多対数

数学では、ポリ対数関数（アルフレッド・ジョンキエールにちなんでジョンキエール関数とも呼ばれる）は、次数s、引数zの特殊関数Li _s ( z )です。 sの特定の値に対してのみ、ポリ対数関数は自然対数や有理関数などの基本関数に還元されます。量子統計学では、ポリ対数関数はフェルミ・ディラック分布とボーズ・アインシュタイン分布の積分の閉じた形式として現れ、フェルミ・ディラック積分またはボーズ・アインシュタイン積分とも呼ばれます。量子電磁力学では、正の整数次数のポリ対数関数は、高次のファインマン図で表されるプロセスの計算に現れます。

多重対数関数はフルヴィッツのゼータ関数と等価であり、どちらの関数も他方の関数で表すことができ、どちらの関数もレルヒの超越関数の特殊な場合である。多重対数は、多重対数関数や、添え字なしで同じ表記を持つオフセット対数積分Li( z )と混同してはならない。

• 複素平面上のさまざまな多対数関数
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  Li _–3 ( z )
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  Li _–2 ( z )
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  Li _–1 ( z )
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  Li ₀ ( z )
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  Li ₁ ( z )
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  Li ₂ ( z )
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  Li ₃ ( z )

ポリログ関数は、メルカトル級数を一般化したzのべき級数によって定義され、これはsのディリクレ級数でもある。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}=z+{z^{2} \over 2^{s}}+{z^{3} \over 3^{s}}+\cdots }$$

この定義は、任意の複素数次数sおよび| z | < 1を満たすすべての複素引数zに対して有効です。解析接続のプロセスにより、 | z | ≥ 1に拡張できます。（ここで、分母k ^sはexp( s ln k )と解釈されます）。 s = 1 の特殊なケースでは、通常の自然対数Li ₁ ( z ) = −ln(1− z )が用いられ、 s = 2およびs = 3の特殊なケースでは、それぞれ二重対数（スペンス関数とも呼ばれる）および三重対数と呼ばれます。 この関数の名前は、それ自身を 繰り返し積分することによって定義できるという事実に由来しています。$$\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(t)}{t}}dt}$$ したがって、二重対数は対数を含む関数の積分であり、以下同様である。非正の整数次数sの場合、多重対数は有理関数である。

注文の場合${\displaystyle s}$は整数であり、次のように表されます。${\displaystyle s=n}$（または${\displaystyle s=-n}$負の場合）。定義すると便利な場合が多い。${\displaystyle \mu =\ln(z)}$どこ${\displaystyle \ln(z)}$複素対数の主枝である${\displaystyle \operatorname {Ln} (z)}$となることによって${\displaystyle -\pi <\operatorname {Im} (\mu )\leq \pi .}$また、すべてのべき乗は単一の値であると仮定します。${\displaystyle z^{s}=\exp(s\ln(z)).}$

注文内容に応じて${\displaystyle s}$多対数関数は多値をとる可能性がある。${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$与えられたものとみなされる${\displaystyle |z|<1}$上記の級数定義により、正の実軸を除いて連続であるとみなされ、そこでは切断が行われる。${\displaystyle z=1}$に${\displaystyle \infty }$軸が下半平面上に配置されるように${\displaystyle z}$。に関しては${\displaystyle \mu }$これは、${\displaystyle -\pi <\arg(-\mu )\leq \pi }$多対数関数の不連続性は、${\displaystyle \mu }$時として混乱を招くことがある。

本当の議論のために${\displaystyle z}$実数次多項式の対数${\displaystyle s}$現実であれば${\displaystyle z<1}$、そしてその想像上の部分は${\displaystyle z\geq 1}$（ウッド 1992 、 §3 ）：

$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{s}(z)\right)=-{{\pi \mu ^{s-1}} \over {\Gamma (s)}}.}$$

切り込み線を越えて、εが無限小の正の実数である場合、次のようになります。

$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{s}(z+i\epsilon )\right)={{\pi \mu ^{s-1}} \over {\Gamma (s)}}.}$$

どちらも、 μ = 0の周りでのLi _s ( e ^μ )の級数展開 (下記参照)から結論付けることができる。

多対数関数の導関数は、定義級数から導かれる。

$${\displaystyle z{\frac {\partial \operatorname {Li} _{s}(z)}{\partial z}}=\operatorname {Li} _{s-1}(z)}$$$${\displaystyle {\frac {\partial \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })}{\partial \mu }}=\operatorname {Li} _{s-1}(e^{\mu }).}$$

二乗の関係は級数の定義から見て取れ、倍数公式と関連している（Clunie (1954)、Schrödinger (1952)も参照）。

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-z)+\operatorname {Li} _{s}(z)=2^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{2}).}$$

クンマー関数は、非常によく似た複製公式に従います。これは、任意の正の整数pに対する乗算公式の特殊なケースです。

$${\displaystyle \sum _{m=0}^{p-1}\operatorname {Li} _{s}(ze^{2\pi im/p})=p^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{p}),}$$

