対数正規分布

確率論において、対数正規分布（または対数正規分布）とは、対数が正規分布に従う確率変数の連続確率分布のことです。したがって、確率変数 $X$ が対数正規分布に従う場合、 $Y$ $= ln$ $X$ は正規分布に従います。^[¹^]^[²^]同様に、 $Y が$ 正規分布に従う場合、 $Y$ の指数関数 $X$ = $exp($ $Y$ $)$ は対数正規分布に従います。対数正規分布に従う確率変数は、正の実数値のみをとります。これは、精密科学や工学、医学、経済学、その他の分野（エネルギー、濃度、長さ、金融商品の価格、その他の指標など）における測定に便利で有用なモデルです。

この分布は、フランシス・ゴルトンにちなんで、ゴルトン分布またはゴルトンの分布と呼ばれることもあります。^[³^]対数正規分布は、マカリスター、ジブラ、コブ・ダグラスなどの他の名前でも知られています。^[³^]

対数正規過程は、それぞれが正である多数の独立な確率変数の乗法積の統計的実現である。これは、対数領域における中心極限定理（ジブラの法則と呼ばれることもある）を考慮することで正当化される。対数正規分布は、 $ln$ $X$ の平均と分散が指定された確率変数 $X$ の最大エントロピー確率分布である。^[⁴^]

定義

生成とパラメータ

させて $Z$ を標準正規変数とし、 $\mu$ そして $\sigma$ は2つの実数で、 $\sigma >0$ すると、確率変数の分布は

$X=e^{\mu +\sigma Z}$

は、パラメータを持つ対数正規分布と呼ばれます。 $\mu$ そして $\sigma$ これらは、変数の自然対数の期待値（または平均）と標準偏差です。 $\ln X$ 期待値と標準偏差ではなく $X$ 自体。

この関係は、対数関数または指数関数の底に関係なく成り立ちます。 $\log _{a}X$ が正規分布するならば、 $\log _{b}X$ 任意の2つの正の数 $a,b\neq 1$ 同様に、 $e^{Y}$ が対数正規分布に従うならば、 $a^{Y}$ 、どこ $0<a\neq 1$ 。

望ましい平均値を持つ分布を生成するために $\mu _{X}$ および分散 $\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$ 、使用する $\mu =\ln {\frac {\mu _{X}^{2}}{\sqrt {\mu _{X}^{2}+\sigma _{X}^{2}}}}$ そして $\sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {\sigma _{X}^{2}}{\mu _{X}^{2}}}\right)$ 。

あるいは、「乗法」または「幾何」パラメータ $\mu ^{*}=e^{\mu }$ そして $\sigma ^{*}=e^{\sigma }$ 使用できます。より直接的な解釈が可能です。 $\mu ^{*}$ は分布の中央値であり、 $\sigma ^{*}$ 「散布」区間を決定するのに役立ちます。詳細は下記を参照してください。

確率密度関数

正の確率変数 $X$ は対数正規分布に従う（つまり、 ${\textstyle X\sim \operatorname {Lognormal} \left(\mu ,\sigma ^{2}\right)}$ )自然対数が $X$ 平均が正規分布している $\mu$ および分散 $\sigma ^{2}$ :

$\ln X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$

させて $\Phi$ そして $\varphi$ それぞれ累積確率分布関数と確率密度関数は、 ${\mathcal {N}}(0,1)$ 標準正規分布の場合、次のようになります^{[ 1 ]}^{[ 3 ]}対数正規分布の確率密度関数は次のように与えられます。

${\begin{aligned}f_{X}(x)&={\frac {d}{dx}}\Pr \nolimits _{X}\left[X\leq x\right]\\[6pt]&={\frac {d}{dx}}\Pr \nolimits _{X}\left[\ln X\leq \ln x\right]\\[6pt]&={\frac {d}{dx}}\Phi {\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}\\[6pt]&=\varphi {\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)\\[6pt]&=\varphi {\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}{\frac {1}{\sigma x}}\\[6pt]&={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)~.\end{aligned}}$

累積分布関数

累積分布関数は

$F_{X}(x)=\Phi {\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}$

どこ $\Phi$ は標準正規分布の累積分布関数です（つまり、 $\operatorname {\mathcal {N}} (0,1)$ )

