0.1から100までの数の常用対数のグラフ 数学 では、常用対数 （別名「標準対数」）は底が 10 の対数です。 [ 1 ] 10 進対数 、10 進対数 、ブリッグス対数 とも呼ばれます。「ブリッグス対数」という名前は、「常用対数」の値を考案し開発した英国の数学者ヘンリー・ブリッグスにちなんで付けられました。歴史的に、「常用対数」はラテン語の logarithmus decimalis [ 2 ] logarithmus decadis [ 3 ]
常用対数を使用するための数学的表記 はlog( x ) [ 4 ] log 10 ( x ) [ 5 ] Lで Log( x ) [ a ] 電卓 では「log」と表示されますが[ 6 ] 自然対数 (底がe ≈ 2.71828 の対数) を意味します。これは、常用対数の名前が示唆するのとは反対に、自然対数が純粋数学で最も一般的に使用される対数であるためです。[ 7 ]
常用対数表のページです。このページには、1000から1509までの数の対数が小数点以下5桁まで表示されています。完全な表では、9999までの値が掲載されています。 1970年代初頭以前は、携帯型の電子計算機は存在せず、乗算が可能な機械式計算機は かさばり、高価で、広く普及していませんでした。そのため、計算尺では達成できないほどの精度が求められる科学、工学、航海では、10を底とする対数の 表 が使用されていました。対数を使用することで、乗算と除算を加算と減算に変換できるため、手間がかかり、間違いやすい紙と鉛筆による乗算と除算を回避できました。[ 1 ] 表は 多くの教科書の付録に掲載されていました。数学や航海に関するハンドブックには、三角関数 の対数の表も含まれていました。[ 8 ] log table を 参照してください。
計算尺の目盛り には、対数の差に比例した間隔で数字が配置されています。下側の目盛りの1から2までの距離と上側の目盛りの1から3までの距離を機械的に加えることで、
2 × 3 = 6 であることがすぐにわかります。
仮数と特性 10 を底とする対数の重要な性質の一つは、1 より大きい数で 10 のべき乗の係数だけ異なる数の対数はすべて同じ小数部 を持つことです。この小数部は仮数 と呼ばれます。[ b ]
整数部分（特性 と呼ばれる）は、小数点を最初の有効数字のすぐ右に移動させる桁数を数えるだけで計算できます。例えば、120の対数は次のように計算されます。
ログ 10 （ 120 ） = ログ 10 （ 10 2 × 1.2 ） = 2 + ログ 10 （ 1.2 ） ≈ 2 + 0.07918。 {\displaystyle \log _{10}(120)=\log _{10}\left(10^{2}\times 1.2\right)=2+\log _{10}(1.2)\approx 2+0.07918.} 最後の数値（0.07918）は、120の常用対数の小数部、つまり仮数であり、表に示されています。120の小数点の位置から、120の常用対数の整数部、つまり特性は 2であることがわかります。
この推論を適用すると、次のことがわかる。ログ 10 （ 120 ） = 2.07918 {\displaystyle \log _{10}(120)=2.07918} ログ 10 （ 12 ） = 1.07918 {\displaystyle \log _{10}(12)=1.07918} ログ 10 （ 1.2 ） = 0.07918。 {\displaystyle \log _{10}(1.2)=0.07918.}
負の対数 1より小さい正の数は負の対数を持つ。例えば、
ログ 10 （ 0.012 ） = ログ 10 （ 10 − 2 × 1.2 ） = − 2 + ログ 10 （ 1.2 ） ≈ − 2 + 0.07918 = − 1.92082。 {\displaystyle \log _{10}(0.012)=\log _{10}\left(10^{-2}\times 1.2\right)=-2+\log _{10}(1.2)\approx -2+0.07918=-1.92082.} 正の対数と負の対数を元の数値に戻すための別々の表を用意する必要をなくすために、負の対数を負の整数特性と正の仮数の組み合わせとして表現することができます。これを容易にするために、バー表記 と呼ばれる特別な表記法が使用されます。
ログ 10 （ 0.012 ） ≈ 2 ¯ + 0.07918 = − 1.92082。 {\displaystyle \log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}+0.07918=-1.92082.} 特性の上のバーは、それが負であることを示し、仮数は正のままです。バー表記の数値を声に出して読むとき、記号はn ¯ {\displaystyle {\bar {n}}} は「バーn 」と読み、2 ¯ 0.07918 {\displaystyle {\bar {2}}.07918}
ログ 10 （ 0.012 ） ≈ 8.07918 モジュール 1 0 、 {\displaystyle \log _{10}(0.012)\約 8.07918{\bmod {1}}0,} 計算結果の実際の値は、結果の妥当な範囲を知ることによって決定される。[ c ]
次の例では、バー表記を使用して 0.012 × 0.85 = 0.0102 を計算しています。