これは、多対数の級数定義と指数項の直交性を用いて証明できる（例えば、離散フーリエ変換を参照）。

もう一つの重要な性質である反転公式は、フルヴィッツのゼータ関数またはベルヌーイ多項式に関係しており、以下の他の関数との関係で示されています。

特定のケースでは、多対数関数は他の関数を用いて表現できる場合がある（下記参照）。したがって、多対数関数の特定の値は、これらの他の関数の特定の値としても求められる。

1. 多対数次数の整数値の場合、 z ·∂/∂ zをLi ₁ ( z ) に 繰り返し適用することにより、次の明示的な式が得られます。$${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\ln(1-z)}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{0}(z)={z \over 1-z}}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-1}(z)={z \over (1-z)^{2}}}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-2}(z)={z(1+z) \over (1-z)^{3}}}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-3}(z)={z(1+4z+z^{2}) \over (1-z)^{4}}}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-4}(z)={z(1+z)(1+10z+z^{2}) \over (1-z)^{5}}.}$$したがって、多項式対数はz に関する多項式の比に還元され、すべての非正の整数次数に対してzの有理関数となる。一般の場合を有限和として表すことができる。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=\left(z{\partial \over \partial z}\right)^{n}{z \over {1-z}}=\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1)\left({z \over {1-z}}\right)^{k+1}\qquad (n=0,1,2,\ldots ),}$$ ここで、S ( n , k )は第2種スターリング数である。負の整数次数に適用可能な同等の公式は( Wood 1992 , §6)である。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=(-1)^{n+1}\sum _{k=0}^{n}k!S(n+1,k+1)\left({{-1} \over {1-z}}\right)^{k+1}\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$$ そして： $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)={1 \over (1-z)^{n+1}}\sum _{k=0}^{n-1}\left\langle {n \atop k}\right\rangle z^{n-k}\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$$ どこ${\displaystyle \scriptstyle \left\langle {n \atop k}\right\rangle }$はオイラー数です。 Li _{− n} ( z ) のすべての根は互いに異なり実数です。それらにはz = 0 が含まれますが、残りは負で、対数スケールでz = −1 を中心としています。 n が大きくなるにつれて、これらの有理式の数値評価はますます相殺の問題に悩まされます( Wood 1992 、§ 6 ) 。ただし、フルヴィッツゼータ関数との一般的な関係を使用して Li _{− n} ( z )を計算することで、完全な精度が得られます(下記参照)。
2. 引数zの半整数値を表す具体的な表現例をいくつか挙げます。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}({\tfrac {1}{2}})=\ln 2}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\ln 2)^{2}}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{3}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{6}}(\ln 2)^{3}-{\tfrac {1}{12}}\pi ^{2}\ln 2+{\tfrac {7}{8}}\zeta (3),}$$ ここでζはリーマンゼータ関数である。この種の公式は高次の整数階数については知られていない（Lewin 1991 、p. 2）が、例えば（Borwein、Borwein & Girgensohn 1995 ）がある。  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{4}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{360}}\pi ^{4}-{\tfrac {1}{24}}(\ln 2)^{4}+{\tfrac {1}{24}}\pi ^{2}(\ln 2)^{2}-{\tfrac {1}{2}}\zeta ({\bar {3}},{\bar {1}}),}$$ これは交互の二重和を含む $${\displaystyle \zeta ({\bar {3}},{\bar {1}})=\sum _{m>n>0}(-1)^{m+n}m^{-3}n^{-1}.}$$ 一般に、整数次数n ≥ 2 の場合、次のことが成り立つ（Broadhurst 1996 、p. 9）：  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}({\tfrac {1}{2}})=-\zeta ({\bar {1}},{\bar {1}},\left\{1\right\}^{n-2}),}$$ ここで、 ζ ( s ₁ , …, s _k ) は多重ゼータ関数です。例えば、次のようになります。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{5}({\tfrac {1}{2}})=-\zeta ({\bar {1}},{\bar {1}},1,1,1).}$$
3. 級数の定義から当然に、p番目の複素根における多対数の値は、フーリエ和によって与えられる。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{2\pi im/p})=p^{-s}\sum _{k=1}^{p}e^{2\pi imk/p}\zeta (s,{\tfrac {k}{p}})\qquad (m=1,2,\dots ,p-1),}$$ ここでζはフルヴィッツ ゼータ関数です。Re( s ) > 1 の場合、Li _s (1) は有限ですが、m = 0 またはm = pの場合にもこの関係が成り立ちます。この式は、以下の他の関数との関係で示されているフルヴィッツ ゼータ関数とのより一般的な関係によって示唆されるほど単純ではありませんが、 sの非負の整数値にも適用できるという利点があります。通常どおり、この関係を反転して、任意のm = 1, …, p に対して ζ( s , ^m ⁄ _p )をk = 1, …, pに関する Li _s (exp(2 πi ^k ⁄ _p ))のフーリエ和として表すことができます。