これは次のように表現することもできます。^{[ 1 ]}

${\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)$

ここで、 $erfc$ は相補誤差関数である。

多変量対数正規分布

もし ${\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})$ は多変量正規分布である。 $Y_{i}=\exp(X_{i})$ 多変量対数正規分布に従う。^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}指数関数はランダムベクトルに要素ごとに適用される。 ${\boldsymbol {X}}$ 平均 ${\boldsymbol {Y}}$ は

$\operatorname {E} [{\boldsymbol {Y}}]_{i}=e^{\mu _{i}+{\frac {1}{2}}\Sigma _{ii}},$

そしてその共分散行列は

$\operatorname {Var} [{\boldsymbol {Y}}]_{ij}=e^{\mu _{i}+\mu _{j}+{\frac {1}{2}}(\Sigma _{ii}+\Sigma _{jj})}\left(e^{\Sigma _{ij}}-1\right).$

多変量対数正規分布は広く使用されていないため、このエントリの残りの部分では単変量分布のみを扱います。

特性関数とモーメント生成関数

対数正規分布のすべてのモーメントが存在し、

$\operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}\,.$

しかし、対数正規分布はモーメントによって決定されません。^{[ 7 ]}これは、ゼロ近傍でモーメント母関数が定義できないことを意味します。^{[ 8 ]}実際、期待値は $\operatorname {E} [e^{tX}]$ 引数の正の値に対しては定義されません $t$ 定義積分が発散するため。

特性関数 $\operatorname {E} [e^{itX}]$ は実数値 $t$ に対して定義されますが、負の虚部を持つ複素数値 $tに対しては定義されないため、特性関数は原点で$ 解析的ではありません。したがって、対数正規分布の特性関数は無限収束級数として表現できません。^{[ 9 ]}特に、そのテイラー形式級数は発散します。

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\left(it\right)}^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}\,.$

しかしながら、いくつかの代替的な発散級数表現が得られている。^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

特性関数の閉形式公式 $\varphi (t)$ と $t$ 収束領域は不明である。比較的単純な近似式が閉じた形で利用可能であり、^{[ 13 ]で与えられる。}

$\varphi (t)\approx {\frac {\exp \left(-{\frac {W^{2}(-it\sigma ^{2}e^{\mu })+2W(-it\sigma ^{2}e^{\mu })}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sqrt {1+W{\left(-it\sigma ^{2}e^{\mu }\right)}}}}$

どこ $W$ はランベルトW関数である。この近似は漸近法によって導出されるが、収束領域全体で精度を保つ。 $\varphi$ 。

物件

幾何モーメントまたは乗法モーメント

対数正規分布の幾何平均または乗法平均は $\operatorname {GM} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}$ 中央値に等しい。幾何標準偏差または乗法標準偏差は $\operatorname {GSD} [X]=e^{\sigma }=\sigma ^{*}$ [ ¹⁴^]^[¹⁵^]

算術統計との類推により、幾何分散を定義することができる。 $\operatorname {GVar} [X]=e^{\sigma ^{2}}$ 幾何変動係数、^{[ 14 ]} $\operatorname {GCV} [X]=e^{\sigma }-1$ が提案されている。この用語は、対数正規データの乗法的な変動を記述するための変動係数に類似することを意図していたが、この GCV の定義には、推定値としての理論的根拠はない。 $\operatorname {CV}$ それ自体（変動係数も参照）。

幾何平均は算術平均よりも小さいことに注意してください。これはAM–GM 不等式によるもので、対数が凹関数であることの結果です。実際、^{[ 16 ]}

$\operatorname {E} [X]=e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}=e^{\mu }\cdot {\sqrt {e^{\sigma ^{2}}}}=\operatorname {GM} [X]\cdot {\sqrt {\operatorname {GVar} [X]}}.$

金融では、この用語は $e^{-\sigma ^{2}/2}$ これは凸性補正として解釈されることもある。確率微分方程式の観点から見ると、これは幾何ブラウン運動に関する伊藤の補題における補正項と同じである。

算術モーメント

任意の実数または複素数 $n$ に対して、対数正規分布変数 $Xの$ $n$ 次モーメントは^[³^]で与えられる。 $\operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +{\frac {1}{2}}n^{2}\sigma ^{2}}.$

$具体的には、対数正規分布変数X$ の算術平均、期待二乗、算術分散、算術標準偏差はそれぞれ次のように与えられます。^{[ 1 ]}

${\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname {E} [X^{2}]&=e^{2\mu +2\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname {Var} [X]&=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}={\left(\operatorname {E} [X]\right)}^{2}\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)\\[2pt]&=e^{2\mu +\sigma ^{2}}\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right),\\[4pt]\operatorname {SD} [X]&={\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}=\operatorname {E} [X]{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}\\[2pt]&=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}},\end{aligned}}$