上記のとおり、 ログ 10 （ 0.012 ） ≈ 2 ¯ 0.07918 以来 ログ 10 （ 0.85 ） = ログ 10 （ 10 − 1 × 8.5 ） = − 1 + ログ 10 （ 8.5 ） ≈ − 1 + 0.92942 = 1 ¯ .92942 ログ 10 （ 0.012 × 0.85 ） = ログ 10 （ 0.012 ） + ログ 10 （ 0.85 ） ≈ 2 ¯ 0.07918 + 1 ¯ .92942 = （ − 2 + 0.07918 ） + （ − 1 + 0.92942 ） = − （ 2 + 1 ） + （ 0.07918 + 0.92942 ） = − 3 + 1.00860 = − 2 + 0.00860 * ≈ ログ 10 （ 10 − 2 ） + ログ 10 （ 1.02 ） = ログ 10 （ 0.01 × 1.02 ） = ログ 10 （ 0.0102 ） 。 {\displaystyle {\begin{array}{rll}{\text{上記のように、}}&\log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}.07918\\{\text{なぜなら}}\;\;\log _{10}(0.85)&=\log _{10}\left(10^{-1}\times 8.5\right)=-1+\log _{10}(8.5)&\approx -1+0.92942={\bar {1}}.92942\\\log _{10}(0.012\times 0.85)&=\log _{10}(0.012)+\log _{10}(0.85)&\approx {\bar {2}}.07918+{\bar {1}}.92942\\&=(-2+0.07918)+(-1+0.92942)&=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2+0.00860\;^{*}\\&\approx \log _{10}\left(10^{-2}\right)+\log _{10}(1.02)&=\log _{10}(0.01\times 1.02)\\&=\log _{10}(0.0102).\end{array}}} * このステップでは仮数を 0 から 1 の間に設定し、その逆対数 (10仮数 ) を検索できるようにします。
次の表は、10のべき乗だけ異なる様々な数に対して、同じ仮数をどのように使用できるかを示しています。
仮数は5 × 10 i すべてに共通であることに注意してください。これは任意の正の実数に当てはまります。 x × 10 私 {\displaystyle x\times 10^{i}}
ログ 10 （ x × 10 私 ） = ログ 10 （ x ） + ログ 10 （ 10 私 ） = ログ 10 （ x ） + 私 。 {\displaystyle \log _{10}\left(x\times 10^{i}\right)=\log _{10}(x)+\log _{10}\left(10^{i}\right)=\log _{10}(x)+i.} i は定数なので、仮数はログ 10 （ x ） {\displaystyle \log _{10}(x)} x {\displaystyle x} 対数表には 各仮数に対して1つのエントリのみを含めることができます。5 × 10 i の 例では、0.698 970 (004 336 018 ...) は、5 (または 0.5、500 など) でインデックス付けされたときに一度だけリストされます。
歴史 常用対数は、17世紀のイギリスの数学者ヘンリー・ブリッグスにちなんで「ブリッグス対数」とも呼ばれることがあります。1616年と1617年に、ブリッグスは エディンバラ で、現在自然対数（底がeの 対数）と呼ばれるものの発明者であるジョン・ネイピア を訪ね、ネイピアの対数体系の変更を提案しました。これらの会談で、ブリッグスが提案した変更が合意され、2度目の訪問から戻った後、彼は自身の対数体系の最初の千年 を出版しました。
計算には10を底とする対数が最も有用であったため、技術者は一般的にlog 10 ( x ) を意味する場合に「 log( x ) 」と表記していました。一方、数学者は自然対数であるlog e ( x ) を意味する場合に「 log( x ) 」と表記していました。今日では、どちらの表記も見られます。携帯型電子計算機は数学者ではなく技術者によって設計されているため、技術者の表記法に従うのが慣例となりました。したがって、自然対数を表す場合に「ln( x ) 」と表記する表記法は、いわゆる「常用対数」の使用を著しく減少させた発明である電子計算機によって、さらに普及したのかもしれません。
曖昧さを軽減するために、ISO 80000 仕様では log e x )は ln( x ) と表記し、log 10 ( x ) は lg( x )と表記することを推奨していますが、残念ながらCLRS や Sedgwick、シカゴ マニュアル オブ スタイル では底 2 の対数に lg( x ) が使用されています。[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]
数値 一般的な関数電卓にある対数キー（底が10の場合はlog 、底がeの場合は ln ）。携帯型電卓の登場により、計算補助として常用対数を用いることはほとんどなくなった。 底が 10 の対数の数値は、 次の恒等式で計算できます。[ 5 ]
