ランダウ関数

数学において、エドモンド・ランダウにちなんで名付けられたランダウ関数 g ( n ) は、すべての自然数nに対して対称群S _nの元の最大位数として定義されます。同様に、g ( n ) はnの任意の分割の最大最小公倍数(lcm) 、またはn要素の順列を、開始シーケンスに戻る前にそれ自体に再帰的に適用できる 最大回数です。

例えば、5 = 2 + 3 で lcm(2,3) = 6 である。5 の分割でこれより大きな lcm は得られないので、g (5) = 6 となる。群S ₅の位数 6 の元は、循環記法で (1 2) (3 4 5) と書くことができる。同じ議論が数 6 にも当てはまることに注意されたい。つまり、g (6) = 6 である。関数gが定数となる、任意の長さの連続した数列n、n  + 1、...、n  +  mが存在する。^[1]

整数列 g (0) = 1、g (1) = 1、g (2) = 2、g (3) = 3、g (4) = 4、g (5) = 6、g (6) = 6 、 g ( 7) = 12、g (8) = 15、...（OEISの列A000793 ）は、1902年に^[2]次のこと を証明したエドモンド・ランダウにちなんで名付けられました。

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln(g(n))}{\sqrt {n\ln(n)}}}=1}$

(ここで、ln は自然対数を表します)。同様に (小文字の o 表記を使用)、となります。 ${\displaystyle g(n)=e^{(1+o(1)){\sqrt {n\ln n}}}}$

より正確には、^[3]

${\displaystyle \ln g(n)={\sqrt {n\ln n}}\left(1+{\frac {\ln \ln n-1}{2\ln n}}-{\frac {(\ln \ln n)^{2}-6\ln \ln n+9}{8(\ln n)^{2}}}+O\left(\left({\frac {\ln \ln n}{\ln n}}\right)^{3}\right)\right).}$

（ここで は素数関数、逆関数を持つ対数積分関数を表し、フォード^[4]によって定数c > 0に対して をとることができる）とすると、 ^[3]${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {Li} (x)=O(R(x))}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle \operatorname {リー} }$ ${\displaystyle \operatorname {Li} ^{-1}}$${\displaystyle R(x)=x\exp {\bigl (}-c(\ln x)^{3/5}(\ln \ln x)^{-1/5}{\bigr )}}$

${\displaystyle \ln g(n)={\sqrt {\operatorname {Li} ^{-1}(n)}}+O{\bigl (}R({\sqrt {n\ln n}})\ln n{\bigr )}.}$

という声明

${\displaystyle \lng(n)<{\sqrt {\mathrm {Li} ^{-1}(n)}}}$

十分に大きいnに対しては、リーマン予想と同等である。

それは次のことが証明できる

${\displaystyle g(n)\leq e^{n/e}}$

関数間の等式はn = 0でのみ成立し、実際

${\displaystyle g(n)\leq \exp \left(1.05314{\sqrt {n\ln n}}\right).}$^[5]

• E. Landau、「Über die Maximalordnung der Permutationen gegebenen Grades [与えられた次数の順列の最大順序について]」、Arch.数学。物理学。サー。 3、vol. 1903 年 5 日。
• W. ミラー、「有限対称群の要素の最大位数」、アメリカ数学月刊誌、第 94 巻、1987 年、497 ～ 506 ページ。
• J.-L. Nicolas、「ランダウの関数g ( n ) について」、『The Mathematics of Paul Erdős』、第 1 巻。 1、Springer-Verlag、1997、228 ～ 240 ページ。

• OEISシーケンス A000793 (自然数上のランダウ関数)