算術変動係数 $\operatorname {CV} [X]$ 比率は ${\tfrac {\operatorname {SD} [X]}{\operatorname {E} [X]}}$ ^{対数正規分布の場合、 [}²^]に等しい。 $\operatorname {CV} [X]={\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}.$ この推定値は幾何分散を使用しているため、「幾何変動係数」（GCV）と呼ばれることもあります^{[ 17 ]}^{[ 18 ]}。算術標準偏差とは異なり、算術変動係数は算術平均とは無関係です。

算術平均と算術分散が分かっていれば、パラメータ $μ$ と $σを求めることができる。$

${\begin{aligned}\mu &=\ln {\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]}}}=\ln {\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}}}},\\[1ex]\sigma ^{2}&=\ln {\frac {\operatorname {E} [X^{2}]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}=\ln \left(1+{\frac {\operatorname {Var} [X]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}\right).\end{aligned}}$

確率分布は、モーメント $E[X n] = e nμ + ⁠ 1 / 2 ⁠ n 2 σ 2$ ( $n \geq 1$ ) によって一意に決定されるわけではありません。つまり、同じモーメントのセットを持つ他の分布が存在します。^{[ 3 ]}実際、対数正規分布と同じモーメントを持つ分布のファミリー全体が存在します。以下の関連分布を参照してください。

最頻値、中央値、分位数

モードは確率密度関数のグローバル最大値の点です。特に、方程式を解くことによって $(\ln f)'=0$ つまり、次のことが分かります。

$\operatorname {Mode} [X]=e^{\mu -\sigma ^{2}}.$

対数変換された変数 $Y=\ln X$ 正規分布を持ち、単調変換の下で分位点が保持される、分位点 $X$ は

$q_{X}(\alpha )=\exp \left[\mu +\sigma q_{\Phi }(\alpha )\right]=\mu ^{*}(\sigma ^{*})^{q_{\Phi }(\alpha )},$

どこ $q_{\Phi }(\alpha )$ これは標準正規分布の分位数です。

具体的には、対数正規分布の中央値はその乗法平均に等しい。^{[ 19 ]}

$\operatorname {Med} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}~.$

部分的な期待

確率変数の部分期待値 $X$ しきい値に関して $k$ は次のように定義される。

$g(k)=\int _{k}^{\infty }x\,f_{X}(x)\,dx.$

あるいは、条件付き期待値の定義を用いると、次のように書くことができる。 $g(k)=\operatorname {E} [X\mid X>k]\Pr(X>k)$ 対数正規分布に従う確率変数の場合、部分期待値は次のように表されます。

${\begin{aligned}g(k)&=\int _{k}^{\infty }xf_{X}(x)\,dx\\[1ex]&=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}\,\Phi {\left({\frac {\mu -\ln k}{\sigma }}+\sigma \right)}\end{aligned}}$

どこ $\Phi$ は正規累積分布関数です。この式の導出はトークページに記載されています。部分期待値の公式は保険や経済学に応用されており、ブラック・ショールズ公式につながる偏微分方程式を解く際に使用されます。

条件付き期待値

対数正規分布に従う確率変数の条件付き期待値 $X$ —閾値に関して $k$ —その部分期待値を、その範囲内にある累積確率で割った値です。

${\begin{aligned}\operatorname {E} [X\mid X<k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi {\left[{\frac {\ln k-\mu }{\sigma }}-\sigma \right]}}{\Phi {\left[{\frac {\ln k-\mu }{\sigma }}\right]}}}\\[8pt]\operatorname {E} [X\mid X\geq k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi {\left[{\frac {\mu -\ln k}{\sigma }}+\sigma \right]}}{1-\Phi {\left[{\frac {\ln k-\mu }{\sigma }}\right]}}}\\[8pt]\operatorname {E} [X\mid X\in [k_{1},k_{2}]]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi {\left[{\frac {\ln k_{2}-\mu }{\sigma }}-\sigma \right]}-\Phi {\left[{\frac {\ln k_{1}-\mu }{\sigma }}-\sigma \right]}}{\Phi \left[{\frac {\ln k_{2}-\mu }{\sigma }}\right]-\Phi \left[{\frac {\ln k_{1}-\mu }{\sigma }}\right]}}\end{aligned}}$