ログ 10 （ x ） = ln （ x ） ln （ 10 ） {\displaystyle \log _{10}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}\quad } ログ 10 （ x ） = ログ 2 （ x ） ログ 2 （ 10 ） {\displaystyle \quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(10)}}\quad } ログ 10 （ x ） = ログ B （ x ） ログ B （ 10 ） {\displaystyle \quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{B}(x)}{\log _{B}(10)}}\quad } 任意の底の対数を使用するB 。 {\displaystyle \,B~.}
底がe の対数 (自然対数 § 効率的な計算を 参照) および底が 2 の対数( 二進対数を計算するためのアルゴリズムを 参照)の数値を決定する手順が存在するため、それが可能です。
デリバティブ 底がb の対数の導関数は次のようになります[ 13 ]
d d x ログ b （ x ） = 1 x ln （ b ） {\displaystyle {d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}}
したがってd d x ログ 10 （ x ） = 1 x ln （ 10 ） ≈ 0.4343 x \displaystyle {d \over dx}\log _{10}(x)={1 \over x\ln(10)}\approx {0.4343 \over x}} 有効数字 4桁）
参考文献 1 2 Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (1909). "第 4 章 対数 [23] 常用対数". 三角法 . 第 1 部: 平面三角法. ニューヨーク: Henry Holt and Company . p. 31. ↑ オイラー、レオンハルト (1748)。 「第 22 章: 適切な問題に関する解決策」。 Analysin Infinitorum の紹介 (パート 2) (ラテン語)。ローザンヌ：マーカム＝ミカエレム・ブスケ。 p. 304. ↑ シャーファー、P. カロロ (1772)。 Institutionum Analytikarum Pars Secunda de Calculo Infinitesimali Liber Secundus de Calculo Integrali (ラテン語)。 Vol. 2. ジョアニス・トーメ・ノブデ・トラットネルン。 p. 198. ↑ 「対数入門」 。www.mathsisfun.com 。 2020年8月29日 取得 。 1 2 Weisstein, Eric W. "Common Logarithm" . mathworld.wolfram.com . 2020-08-29 に取得. ↑ 「電卓の使い方 - 対数と指数の法則 - 高等数学の復習」 。BBC Bitesize。BBC 。 2025年7月8 日 取得 。 ↑ 「対数入門」 。www.mathsisfun.com 。 2025年7月8日 取得 。 ↑ ヘドリック、アール・レイモンド (1913)。 対数表と三角関数表 。ニューヨーク、アメリカ合衆国： マクミラン 。 ↑ シュワルツマン、スティーブン（1994年12月31日）。 『数学の言葉：英語の数学用語の語源辞典』 アメリカ数学会、 131ページ 。ISBN 978-1-61444-501-2 。↑ Cormen, Thomas H. ; Leiserson, Charles E. ; Rivest, Ronald L. ; Stein, Clifford (2001) [1990], Introduction to Algorithms (2nd ed.), MIT Press and McGraw-Hill, pp. 34, 53–54 , ISBN 0-262-03293-7 ↑ セッジウィック、ロバート ；ウェイン、ケビン・ダニエル（2011）、 『アルゴリズム』 、アディソン・ウェスリー・プロフェッショナル、185ページ 、 ISBN 978-0-321-57351-3 ↑ 『シカゴ・マニュアル・オブ・スタイル 』 （第25 版）、シカゴ大学出版局、2003年、 530ページ ↑ 「対数関数の導関数」 . Math24 . 2021年4月14日。 2020年10月1日にオリジナルから アーカイブ済み。
参考文献 アブラモウィッツ、ミルトン ；ステガン、アイリーン・ アン編（1983年）[1964年6月]。『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』 55巻（第10版（1972年12月）の修正を加えた第9版再版；初版 ）。ワシントンDC；ニューヨーク：米国商務省国立標準局；ドーバー出版。ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 . モーザー、 マイケル（2009）。工学音響学：騒音制御入門 。シュプリンガー。p. 448。ISBN 978-3-540-92722-8 。ポリヤニン、アンドレイ・ドミトリエヴィチ；マンジロフ、アレクサンドル・ウラジミロヴィチ（2007）[2006年11月27日]。エンジニアと 科学者のための数学ハンドブック 。CRC Press。p . 9。ISBN 978-1-58488-502-3 。