• z = 1の場合、多対数関数はリーマンゼータ関数に帰着する。$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(1)=\zeta (s)\qquad (\operatorname {Re} (s)>1).}$$
• 多対数関数は、ディリクレのイータ関数およびベータ関数と関連しています。$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-1)=-\eta (s),}$$ここで、η ( s )はディリクレのイータ関数である。純虚数引数の場合、次のようになる。$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(\pm i)=-2^{-s}\eta (s)\pm i\beta (s),}$$ここで、β ( s )はディリクレベータ関数である。
• 多重対数関数は、完全なフェルミ・ディラック積分と次のような関係にある。$${\displaystyle F_{s}(\mu )=-\operatorname {Li} _{s+1}(-e^{\mu }).}$$
• 多重対数関数は、完全なボーズ・アインシュタイン積分と次のような関係にある。$${\displaystyle G_{s}(\mu )=\operatorname {Li} _{s+1}(e^{\mu }).}$$
• ポリログ関数は、不完全ポリログ関数の特殊なケースである。$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\operatorname {Li} _{s}(0,z).}$$
• 多重対数はレルヒ超越法の特殊なケースです( Erdélyi et al. 1981 , § 1.11-14)$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=z\Phi (z,s,1).}$$
• ポリ対数関数は、フルヴィッツのゼータ関数と次のような関係にある。$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\Gamma (1-s) \over (2\pi )^{1-s}}\left[i^{1-s}\zeta \left(1-s,{\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)+i^{s-1}~\zeta \left(1-s,{\frac {1}{2}}-{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)\right],}$$しかしながら、この関係は、正の整数sにおいてガンマ関数Γ(1 − s )の極によって、またs = 0において両方のゼータ関数の極によって無効になります。この式の導出は、以下の級数表現で示されています。フルヴィッツゼータ関数の関数方程式を少し利用すれば、ポリログも( Jonquière 1889 )を介してその関数と関連付けられます。$${\displaystyle i^{-s}\operatorname {Li} _{s}(e^{2\pi ix})+i^{s}\operatorname {Li} _{s}(e^{-2\pi ix})={\frac {(2\pi )^{s}}{\Gamma (s)}}\zeta (1-s,x),}$$この関係は、 Im( x ) ≥ 0の場合0 ≤ Re( x ) < 1で成り立ち、Im( x ) < 0の場合0 < Re( x ) ≤ 1で成り立つ。同様に、すべての複素数sおよび複素数z ∉ (0, 1 ]に対して、反転公式は次のようになる。$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)+(-1)^{s}\operatorname {Li} _{s}(1/z)={\frac {(2\pi i)^{s}}{\Gamma (s)}}~\zeta \left(1-s,~{\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right),}$$また、すべての複素数sおよび複素数z ∉ (1, ∞)に対して$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)+(-1)^{s}\operatorname {Li} _{s}(1/z)={(2\pi i)^{s} \over \Gamma (s)}~\zeta \left(1-s,~{\frac {1}{2}}-{\ln(-1/z) \over {2\pi i}}\right).}$$z ∉ (0, ∞)の場合、 ln(− z ) = −ln(− ¹ ⁄ _z )となり、両方の式が一致します。これらの関係は、定義するべき級数の収束円 | z | = 1 を超えた多重対数の解析接続を提供します。（多重対数と対数の主枝が同時に使用されると仮定すると、 Jonquière (1889 、式 5)およびErdélyi ら (1981 、§ 1.11-16)の対応する式は正しくありません。） sが整数の場合の簡略化された式については、次の項目を参照してください。
• 正の整数次数sに対して、フルヴィッツのゼータ関数 ζ(1− s , x ) はベルヌーイ多項式ζ (1− n , x ) = −B _n ( x ) / nに簡略化され、 n = 1, 2, 3, …に対するジョンキエールの逆変換公式は次のようになります。$${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{2\pi ix})+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(e^{-2\pi ix})=-{(2\pi i)^{n} \over n!}B_{n}(x),}$$ここで、Im( x ) ≥ 0 の場合は 0 ≤ Re( x ) < 1 、Im( x ) < 0 の場合は 0 < Re( x ) ≤ 1 となります。多対数引数を単位円に制限すると、Im( x ) = 0 となり、この式の左辺は n が偶数の場合は 2 Re(Li _n ( e ^{2 πix} ))に、 nが奇数の場合は 2 i Im(Li _n ( e ^{2 πix} ))に簡略化されます。