代替パラメータ化

特性評価に加えて $\mu ,\sigma$ または $\mu ^{*},\sigma ^{*}$ 対数正規分布をパラメータ化する方法は複数あります。確率分布の知識ベースおよびオントロジーであるProbOnto ^[²⁰^]^[²¹^]には、そのような形式が 7 つリストされています。

$LogNormal1(μ, σ)$ は、平均 $μ$ と標準偏差 $σ$ で、両方とも対数スケール上にあります^{[ 22 ]} $P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]$
$LogNormal2(μ, υ)$ の平均 $μ$ と分散 $υ$ は両方とも対数スケールです $P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {v}})={\frac {1}{x{\sqrt {v}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2v}}\right]$
中央値m $が$ 自然尺度、標準偏差 $σ$ が対数尺度である $LogNormal3($ $m$ $,$ $σ$ $)$ ^{[ 22 ]} $P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\sigma ^{2}}}\right]$
中央値 $m$ と変動係数 $cv$ がともに自然尺度で表される $LogNormal4($ $m$ $, cv)$ $P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {cv}})={\frac {1}{x{\sqrt {\ln(cv^{2}+1)}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln(cv^{2}+1)}}\right]$
$LogNormal5(μ, τ)$ 、平均 $μ$ と精度 $τ$ 、両方とも対数スケール^{[ 23 ]} $P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\tau }})={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}{\frac {1}{x}}\exp \left[-{\frac {\tau }{2}}(\ln x-\mu )^{2}\right]$
中央値 $m$ と幾何標準偏差σ $g$ $の$ 両方が自然尺度上の $LogNormal6($ $m$ $,$ $σ$ $g$ $)$ ^{[ 24 ]} $P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma _{g}}})={\frac {1}{x{\sqrt {2\pi }}\,\ln \sigma _{g}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln ^{2}(\sigma _{g})}}\right]$
$LogNormal7(μ N, σ N)$ の平均値 $μ N$ と標準偏差 $σ N$ はいずれも自然スケール上にあります^{[ 25 ]} $P(x;{\boldsymbol {\mu _{N}}},{\boldsymbol {\sigma _{N}}})={\frac {1}{x{\sqrt {2\pi \ln \left(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}\right)}}}}\exp \left[-{\frac {\left(\ln x-\ln {\frac {\mu _{N}}{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}}}}\right)^{2}}{2\ln \left(1+{\frac {\sigma _{N}^{2}}{\mu _{N}^{2}}}\right)}}\right]$

再パラメータ化の例

例えば、PFIM ^{[ 26 ]}と PopED ^{[ 27 ]}という 2 つの異なる最適設計ツールを使用してモデルを実行したい場合を考えてみましょう。前者は LN2 パラメータ化をサポートし、後者は LN7 パラメータ化をサポートしています。したがって、再パラメータ化が必要であり、そうしないと 2 つのツールが異なる結果を生成してしまいます。

移行のために $\operatorname {LN2} (\mu ,v)\to \operatorname {LN7} (\mu _{N},\sigma _{N})$ 以下の式が成り立つ ${\textstyle \mu _{N}=\exp(\mu +v/2)}$ そして ${\textstyle \sigma _{N}=\exp(\mu +v/2){\sqrt {\exp(v)-1}}}$ 。

移行のために $\operatorname {LN7} (\mu _{N},\sigma _{N})\to \operatorname {LN2} (\mu ,v)$ 以下の式が成り立つ ${\textstyle \mu =\ln \mu _{N}-{\frac {1}{2}}v}$ そして ${\textstyle v=\ln(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2})}$ 。

残りのすべての再パラメータ化式は、プロジェクトのウェブサイトにある仕様書に記載されています。^{[ 28 ]}

多重、相互、パワー

定数による乗算: $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$ それから $aX\sim \operatorname {Lognormal} (\mu +\ln a,\sigma ^{2})$ のために $a>0.$
逆数: $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$ それから ${\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Lognormal} (-\mu ,\sigma ^{2}).$
電力: もし $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$ それから $X^{a}\sim \operatorname {Lognormal} (a\mu ,a^{2}\sigma ^{2})$ のために $a\neq 0.$

