パラメトリックモデル

統計学において、パラメトリックモデル、パラメトリックファミリー、または有限次元モデルとは、統計モデルの特定のクラスを指します。具体的には、パラメトリックモデルとは、有限個のパラメータを持つ確率分布のファミリーのことです。

統計モデルは、ある標本空間上の確率分布の集合です。この集合は、${\displaystyle {\mathcal {P}}}$は、ある集合Θによってインデックス付けされます。集合Θはパラメータ集合、またはより一般的にはパラメータ空間と呼ばれます。各θ  ∈ Θに対して、F _{θ は}集合の対応する要素を表します。したがって、F _θは累積分布関数です。すると、統計モデルは次のように記述できます。

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\big \{}F_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.}$

Θ ⊆ ℝ ^{k が}正の整数kに対して成り立つ場合、このモデルはパラメトリックモデルである。 

モデルが絶対的に連続な分布で構成されている場合、多くの場合、対応する確率密度関数によって指定されます。

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\big \{}f_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.}$

• ポアソン分布族は、単一の数値λ > 0によってパラメータ化される。

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\lambda }(j)={\tfrac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda },\ j=0,1,2,3,\dots \ {\Big |}\;\;\lambda >0\ {\Big \}},}$

ここで、pλ_は確率質量関数である。この族は指数型分布族である。

• 正規分布族は、 θ = ( μ , σ )によってパラメータ化される。ここで、μ ∈ ℝは位置パラメータ、σ > 0は尺度パラメータである。

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\tfrac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\ {\Big |}\;\;\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\ {\Big \}}.}$

このパラメータ化された族は、指数族であると同時に位置尺度族でもある。

• ワイブル変換モデルには 3 次元パラメーターθ = ( λ , β , μ )があります。

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {\beta }{\lambda }}\left({\tfrac {x-\mu }{\lambda }}\right)^{\beta -1}\!\exp \!{\big (}\!-\!{\big (}{\tfrac {x-\mu }{\lambda }}{\big )}^{\beta }{\big )}\,\mathbf {1} _{\{x>\mu \}}\ {\Big |}\;\;\lambda >0,\,\beta >0,\,\mu \in \mathbb {R} \ {\Big \}},}$

どこ${\displaystyle \beta }$は形状パラメータです。${\displaystyle \lambda }$はスケールパラメータであり、${\displaystyle \mu }$は位置パラメータです。

• 二項モデルは、 θ = ( n , p )でパラメータ化されます。ここで、 nは非負の整数、pは確率 (つまり、p ≥ 0かつp ≤ 1 ) です。

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\theta }(k)={\tfrac {n!}{k!(nk)!}}\,p^{k}(1-p)^{nk},\ k=0,1,2,\dots ,n\ {\Big |}\;\;n\in \mathbb {Z} _{\geq 0},\,p\geq 0\land p\leq 1{\Big \}}.}$

この例は、いくつかの離散パラメータを持つモデルの定義を示しています。

パラメトリックモデルは、写像θ ↦ P _θが可逆である場合、すなわちP _{θ 1} = P _{θ 2}となるような 2 つの異なるパラメータ値θ ₁とθ ₂が存在しない場合に識別可能であると呼ばれます。 

パラメトリックモデルは、セミパラメトリックモデル、セミノンパラメトリックモデル、ノンパラメトリックモデルとは対照的であり、これら4つのモデルはすべて、記述のための無限の「パラメータ」から構成されています。これら4つのクラスの区別は次のとおりです。

• 「パラメトリック」モデルでは、すべてのパラメータは有限次元のパラメータ空間に存在します。
• モデルが「ノンパラメトリック」であるのは、すべてのパラメータが無限次元のパラメータ空間に存在する場合である。
• 「セミパラメトリック」モデルは、有限次元の関心パラメータと無限次元の不要パラメータを含みます。
• 「セミノンパラメトリック」モデルは、有限次元と無限次元の両方の未知のパラメータを持つモデルである。

統計学者の中には、「パラメトリック」、「ノンパラメトリック」、「セミパラメトリック」という概念が曖昧だと考える人もいます。^{[ 1 ]}また、すべての確率測度の集合は連続体の濃度を持つため、(0,1)区間の単一の数値で任意のモデルをパラメータ化できることも指摘できます。 ^{[ 2 ]}この困難は、「滑らかな」パラメトリック モデルのみを考慮することで回避できます。

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