示唆されています。Chao & Plymen (2010) は、Bays と Hudson の結果に小さな改良と修正を加えました。 Saouter & Demichel (2010) は交差のより小さな区間を発見し、これは Zegowitz (2010) によってわずかに改善されました。同じ情報源は、を下回る数が存在することを示しています。これは、リーマン予想を仮定することに帰着できます。Stoll & Demichel (2011) は を与えました。 ${\displaystyle 1.53\times 10^{1165}}$${\displaystyle 1.65\times 10^{1165}}$${\displaystyle 10^{500}}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$${\displaystyle 7\times 10^{370}}$${\displaystyle 1.39822\times 10^{316}}$${\displaystyle 10^{153}}$${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \pi (x)}$${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x),}$${\displaystyle e^{727.9513468}$${\displaystyle e^{727.9513386}$${\displaystyle 1.39716\times 10^{316}}$

厳密に言えば、Rosser & Schoenfeld (1962) は を下回るクロスオーバーポイントは存在しないことを証明し、これを Brent (1975) によって に改良し、Kotnik (2008) によって に改良し、Platt & Trudgian (2014) によって に改良し、Büthe (2015) によって に改良しました。 ${\displaystyle x=10^{8}}$${\displaystyle 8\times 10^{10}}$${\displaystyle 10^{14}}$${\displaystyle 1.39\times 10^{17}}$${\displaystyle 10^{19}}$

この特性を持つと確実に知られている明示的な値はありませんが、コンピューター計算では、この特性を満たす可能性が高い明示的な数値がいくつか示されています。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x),}$

の正の整数の自然密度は存在しないが、Wintner (1941) はこれらの正の整数の対数密度は存在し、正であることを示した。Rubinstein & Sarnak (1994) は、この比率が約 0.00000026 であることを示したが、最初の例を見つけるのにどれだけ時間がかかるかを考えると、これは驚くほど大きい。 ${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$

リーマンはの明示的な公式を与えた。その主要項は（いくつかの微妙な収束の問題を無視すると） ${\displaystyle \pi (x)}$

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })+{\text{より小さい項}}}$

ここで、和はリーマンゼータ関数の非自明な零点の集合全体にわたっています。 ${\displaystyle \rho}$

近似における最大の誤差項（リーマン予想が正しい場合）は負の であり、 が通常 より大きいことを示しています。上記の他の項はいくぶん小さく、さらに異なる、一見ランダムな複素引数を持つ傾向があるため、大部分は打ち消し合います。ただし、たまに、大きな項のいくつかがほぼ同じ複素引数を持つことがあり、その場合、それらは打ち消し合う代わりに互いに強め合い、項 を圧倒します。 ${\displaystyle \pi (x)\approx \operatorname {li} (x)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})}$${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$${\displaystyle \pi (x)}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})}$

スキューズ数が非常に大きい理由は、これらの小さな項が主要な誤差項よりもかなり小さいためです。これは主に、ゼータ関数の最初の複素零点の虚数部が非常に大きいため、支配的な項を圧倒するためには、多数の（数百の）複素零点がほぼ同じ引数を持つ必要があるためです。ランダムな複素数がほぼ同じ引数を持つ可能性は、約 1 分の 1 です。これは、が よりも大きい場合があること、また、これが起こることがまれである理由を説明しています。また、これが発生する場所を見つけるには、リーマンゼータ関数の何百万もの高精度零点の大規模な計算が必要であることも示しています。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle 2^{N}}$${\displaystyle \pi (x)}$${\displaystyle \operatorname {li} (x),}$

上記の議論は証明ではありません。リーマンゼータ関数の零点がランダムであると仮定しているからです。これは真実ではありません。大まかに言えば、リトルウッドの証明はディリクレの近似定理から成り、多くの項がほぼ同じ引数を持つことがあることを示しています。リーマン予想が偽である場合、議論ははるかに単純になります。基本的に、リーマン予想に違反する零点の項（実部が⁠より大きい）が${\displaystyle \operatorname {li} (x^{\rho })}$1/2⁠）は最終的には よりも大きくなります。 ${\displaystyle \operatorname {li} (x^{1/2})}$

この項の理由は、大まかに言えば、 は実際には素数そのものではなく、 で重み付けされた素数の累乗を数えるためです。 この項は、素数の平方を考慮した 2 次補正とほぼ類似しています。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})}$${\displaystyle \mathrm {li} (x)}$${\displaystyle p^{n}}$${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})}$

スキューズ数の同等の定義は、素数k組に対しても存在する(Tóth (2019))。を素数 ( k  + 1) 組とすると、 となる素数のうちすべて素数となるものの数は、 となり、となる素数のハーディ・ リトルウッド定数 (第一ハーディ・リトルウッド予想を参照) となる。すると、 ( k  + 1) 組に対してハーディ・リトルウッド不等式に違反する最初の素数、すなわち、${\displaystyle P=(p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k})}$${\displaystyle \pi_{P}(x)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k}}$${\displaystyle \operatorname {li_{P}} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{k+1}}}}$${\displaystyle C_{P}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle P}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),}$

（そのような素数が存在する場合）は、${\displaystyle P.}$

以下の表は、素数k組の現在知られている Skewes 数を示しています。

セクシー素数 の Skewes 数 (存在する場合) はまだ不明です。 ${\displaystyle (p,p+6)}$

すべての許容可能なk組に対応する Skewes 数がある かどうかも不明です。

• メルテンスの定理 § 符号の変化

• Demichels, Patrick. 「素数カウント関数と関連する主題」(PDF)。Demichel 。 2006 年 9 月 8 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ。2009 年 9 月 29 日閲覧。
• アシモフ、I. (1976)。「串刺し！」。大小さまざまな事柄について。ニューヨーク：エースブックス。ISBN 978-0441610723。