独立した対数正規分布に従う確率変数の乗算と除算

2 つの独立した対数正規変数 $X_{1}$ そして $X_{2}$ を乗算（除算）すると、積（比率）は再び対数正規分布となり、パラメータは $\mu =\mu _{1}+\mu _{2}$ [ $\mu =\mu _{1}-\mu _{2}$ ]そして $\sigma$ 、どこ $\sigma ^{2}=\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}$ 。

より一般的に言えば、 $X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})$ は $n$ 独立で対数正規分布に従う変数、 ${\textstyle Y=\prod _{j=1}^{n}X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} {\Big (}\sum _{j=1}^{n}\mu _{j},\sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}^{2}{\Big )}.}$

乗法中心極限定理

幾何平均または乗法平均 $n$ 独立同分布の正の確率変数 $X_{i}$ ショーのために $n\to \infty$ パラメータを持つ対数正規分布に近似的に従う $\mu =\operatorname {E} [\ln X_{i}]$ そして $\sigma ^{2}=\operatorname {var} [\ln X_{i}]/n$ 仮定すると $\sigma ^{2}$ 有限である。

実際、確率変数は同一分布である必要はありません。分布が $\ln X_{i}$ 全てが有限の分散を持ち、中心極限定理の多くの変形のいずれかの他の条件を満たす。

これは一般にジブラの法則として知られています。

他の

対数正規分布から生じるデータセットは、対称的なローレンツ曲線を持つ（ローレンツ非対称係数も参照）。^{[ 29 ]}

ハーモニック $H$ 幾何学的 $G$ 算術 $A$ この分布の平均は関連している。^{[ 30 ]}このような関係は次のように与えられる。

$H={\frac {G^{2}}{A}}.$

対数正規分布は無限に分割可能であるが^{[ 31 ]} 、安定分布ではないため、容易に抽出することはできない^{[ 32 ] 。}

統計的推論

パラメータの推定

最尤推定量

対数正規分布のパラメータ $μ$ と $σ$ の最尤推定量を決定するには、正規分布の場合と同じ手順を使用できます。 $L(\mu ,\sigma )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\varphi _{\mu ,\sigma }(\ln x_{i}),$ どこ $\varphi$ は正規分布の密度関数である。 ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ したがって、対数尤度関数は次のようになります。 $\ell (\mu ,\sigma \mid x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-\sum _{i}\ln x_{i}+\ell _{N}(\mu ,\sigma \mid \ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}).$

最初の項はμとσに関して定数であるため、両方の対数尤度関数は、 $\ell$ そして $\ell _{N}$ 同じ方法で最大限に達する $\mu$ そして $\sigma$ したがって、最尤推定量は、観測値の正規分布の場合と同一である。 $\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n})$ 、 ${\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{i}\ln x_{i}}{n}},\qquad {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{i}{\left(\ln x_{i}-{\widehat {\mu }}\right)}^{2}}{n}}.$

有限のnの場合、推定値は $\mu$ 公平ですが、 $\sigma$ は偏りがある。正規分布の場合、不偏推定量は $\sigma$ は、次の式の分母nをn −1に置き換えることによって得られる。 ${\widehat {\sigma }}^{2}$ 。

このことから、x の期待値の最尤推定値は次のようになります。^{[ 42 ]} ${\widehat {\theta }}_{\text{MLE}}={\widehat {\operatorname {E} [X]}}_{\text{MLE}}=e^{{\hat {\mu }}+{{\hat {\sigma }}^{2}}/{2}}$

モーメント法

個々の値が $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ 入手できませんが、サンプルの平均 ${\bar {x}}$ 標準偏差sがの場合、モーメント法を使用できます。対応するパラメータは、期待値の方程式を解くことによって得られる次の式によって決定されます。 $\operatorname {E} [X]$ および分散 $\operatorname {Var} [X]$ のために $\mu$ そして $\sigma$ : ^{[ 43 ]} ${\begin{aligned}\mu &=\ln {\frac {\bar {x}}{\sqrt {1+{\widehat {\sigma }}^{2}/{\bar {x}}^{2}}}},\\[1ex]\sigma ^{2}&=\ln \left(1+{{\widehat {\sigma }}^{2}}/{\bar {x}}^{2}\right).\end{aligned}}$

その他の推定者

他にも、Finney のUMVUE推定量^{[ 44 ]}、「近似最小平均二乗誤差推定量」、「近似不偏推定量」、「ミニマックス推定量」^{[ 45 ]} 、「条件付き平均二乗誤差推定量」^{[ 46 ]} 、その他のバリエーション^{[ 47 ]}^{[ 48 ]など、推定量が存在する。}

