ヒルベルトの第8問題

素数の分布理論における重要な進歩は、近年、アダマール、ド・ラ・ヴァレ＝プッサン、フォン・マンゴルトらによって成し遂げられた。しかし、リーマンの論文「与えられた大きさにおける素数の数について」で提起された問題を完全に解決するためには、リーマンの極めて重要な命題、すなわち、級数によって定義される関数 zeta(s) の零点が次のようになるという命題の正しさを証明する必要がある。

$\displaystyle \zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\dots }$

よく知られている負の整数実数零点を除いて、すべて実部が 1/2 である。この証明がうまく確立されれば、次の問題は、与えられた数より小さい素数の数に関するリーマンの無限級数をより正確に検証し、特に、数 x より小さい素数の数と x の整数対数との差が、実際に x に関して 1/2 より大きくない無限大になるかどうかを判断することである。さらに、素数を数える際に観察された素数の時折の凝縮が、関数の最初の複素零点に依存するリーマンの公式の項によるものかどうかを判断しなければならない。$\textstyle \zeta (s)$。

リーマンの素数公式を徹底的に議論した後、おそらく私たちはいつか、ゴールドバッハの問題、すなわちすべての整数が2つの正の素数の和として表せるかどうかという問題の厳密な解決を試みることができるようになるでしょう。さらに、差が2である素数のペアが無限に存在するかどうかというよく知られた問題、あるいは線形ディオファントス方程式が成り立つかどうかというより一般的な問題に取り組むことができるようになるかもしれません。

${\displaystyle ax+by+c=0}$

（与えられた整数係数は互いに素である）は、常に素数 x と y で解くことができる。

しかし、次の問題も同様に興味深く、おそらくさらに広範囲に及ぶように思われる。すなわち、有理素数の分布に関して得られた結果を、与えられた数体における理想素数の分布の理論に適用することである。${\displaystyle K}$- 関数の研究に着目した問題$\zeta _{K}(s)$分野に属し、シリーズによって定義されるもの：

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum {\frac {1}{n(j)^{s}}}}$

ここで、和は与えられた領域 K のすべてのイデアル j にわたって取られ、n(j) はイデアル j のノルムを表す。

ヒルベルトがこの問題を提起してから1世紀後、リーマン予想から自明に導かれる、はるかに弱い密度推定しか証明されなかった。

• ハーディとリトルウッド（1921）は、無限に多くの非自明な零点がリーマン予想を満たすことを証明しました。この結果は何度も改善され、セルバーグ（1942）は零点の正の割合がそれを満たすことを示し、レビンソン（1974）はこの推定を1/3に、コンレイ（1989）は2/5に改善し、プラットら（2020）は5/12という推定を達成し、最良の結果となりました。
• ボーアとランダウ（1914）は、任意の小さな値に対して${\displaystyle \epsilon >0}$そして想像上の部分${\displaystyle -T<\operatorname {Im} (z)<T}$実数部を持つゼロの数${\displaystyle |\operatorname {Re} (z)-{\tfrac {1}{2}}|\leq \epsilon }$は ${\displaystyle O(T)}$。このような虚数部を持つゼロの数は、${\displaystyle O(T\log T)}$そしてTを無限大に近づけると、ほとんどすべての零点が臨界線に非常に近い位置にあることがわかる。

ヒルベルトのリストに登場してから1世紀の間に、リーの基準、ド・ブルイン＝ニューマン定数の消失、算術関数の増大率など、多くの同等の条件が提案されました。オリジナルのリーマン予想は、より広い関数クラスに多くの一般化がなされ、保型形式やラングランズ・プログラムとの関連付けが可能になりました。これは問題の解決策ではなく、ラングランズ・プログラム自体も依然として非常に推測的なものですが、将来の試みへの道を開くものです。

ヒルベルトによって与えられたディオファントス方程式の一般ケースは、現在の数論の手法では解くことができないように思われる。

Yitang Zhangによって得られ、後にPolymathプロジェクトによって改良された素数間のギャップの下限に関する結果は、非常に特殊なケースについて部分的な結果を示している。

${\displaystyle x-y+c=0}$

素数ギャップの下限は、ある値が存在すると述べている。${\displaystyle c\leq 246}$この方程式は素数で無限個の解を持つ。双子素数予想は以下と同等である。${\displaystyle c=2}$はそのような数であるが、より一般的なディクソン予想から、すべての偶数はそのような数であるはずだということがわかる。

双子素数予想やゴールドバッハ予想から導かれる、チェンの定理やハラルド・ヘルフォットによるゴールドバッハの弱い予想の証明の試み（現在査読中）のような、はるかに弱い結果も、元の予想の真実性を信じる理由を与えてくれるが、ヒルベルトが与えた方程式の素数解についての答えは提供しない。

デデキントゼータ関数に関しては、問題のステータスは、デデキントゼータ関数からどのような結果を期待するかによって決まる。

それらの解析接続の存在は、関数方程式とともにエーリッヒ・ヘッケによって証明されました。^{[ 2 ]}これにより、リーマンゼータ関数に関する現在の知識で通常の素数と同様の結果を整数環の素イデアルについて得ることができました。しかし、これを問題の最初のポイントの文脈で拡張リーマン予想を証明するという挑戦として解釈し、それによってそこから導かれるはるかに強力な結果を得るとすれば、この問題のこの部分はまだ解決されていません。