一方、負の整数次数の場合、Γ( s ) の発散は、すべてのzに対して次のことを意味します( Erdélyi et al. 1981 、§ 1.11-17) :$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{-n}(1/z)=0\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$$より一般的には、n = 0, ±1, ±2, ±3, …に対して次のようになる。$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(1/z)&=-{\frac {(2\pi i)^{n}}{n!}}B_{n}\left({\frac {1}{2}}+{\ln(-z) \over {2\pi i}}\right)&(z\not \in ]0;1]),\\\operatorname {Li} _{n}(z)+(-1)^{n}\operatorname {Li} _{n}(1/z)&=-{\frac {(2\pi i)^{n}}{n!}}B_{n}\left({\frac {1}{2}}-{\ln(-1/z) \over {2\pi i}}\right)&(z\not \in ~]1;\infty [),\end{aligned}}}$$ここで、両方の式はz ∉ (0, ∞)の場合に一致する。（ジョンキエール（1889 、式1）およびエルデリイら（1981 、§1.11-18）の対応する式は、やはり正しくない。）
• 純虚数μを持つポリ対数は、クラウゼン関数Ci _s (θ)とSi _s (θ)で表すことができ、その逆もまた同様である（Lewin 1958 、第VII章§1.4；Abramowitz & Stegun 1972 、§27.8）。$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\pm i\theta })=Ci_{s}(\theta )\pm iSi_{s}(\theta ).}$$
• 逆正接積分Ti _s ( z ) ( Lewin 1958 、第 VII 章 § 1.2) は、多重対数を用いて次のように表すことができます。$${\displaystyle \operatorname {Ti} _{s}(z)={1 \over 2i}\left[\operatorname {Li} _{s}(iz)-\operatorname {Li} _{s}(-iz)\right].}$$特にこの関係は、以下のことを意味する。$${\displaystyle \operatorname {Ti} _{0}(z)={z \over 1+z^{2}},\quad \operatorname {Ti} _{1}(z)=\arctan z,\quad \operatorname {Ti} _{2}(z)=\int _{0}^{z}{\arctan t \over t}dt,\quad \ldots ~\quad \operatorname {Ti} _{n+1}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\operatorname {Ti} _{n}(t)}{t}}dt,}$$これは関数名の由来を説明するものです。
• ルジャンドルカイ関数χ _s ( z ) ( Lewin 1958 , Ch. VII § 1.1 ; Boersma & Dempsey 1992 ) は、多対数の奇数部分として表すことができます。$${\displaystyle \chi _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{s}(z)-\operatorname {Li} _{s}(-z)\right].}$$
• 整数次多対数は、一般化超幾何関数として表現できる。$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{n}(z)&=z\,\;_{n+1\!}F_{n}(1,1,\dots ,1;2,2,\dots ,2;z)&(n=0,1,2,\ldots ),\\\operatorname {Li} _{-n}(z)&=z\,\;_{n}F_{n-1}(2,2,\dots ,2;1,1,\dots ,1;z)&(n=1,2,3,\ldots )~.\end{aligned}}}$$
• 不完全なゼータ関数、または「デバイ関数」（Abramowitz & Stegun 1972 、§ 27.1）に関して言えば：$${\displaystyle Z_{n}(z)={1 \over (n-1)!}\int _{z}^{\infty }{t^{n-1} \over e^{t}-1}dt\qquad (n=1,2,3,\ldots ),}$$正の整数 n に対する多対数 Li _n ( z ) は、有限和として表すことができる( Wood 1992 、§16) :$${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{\mu })=\sum _{k=0}^{n-1}Z_{n-k}(-\mu ){\mu ^{k} \over k!}\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$$驚くほど類似した表現は、「デバイ関数」Z _n ( z ) と多対数関数を関連付けています。$${\displaystyle Z_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n-1}\operatorname {Li} _{n-k}(e^{-z}){z^{k} \over k!}\qquad (n=1,2,3,\ldots ).}$$
• ランベルト級数を用いると、${\displaystyle J_{s}(n)}$がジョルダンのトーシェント関数である場合、$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}J_{-s}(n)}{1-z^{n}}}=\operatorname {Li} _{s}(z).}$$