区間推定

対数正規分布データを分析する際に区間推定値を得る最も効率的な方法は、正規分布に基づくよく知られた方法を対数変換されたデータに適用し、必要に応じて結果を逆変換することです。

予測区間

基本的な例として予測区間を挙げます。正規分布の場合、区間は $[\mu -\sigma ,\mu +\sigma ]$ 確率の約3分の2（68％）（または大きなサンプル）を含み、 $[\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]$ 95% を含みます。したがって、対数正規分布の場合、

$[\mu ^{*}/\sigma ^{*},\mu ^{*}\cdot \sigma ^{*}]=[\mu ^{*}{}^{\times }\!\!/\sigma ^{*}]$ 2/3を含み、
$[\mu ^{*}/(\sigma ^{*})^{2},\mu ^{*}\cdot (\sigma ^{*})^{2}]=[\mu ^{*}{}^{\times }\!\!/(\sigma ^{*})^{2}]$ 95%の確率が含まれる。推定パラメータを用いると、これらの区間にはほぼ同じ割合のデータが含まれるはずである。

eμ^の信頼区間

この原理を用いると、信頼区間は $\mu$ は $[{\widehat {\mu }}\pm q\cdot {\widehat {\mathop {se} }}]$ 、どこ $\mathop {se} ={\widehat {\sigma }}/{\sqrt {n}}$ は標準誤差であり、qは自由度n-1のt 分布の 97.5% 分位数です。逆変換により、次の信頼区間が得られます。 $\mu ^{*}=e^{\mu }$ （中央値）は： $[{\widehat {\mu }}^{*}{}^{\times }\!\!/(\operatorname {sem} ^{*})^{q}]$ と $\operatorname {sem} ^{*}=({\widehat {\sigma }}^{*})^{1/{\sqrt {n}}}$

$E($ $X$ $)$ の信頼区間

文献では、信頼区間を計算するためのいくつかのオプションについて議論されています。 $\mu$ （対数正規分布の平均）。これにはブートストラップ法やその他のさまざまな方法が含まれます。^{[ 49 ]}^{[ 50 ]}

コックス法^{[ a ]}は推定量を代入することを提案している。 ${\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{i}\ln x_{i}}{n}},\qquad S^{2}={\frac {\sum _{i}\left(\ln x_{i}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}{n-1}}$

そして、それらを用いて、以下の方法で近似的な信頼区間を構築します。 $\mathrm {CI} (\operatorname {E} (X)):\exp \left({\hat {\mu }}+{\frac {S^{2}}{2}}\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S^{2}}{n}}+{\frac {S^{4}}{2(n-1)}}}}\right)$

[証拠]

私たちは知っている $\operatorname {E} (X)=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}$ 。また、 ${\widehat {\mu }}$ は、パラメータを持つ正規分布です。 ${\widehat {\mu }}\sim N\left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{n}}\right)$

$S^{2}$ はカイ二乗分布に従い、中心極限定理により近似的に正規分布に従い、そのパラメータは以下のとおりです。 $S^{2}{\dot {\sim }}N\left(\sigma ^{2},{\frac {2\sigma ^{4}}{n-1}}\right)$ したがって、 ${\frac {S^{2}}{2}}{\dot {\sim }}N\left({\frac {\sigma ^{2}}{2}},{\frac {\sigma ^{4}}{2(n-1)}}\right)$ 。

標本平均と標本分散は独立しており、正規分布に従う変数の合計も正規分布に従うため、次の式が得られます。 ${\widehat {\mu }}+{\frac {S^{2}}{2}}{\dot {\sim }}N\left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}},{\frac {\sigma ^{2}}{n}}+{\frac {\sigma ^{4}}{2(n-1)}}\right)$ 上記に基づき、標準信頼区間は次のようになります。 $\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}$ （ピボット量を用いて）次のように構成できる。 ${\hat {\mu }}+{\frac {S^{2}}{2}}\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S^{2}}{n}}+{\frac {S^{4}}{2(n-1)}}}}$ 単調変換では信頼区間が維持されるため、次のようになります。 $\mathrm {CI} \left(\operatorname {E} [X]=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\right):\exp \left({\hat {\mu }}+{\frac {S^{2}}{2}}\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S^{2}}{n}}+{\frac {S^{4}}{2(n-1)}}}}\right)$

