元本価値

数学、特に複素解析では、多価関数は、ほぼすべての点の近傍で、その関数のグラフが、滑らかな関数のグラフの1つまたは複数個の非交和となるという性質を持つことが多い。多価関数の分岐。複素解析関数の場合、これらの分岐は、有限個の点を除いて複素平面全体で定義され、その定義域で多価関数の1つの値に等しい滑らかな関数に拡張できます。多くの場合、分岐は、そのような最大分岐に特に関連する値を示します。

多変数関数の主分岐 とは、これらの最大分岐のうちの1つであり、一度だけ選択される。通常、主分岐は、変数の小さな正の値に対して実数値をとる分岐である。

主値とは、関数の主枝によって定義される点における値のことです。多くの場合、多価関数の点における主値は、引数の絶対値が最小となる値、そしてそのような値が2つある場合は、実部が正となる値によって他の値と区別されます。

平方根関数は簡単な例です。ゼロでない複素数はすべて2つの平方根を持ちます。正の実数の平方根の主値は、正の平方根で、 と表記されます。$\displaystyle {\sqrt {x}}}$非実数複素数の主平方根は、区間内の引数を持つものです。${\displaystyle (-\pi /2,\pi /2)}$⁠、そして負の実数の主平方根⁠${\displaystyle -x}$⁠は⁠${\displaystyle i{\sqrt {x}}}$⁠ .

複素対数関数log zを考えます。これは、次の条件を満たす複素数wとして定義されます。

${\displaystyle e^{w}=z.}$

例えば、log iを求めたいとしましょう。これは、次の式を解きたいということです。

${\displaystyle e^{w}=i}$

のために${\displaystyle w}$値${\displaystyle i\pi /2}$解決策の一つです。

しかし、複素平面におけるiの位置、特にその偏角を考慮すると、他の解決策も存在することがわかる。${\displaystyle \arg i}$反時計回りに回転させることができます${\displaystyle \pi /2}$最初は1ラジアンからiまで回転しますが、さらに回転すると${\displaystyle 2\pi }$再びiに到達します。したがって、次のことが結論付けられます。${\displaystyle i(\pi /2+2\pi )}$はlog iの解でもあります。任意の倍数を加えることができることが明らかになります。${\displaystyle 2\pi }$log iのすべての値を取得するために、最初の解に戻ります。

しかし、これは実数値関数と比較すると驚くべき結果をもたらすかもしれない。log i は確定値を一つ持たない。log zについては、次のようになる。

${\displaystyle \log {z}=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {arg} \ z\right)=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {Arg} \ z+2\pi k\right)}$

整数kに対して、Arg zはzの（主）引数であり、区間内に定義される。${\displaystyle (-\pi ,\ \pi ]}$kの各値は、多値対数関数の単一値成分である「枝」（またはシート）を決定します。単一の枝に焦点を当てる場合、枝切りが使用されることがあります。この場合、関数の定義域から非正の実数を取り除き、${\displaystyle \pi }$Arg zの可能な値として。この分岐切断により、単一分岐関数はその定義域全体で連続かつ解析的になります。

k = 0に対応する枝は主枝として知られており、この枝に沿って関数が取る値は主値として知られています。

一般に、f ( z )が多値関数である場合、fの主枝は次のように表されます。

${\displaystyle \mathrm {pv} \,f(z)}$

fの定義域内のzに対して、pv f ( z )は一価となる。

標準関数の主値

複素数値の基本関数は、定義域によっては多価関数となることがある。これらの関数の中には、より単純な関数に分解することで主値を求めることができるものがあり、その場合、単純な関数の主値は容易に求められる。

対数関数

我々は上記の対数関数、すなわち、

${\displaystyle \log {z}=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {arg} \ z\right).}$

さて、arg zは本質的に多価です。複素数の引数は、多くの場合、次の値の間で定義されます。${\displaystyle -\pi }$（独占）そして${\displaystyle \pi }$（含む）なので、これを引数の主値とみなし、この分岐の引数関数をArg z（先頭に大文字の A を付けて）と書きます。arg zの代わりにArg zを使用すると、対数の主値が得られ、^{[ 1 ]と書きます。}

${\displaystyle \mathrm {pv} \log {z}=\mathrm {Log} \,z=\ln {|z|}+i\left(\mathrm {Arg} \,z\right).}$

平方根

複素数の場合${\displaystyle z=re^{i\phi }\,}$平方根の主値は次のとおりです。

${\displaystyle \mathrm {pv} {\sqrt {z}}=\exp \left({\frac {\mathrm {pv} \log z}{2}}\right)={\sqrt {r}}\,e^{i\phi /2}}$

引数付き${\displaystyle -\pi <\phi \leq \pi .}$ 負の実数が平方根関数の定義域に含まれないように分岐カットが導入され、${\displaystyle \phi =\pi .}$

逆三角関数と逆双曲線関数

逆三角関数（arcsin、arccos、arctanなど）および逆双曲線関数（arsinh、arcosh、artanhなど）は対数を用いて定義でき、それらの主値は対数の主値を用いて定義できます。

複雑な議論

ラジアンで測定される複素数引数の主値は、次のように定義できます。

• 範囲内の値${\displaystyle [0,2\pi )}$
• 範囲内の値${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

例えば、多くの計算システムにはatan2( y , x )関数が含まれています。 atan2(imaginary_part( z ), real_part( z ))の値は、次の区間に含まれます。${\displaystyle (-\pi ,\pi ].}$ それに比べて、atan y / xは通常${\displaystyle ({\tfrac {-\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}].}$

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