以下の積分表現のいずれかは、定義するべき級数の収束円 | z | = 1を超えた多重対数の解析接続を提供する。

1. 多重対数関数は、ボーズ・アインシュタイン分布 の積分を用いて表すことができる。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1} \over e^{t}/z-1}dt.}$$ これは Re( s ) >  0 および z が実数で ≥ 1 の場合を除くすべてのzに対して収束します。この文脈におけるポリログは、ボーズ積分と呼ばれることもありますが、より一般的にはボーズ・アインシュタイン積分と呼ばれます( Dingle 1957a、Dingle、Arndt & Roy 1957 )。^{[注 1 ]}同様に、ポリログはフェルミ・ディラック分布の積分で表すことができます。  $${\displaystyle -\operatorname {Li} _{s}(-z)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1} \over e^{t}/z+1}dt.}$$ これはRe( s ) > 0および z が実数で ≤ −1 の場合を除くすべてのzに対して収束します。この文脈におけるポリ対数関数は、フェルミ積分またはフェルミ・ディラック積分と呼ばれることもあります( GSL 2010、Dingle 1957b )。これらの表現は、被積分関数をzに関してテイラー展開し、項ごとに積分することで容易に検証できます。 Dingle の論文には、両方のタイプの積分の詳細な調査が含まれています。ポリ対数関数は、マクスウェル・ボルツマン分布の積分とも関連しています。  $${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {\operatorname {Li} _{s}(z)}{z}}={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }{t^{s-1}e^{-t}}dt=1.}$$ これはまた、原点近傍における多対数関数の 漸近挙動も示している。
2. 相補的な積分表現は、Re( s ) <  0 および実数で ≥ 0 のzを除くすべてのzに適用されます。  $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\int _{0}^{\infty }{t^{-s}\sin[s\pi /2-t\ln(-z)] \over \sinh(\pi t)}dt.}$$この積分は、多対数関数とフルヴィッツゼータ関数 の一般的な関係（上記参照）と、後者のよく知られた積分表現から導かれる。
3. 多重対数関数は、一般的にハンケル積分（Whittaker & Watson 1927 、§ 12.22、§ 13.13）で表すことができ、これはボーズ・アインシュタイン表現を負の次数sまで拡張するものです。被積分関数のt = μ 極が非負の実軸上になく、かつs ≠ 1, 2, 3, …である限り、次の式が成り立ちます。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{{\Gamma (1-s)} \over {2\pi i}}\oint _{H}{{(-t)^{s-1}} \over {e^{t-\mu }-1}}dt}$$ ここで、H はハンケル積分経路を表します。被積分関数は、実軸に沿ってゼロから無限大まで切断され、その軸はtの下半平面に属します。積分は上半平面の +∞ (Im( t ) >  0) から始まり、原点を周回しますが、極t = μ + 2 kπi は囲まれず、下半平面の +∞ (Im( t ) < 0) で終了します。μが実数で非負の 場合、囲まれたt = μ極の寄与を単純に差し引くことができます。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{{\Gamma (1-s)} \over {2\pi i}}\oint _{H}{{(-t)^{s-1}} \over {e^{t-\mu }}-1}dt-2\pi iR}$$ ここで、Rは極の 留数である。$${\displaystyle R={i \over 2\pi }\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}.}$$
4. 多重対数の定義級数にアベル・プラナの公式を適用する と、すべての複素数zおよびすべての複素数sに対して有効なエルミート型の積分表現が得られます。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+{\Gamma (1-s,-\ln z) \over (-\ln z)^{1-s}}+2z\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t-t\ln z)}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi t}-1)}}dt}$$ ここでΓは上不完全ガンマ関数_である。この式のln( z )のすべて（一部ではない）は−ln(1⁄z ⁾に置き換えることができる。すべての複素数sに対しても成り立つ関連表現は、 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+z\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[s\arctan t-t\ln(-z)]}{(1+t^{2})^{s/2}\sinh(\pi t)}}dt,}$$ 不完全なガンマ関数の使用は回避されますが、 Re( s ) ≤ 0の場合、この積分は正の実軸上のzに対して失敗します。この式は、2 ^s Li _s (− z ) / (− z ) = Φ( z ² , s , ¹ ⁄ ₂ ) − z Φ( z ² , s , 1) と書き、ここで Φ はLerch の超越関数であり、最初の Φ 系列に Abel–Plana の公式を適用し、2 番目の Φ 系列に 1 / ( e ^{2 πt} + 1) を 1 / ( e ^{2 πt} − 1)の代わりに含む補完的な公式を適用することによって得られます。  
5. 通常の等比級数を項ごとに 積分することで、ポリログスの積分を表すことができます。${\displaystyle s\in \mathbb {N} }$as ( Borwein、Borwein & Girgensohn 1995 、§2、eqn. 4)$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s+1}(z)={\frac {z\cdot (-1)^{s}}{s!}}\int _{0}^{1}{\frac {\log ^{s}(t)}{1-tz}}dt.}$$