ご希望どおりです。

Olsson 2005 は、以下の式を置き換えることで「修正 Cox 法」を提案した。 $z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}$ と $t_{n-1,1-{\frac {\alpha }{2}}}$ これは、サンプルサイズが小さい場合に、より良いカバレッジ結果をもたらすようであった。^{[ 49 ]}^{：セクション3.4}

2つの対数正規分布を比較するための信頼区間

2つの対数正規分布を比較することは、例えば治療群と対照群（A/Bテストなど）からの場合、しばしば興味深いものとなります。ここでは、パラメータを持つ2つの独立した対数正規分布からのサンプルがあります。 $(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})$ そして $(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})$ サンプルサイズ $n_{1}$ そして $n_{2}$ それぞれ。

両者の中央値を比較するには、それぞれの対数を取ってから単純な信頼区間を構築し、それを指数スケールに戻すことで簡単に行うことができます。

$\mathrm {CI} (e^{\mu _{1}-\mu _{2}}):\exp \left({\hat {\mu }}_{1}-{\hat {\mu }}_{2}\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n}}}}\right)$

これらの信頼区間は、疫学において相対リスクとオッズ比の信頼区間を計算する際によく使用されるものです。^{[ 53 ]}_{その方法は、2つのほぼ正規分布（例えば、RRの場合はp1}とp2 _）があり、それらの比率を計算したいというものです。^{[ b ]}

しかし、2つのサンプルの期待値（平均値）の比率も興味深いかもしれないが、それを算出するにはさらなる作業が必要となる。それらの平均値の比率は次のとおりである。

${\frac {\operatorname {E} (X_{1})}{\operatorname {E} (X_{2})}}={\frac {e^{\mu _{1}+\sigma _{1}^{2}/2}}{e^{\mu _{2}+\sigma _{2}^{2}/2}}}=e^{(\mu _{1}-\mu _{2})+{\frac {1}{2}}\left(\sigma _{1}^{2}-\sigma _{2}^{2}\right)}$

これらの各パラメータに推定値を代入すると、対数正規分布が得られるため、前述のコックス法をこのユースケースにも同様に適用できる。

$\mathrm {CI} \left({\frac {\operatorname {E} (X_{1})}{\operatorname {E} (X_{2})}}={\frac {e^{\mu _{1}+\sigma _{1}^{2}/2}}{e^{\mu _{2}+\sigma _{2}^{2}/2}}}\right):\exp \left(\left({\hat {\mu }}_{1}-{\hat {\mu }}_{2}+{\tfrac {1}{2}}S_{1}^{2}-{\tfrac {1}{2}}S_{2}^{2}\right)\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {S_{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {S_{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}}}\right)$

[証拠]

この比率の信頼区間を構築するために、まず次の点に注目します。 ${\hat {\mu }}_{1}-{\hat {\mu }}_{2}$ 正規分布に従い、 $S_{1}^{2}$ そして $S_{2}^{2}$ はカイ二乗分布を持ち、これは（関連するパラメータを持つ中心極限定理により）ほぼ正規分布に従います。

これはつまり $({\hat {\mu }}_{1}-{\hat {\mu }}_{2}+{\frac {1}{2}}S_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}S_{2}^{2})\sim N\left((\mu _{1}-\mu _{2})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}^{2}-\sigma _{2}^{2}),{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {\sigma _{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {\sigma _{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}\right)$

上記に基づき、標準信頼区間は（ピボット量を用いて）次のように構築できる。 $({\hat {\mu }}_{1}-{\hat {\mu }}_{2}+{\frac {1}{2}}S_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}S_{2}^{2})\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {S_{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {S_{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}}}$ 単調変換では信頼区間が維持されるため、次のようになります。 $CI\left({\frac {\operatorname {E} (X_{1})}{\operatorname {E} (X_{2})}}={\frac {e^{\mu _{1}+{\frac {\sigma _{1}^{2}}{2}}}}{e^{\mu _{2}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{2}}}}}\right):e^{\left(({\hat {\mu }}_{1}-{\hat {\mu }}_{2}+{\frac {1}{2}}S_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}S_{2}^{2})\pm z_{1-{\frac {\alpha }{2}}}{\sqrt {{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {S_{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {S_{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}}}\right)}$

ご希望どおりです。

2 つの期待値の比率にMLE を単純に使用して比率推定量を作成すると、一貫性はあるものの偏りのある点推定値が得られることに注意する価値があります(比率の推定量が対数正規分布であるという事実を利用します): ^{[ c ]}