1. 上記の積分表現の 項で述べたように、多重対数のボーズ・アインシュタイン積分表現は、ハンケル積分経路を用いることで負の次数sに拡張することができる。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=-{\Gamma (1-s) \over 2\pi i}\oint _{H}{(-t)^{s-1} \over e^{t-\mu }-1}dt,}$$ ここで、Hはハンケル積分経路、s ≠ 1, 2, 3, …、被積分関数のt = μ極は非負の実軸上にない。積分経路は、t − μ = 2 kπiにおける被積分関数の極を囲むように変更でき、積分は留数の和として評価できる( Wood 1992 、§ 12、13 ; Gradshteyn & Ryzhik 2015 )。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }(2k\pi i-\mu )^{s-1}.}$$これは Re( s ) < 0 およびe ^μ = 1を除くすべてのμ に対して成り立ちます。0 < Im( μ ) ≤ 2 πの場合、和は次のように分割できます。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)\left[(-2\pi i)^{s-1}\sum _{k=0}^{\infty }\left(k+{\mu \over {2\pi i}}\right)^{s-1}+(2\pi i)^{s-1}\sum _{k=0}^{\infty }\left(k+1-{\mu \over {2\pi i}}\right)^{s-1}\right],}$$ここで、2つの系列はフルヴィッツのゼータ関数 と同一視できる。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })={\Gamma (1-s) \over (2\pi )^{1-s}}\left[i^{1-s}~\zeta \left(1-s,~{\mu \over {2\pi i}}\right)+i^{s-1}~\zeta \left(1-s,~1-{\mu \over {2\pi i}}\right)\right]\qquad (0<\operatorname {Im} (\mu )\leq 2\pi ).}$$この関係は、すでに上記の他の関数との関係 で示されており、すべての複素数s ≠ 0, 1, 2, 3, … に対して成り立ち、最初に導出されたのは( Jonquière 1889 、式 6) です。
2. 多重対数をμ = 0 の周りのべき級数として表すために、ハンケル積分から導出される級数を次のように記述します。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}+\Gamma (1-s)\sum _{h=1}^{\infty }\left[(-2h\pi i-\mu )^{s-1}+(2h\pi i-\mu )^{s-1}\right].}$$ 和に含まれる二項式のべき乗をμ = 0の周りで展開し、和の順序を逆にすると、hに関する和は閉じた形で表すことができる。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })=\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}+\sum _{k=0}^{\infty }{\zeta (s-k) \over k!}\mu ^{k}.}$$ この結果は、| μ | < 2πの場合に成り立ち、ゼータ関数によって提供される解析接続のおかげで、すべてのs ≠ 1, 2, 3, … に対して成り立ちます。順序が正の整数s = nの場合、 k = n − 1 の項とガンマ関数の両方が無限大になりますが、それらの和は無限大にはなりません。次の式が得られます ( Wood 1992 、§ 9 ; Gradshteyn & Ryzhik 2015 ): $${\displaystyle \lim _{s\to k+1}\left[{\zeta (s-k) \over k!}\mu ^{k}+\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\right]={\mu ^{k} \over k!}\left[\sum _{h=1}^{k}{1 \over h}-\ln(-\mu )\right],}$$ここで、 k = 0の場合、h に関する和はゼロになります。したがって、正の整数次数で、| μ | < 2πの場合、次の級数が得られます。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(e^{\mu })={\mu ^{n-1} \over (n-1)!}\left[H_{n-1}-\ln(-\mu )\right]+\sum _{k=0,k\neq n-1}^{\infty }{\zeta (n-k) \over k!}\mu ^{k},}$$ ここで、H _{n は}n番目の高調波番号を表します。 $${\displaystyle H_{n}=\sum _{h=1}^{n}{1 \over h},\qquad H_{0}=0.}$$ 問題の項には −ln(− μ ) が含まれており、これをμ ^{n −1}で乗算すると、 n = 1 の場合を除き、 μ → 0のときゼロに近づきます。これは、Li _s ( z ) がs = 1 およびz = 1で真の対数特異点を示すという事実を反映しています。 $${\displaystyle \lim _{\mu \to 0}\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}=0\qquad (\operatorname {Re} (s)>1).}$$s が正の整数に近いが等しくない 場合、 μ = 0の周りの展開における発散項は計算上の困難を引き起こすことが予想される( Wood 1992 、§ 9)。 ln( z )が−ln( z ) と一様に等しくないため、ポリ対数と対数の主枝が同時に使用されると仮定すると、Erdélyi の対応する ln( z ) のべき乗の展開 ( Erdélyi et al. 1981 、§ 1.11-15 ) は正しくない。_sが非^正の整数値の場合、 μ = 0の周りの展開におけるゼータ関数 ζ( s − k ) はベルヌーイ数に帰着する: ζ(− n − k ) = −B _{1+ n + k} / (1 + n + k ) 。この級数によるLi _{− n} ( z ) の数値評価は、上記の特定の値の下で与えられた有限有理式が大きなnに対して示す相殺効果の影響を受けません。
3. 身元情報の使用により $${\displaystyle 1={1 \over \Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{s-1}dt\qquad (\operatorname {Re} (s)>0),}$$ ポリログ関数のボーズ・アインシュタイン積分表示（上記参照）は、次の形式で表すことができます。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+{z \over 2\Gamma (s)}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{s-1}\coth {t-\ln z \over 2}dt\qquad (\operatorname {Re} (s)>0).}$$ 双曲線コタンジェントを両側級数に置き換えると、 $${\displaystyle \coth {t-\ln z \over 2}=2\sum _{k=-\infty }^{\infty }{1 \over 2k\pi i+t-\ln z},}$$ 次に、積分と和の順序を逆にして、最後に被積分項を上不完全ガンマ関数の積分表現と同一視すると、次の式が得られる。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\tfrac {1}{2}}z+\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\Gamma (1-s,2k\pi i-\ln z) \over (2k\pi i-\ln z)^{1-s}}.}$$ この結果の両側級数と双曲線コタンジェントの両側級数の両方について、−k max_からk _maxまでの対称部分和はk _max → ∞のとき無条件に収束します。総和が対称的に実行される限り、Li _s ( z ) のこの級数は、すべての複素数sとすべての複素数zに対して成り立ちます。
4. 非正整数次数の多項式対数の有限和（上記参照）に第2種スターリング数 の明示的な式を導入すると、次のように書ける。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(z)=\sum _{k=0}^{n}\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j+1}{k \choose j}(j+1)^{n}\qquad (n=0,1,2,\ldots ).}$$ 外側の総和を単純に∞まで拡張することによって得られる無限級数（Guillera & Sondow 2008 、定理2.1）： $${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}~\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j+1}{k \choose j}(j+1)^{-s},}$$すべての複素数sおよびRe( z ) < ¹ ⁄ _{2の複素数}zに対して、 ポリ対数に収束することがわかります。これは、| ^{− z} ⁄ _{(1− z )} | < ¹ ⁄ ₂の場合、総和の順序を逆にして以下を使用することで 確認できます。$${\displaystyle \sum _{k=j}^{\infty }{k \choose j}\left({-z \over 1-z}\right)^{k+1}=\left[\left({-z \over 1-z}\right)^{-1}-1\right]^{-j-1}=(-z)^{j+1}.}$$ これらの級数の内部係数は、一般化調和数を含むスターリング数関連の公式で表すことができます。例えば、生成関数変換を参照して、次の恒等式の証明（証明への参照）を見つけてください。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Li} _{2}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{2}}\left(H_{j}^{2}+H_{j}^{(2)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}\\\operatorname {Li} _{3}(z)&=\sum _{j\geq 1}{\frac {(-1)^{j-1}}{6}}\left(H_{j}^{3}+3H_{j}H_{j}^{(2)}+2H_{j}^{(3)}\right){\frac {z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}.\end{aligned}}}$$Re( z ) < ^1/2 となる他の引数については、解析接続によって結果が得られます。この手順は、多対数を定義する z の級数にオイラー変換を適用する_ことと 同等です。

| z |≫1の場合、多対数関数はln(−z)に関する漸近級数に展開できます。

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)={\pm i\pi \over \Gamma (s)}[\ln(-z)\pm i\pi ]^{s-1}-\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(2\pi )^{2k}{B_{2k} \over (2k)!}{[\ln(-z)\pm i\pi ]^{s-2k} \over \Gamma (s+1-2k)},}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(1-2^{1-2k})(2\pi )^{2k}{B_{2k} \over (2k)!}{[\ln(-z)]^{s-2k} \over \Gamma (s+1-2k)},}$$

ここで、B _{2 k}はベルヌーイ数です。どちらのバージョンもすべてのsと任意の arg( z ) に対して成り立ちます。通常どおり、項の大きさが大きくなり始めたら総和を終了する必要があります。負の整数sの場合、展開は完全に消滅します。非負の整数sの場合、有限個の項で途切れます。ウッド (1992 、§ 11)は、ボーズ-アインシュタイン積分表現からこれらの級数を得る方法を説明しています (Li _s ( e ^μ ) の彼の式 11.2 では、−2 π < Im( μ ) ≤ 0 が必要です)。

多対数の様々な表現から、以下の極限が得られる（ウッド 1992 、§ 22）。

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)\sim _{|z|\to 0}z}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })\sim _{|\mu |\to 0}\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\qquad (\operatorname {Re} (s)<1)}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(\pm e^{\mu })\sim _{\operatorname {Re} (\mu )\to \infty }-{\mu ^{s} \over \Gamma (s+1)}\qquad (s\neq -1,-2,-3,\ldots )}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{-n}(e^{\mu })\sim _{\operatorname {Re} (\mu )\to \infty }-(-1)^{n}e^{-\mu }\qquad (n=1,2,3,\ldots )}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)\sim _{\operatorname {Re} (s)\to \infty }z}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(e^{\mu })\sim _{\operatorname {Re} (s)\to -\infty }\Gamma (1-s)(-\mu )^{s-1}\qquad (-\pi <\operatorname {Im} (\mu )<\pi )}$$$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(-e^{\mu })\sim _{\operatorname {Re} (s)\to -\infty }\Gamma (1-s)\left[(-\mu -i\pi )^{s-1}+(-\mu +i\pi )^{s-1}\right]\qquad (\operatorname {Im} (\mu )=0)}$$

ウッドのRe( μ ) → ∞の最初の極限は、彼の式 11.3 に従って修正されています。Re( s ) → −∞の極限は、多対数関数とフルヴィッツのゼータ関数の一般的な関係から導かれます(上記を参照)。

二重対数関数は、次数s = 2の多重対数関数です。任意の複素引数zに対する二重対数関数の別の積分表現は次のとおりです( Abramowitz & Stegun 1972 、§ 27.7) : $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\ln(1-t) \over t}dt=-\int _{0}^{1}{\ln(1-zt) \over t}dt.}$$

混乱の原因の一つは、一部のコンピュータ代数システムでは、二対数を dilog( z ) = Li ₂ (1− z ) と定義していることである。

実数z ≥ 1の場合、二重対数の最初の積分表現は次のように書ける。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)={\frac {\pi ^{2}}{6}}-\int _{1}^{z}{\ln(t-1) \over t}dt-i\pi \ln z}$$

これから ln( t −1 ) を展開し、項ごとに積分すると、

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)={\frac {\pi ^{2}}{3}}-{\frac {1}{2}}(\ln z)^{2}-\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over k^{2}z^{k}}-i\pi \ln z\qquad (z\geq 1).}$$

対数関数のアーベル恒等式は次のように与えられる（アーベル 1881 ）。

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {x}{1-y}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {y}{1-x}}\right)-\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {xy}{(1-x)(1-y)}}\right)=\operatorname {Li} _{2}(x)+\operatorname {Li} _{2}(y)+\ln(1-x)\ln(1-y)}$$

$${\displaystyle (\operatorname {Re} (x)\leq {\tfrac {1}{2}}\wedge \operatorname {Re} (y)\leq {\tfrac {1}{2}}\vee \operatorname {Im} (x)>0\wedge \operatorname {Im} (y)>0\vee \operatorname {Im} (x)<0\wedge \operatorname {Im} (y)<0\vee \ldots ).}$$

これはx = 0 またはy = 0のいずれの場合にも成り立つことがすぐにわかります。また、一般的な引数の場合、微分 ∂/∂ x ∂/∂ yによって容易に検証できます。y = 1− xの場合、この恒等式はオイラーの反射公式に帰着します。$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left(x\right)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-x\right)={\frac {1}{6}}\pi ^{2}-\ln(x)\ln(1-x),}$$ ここで、Li ₂ (1) = ζ(2) = ¹ ⁄ ₆ π ²が使用されており、x は任意の複素数値をとることができます。

新しい変数u = x /(1− y ) 、v = y /(1− x )に関して、アーベル恒等式は次のようになる。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(u)+\operatorname {Li} _{2}(v)-\operatorname {Li} _{2}(uv)=\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {u-uv}{1-uv}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {v-uv}{1-uv}}\right)+\ln \left({\frac {1-u}{1-uv}}\right)\ln \left({\frac {1-v}{1-uv}}\right),}$$これは（ロジャース 1907 ）で示された五角形の恒等式 に対応する。

x = y = 1− zのアーベルの恒等式と二乗の関係から、ランデンの恒等式 が得られます。$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {1}{2}}(\ln z)^{2}\qquad (z\not \in ~]-\infty ;0]),}$$ そして、各二重対数に反射公式を適用すると、逆公式が得られます。 $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1/z)=-{\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}[\ln(-z)]^{2}\qquad (z\not \in [0;1[),}$$

また、実数z ≥ 1 の場合も $${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1/z)={\tfrac {1}{3}}\pi ^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\ln z)^{2}-i\pi \ln z.}$$

特定の引数における既知の閉形式対数評価を以下の表にまとめました。最初の列の引数は、反射x ↔ 1− xまたは反転x ↔ ¹ ⁄ _xによって、 x = 0 またはx = −1のいずれかに関連付けられています。3 番目の列の引数はすべて、これらの操作によって相互に関連付けられています。

Maximon (2003)は、17 世紀から 19 世紀の文献について論じている。反射公式は、オイラーの 1768 年の著書に登場する前に、すでに 1760 年にランデンによって発表されていた( Maximon 2003 、§ 10 ) 。アーベルの恒等式に相当するものは、アーベルが 1826 年に原稿を書く前に、すでに 1809 年にスペンスによって発表されていた( Zagier 1989 、§ 2 ) 。bilogarithmische Functionという名称は、カール ヨハン ヒル(スウェーデンのルンド大学の教授)によって 1828 年に導入された( Maximon 2003 、§ 10 )。ドンザギエ( 1989 )は、二重対数関数はユーモアのセンスを持つ唯一の数学関数であると述べている。 

ここ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)}$は黄金比を表します。

レナード・ルーウィンは、特定の値に対する多対数関数に関する多くの古典的な関係の注目すべき広範な一般化を発見した。これらは現在、多対数ラダーと呼ばれている。${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)}$黄金比の逆数として。すると、二重対数ラダーの簡単な例が 2 つあります。

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\rho ^{6})=4\operatorname {Li} _{2}(\rho ^{3})+3\operatorname {Li} _{2}(\rho ^{2})-6\operatorname {Li} _{2}(\rho )+{\tfrac {7}{30}}\pi ^{2}}$$

コクセター（1935年）によって与えられた 

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(\rho )={\tfrac {1}{10}}\pi ^{2}-\ln ^{2}\rho }$$

ランデンによって与えられた。ポリ対数ラダーは、K理論と代数幾何学において自然かつ深く現れる。ポリ対数ラダーは、 BBPアルゴリズム（Bailey、Borwein & Plouffe 1997 ）による様々な数学定数の高速計算の基礎を提供する。

ポリ対数関数には、 z = 1 とz = 0の 2 つの分岐点があります。z = 0の 2 番目の分岐点は、ポリ対数関数のメインシート上には表示されません。この分岐点は、関数を解析的に他のシートに接続したときにのみ表示されます。ポリ対数関数のモノドロミー群は、2 つの分岐点の周りを巻き付くループのホモトピー類から構成されます。これら 2 つの分岐点をm ₀とm ₁で表すと、モノドロミー群は次の群表示を持ちます。

$${\displaystyle \langle m_{0},m_{1}\vert w=m_{0}m_{1}m_{0}^{-1}m_{1}^{-1},wm_{1}=m_{1}w\rangle .}$$

二重対数の特殊な場合、wm ₀ = m ₀ wとなり、モノドロミー群はハイゼンベルク群になります（m ₀、m ₁およびw をx、y、zと同一視します）（Vepstas 2008 ）。