${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[{\frac {{\widehat {\operatorname {E} }}(X_{1})}{{\widehat {\operatorname {E} }}(X_{2})}}\right]&=\operatorname {E} \left[\exp \left(\left({\widehat {\mu }}_{1}-{\widehat {\mu }}_{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}\left(S_{1}^{2}-S_{2}^{2}\right)\right)\right]\\&\approx \exp \left[{(\mu _{1}-\mu _{2})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}^{2}-\sigma _{2}^{2})+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {\sigma _{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {\sigma _{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}\right)}\right]\end{aligned}}$

自由パラメータσを固定するための極値エントロピー原理

アプリケーションでは、 $\sigma$ は決定すべきパラメータである。生成と散逸のバランスが取れた成長過程の場合、シャノンエントロピーの極値原理を用いると、^{[ 54 ]が示される。} $\sigma ={\frac {1}{\sqrt {6}}}$

この値を使用すると、対数正規分布の変曲点と最大点の間のスケーリング関係を与えることができます。^{[ 54 ]}この関係は自然対数の底によって決まります。 $e=2.718\ldots$ 、そして、最小表面エネルギー原理と幾何学的に類似している。これらのスケーリング関係は、多くの成長プロセス（伝染病の蔓延、飛沫の飛散、人口増加、浴槽の渦の渦巻き速度、言語文字の分布、乱流の速度プロファイルなど）を予測するのに役立つ。例えば、このような対数正規関数 $\sigma$ 飛沫衝突時に二次的に生成される飛沫のサイズ^{[ 55 ]}や伝染病の蔓延^{[ 56 ]とよく一致する。}

価値 ${\textstyle \sigma =1{\big /}{\sqrt {6}}}$ ドレイク方程式の確率的解を提供するために使用される。^{[ 57 ]}

発生と応用

対数正規分布は、自然現象の説明において重要です。多くの自然成長プロセスは、対数スケールで加算される多数の小さなパーセント変化の蓄積によって駆動されます。適切な規則性条件の下では、結果として生じる蓄積された変化の分布は、上記の「乗法中心極限定理」のセクションで述べたように、対数正規分布によってますますよく近似されます。これは、企業向けにこれを定式化したロバート・ジブラ（1904～1980）にちなんで、ジブラの法則としても知られています。 ^{[ 58 ]}これらの小さな変化の蓄積率が時間とともに変化しない場合、成長はサイズに依存しなくなります。この仮定が真実でない場合でも、時間とともに成長するもののどの年齢におけるサイズ分布も対数正規分布になる傾向があります。したがって、健康な個人の測定値の基準範囲は、平均を中心とした対称分布を仮定するよりも、対数正規分布を仮定する方がより正確に推定できます。

2つ目の根拠は、基本的な自然法則が正の変数の乗算と除算を伴うという観察に基づいている。例えば、質量と距離を力と結びつける単純な万有引力の法則や、反応物と生成物の濃度を結びつける溶液中の化学物質の平衡濃度の公式などが挙げられる。これらの場合、関係する変数が対数正規分布に従うと仮定することで、一貫性のあるモデルが得られる。

具体的な例については、以下のサブセクションで説明します。^{[ 59 ]}には、地質学、生物学、医学、食品、生態学、その他の分野における対数正規分布のレビューと表が含まれています。^{[ 60 ]}は、注釈付き参考文献を含む、神経科学における対数正規分布に関するレビュー記事です。

人間の行動

インターネットのディスカッションフォーラムに投稿されたコメントの長さは対数正規分布に従います。^{[ 61 ]}
ユーザーがオンライン記事（ジョーク、ニュースなど）に滞在する時間は対数正規分布に従います。^{[ 62 ]}
チェスの試合時間は対数正規分布に従う傾向がある。^{[ 63 ]}
標準刺激に一致する音響比較刺激の開始持続時間は対数正規分布に従う。^{[ 16 ]}

生物学と医学

生体組織の大きさの測定（長さ、皮膚面積、重量）。^{[ 64 ]}
病気の潜伏期間。^{[ 65 ]}
バナナの葉の斑点、大麦のうどんこ病の直径。^{[ 59 ]}
2003年のSARSのような感染力の強い流行病の場合、公衆衛生上の介入制御政策が関与すると、エントロピーを仮定し、標準偏差がエントロピー生成の最大率の原理によって決定される場合、入院患者数は自由パラメータのない対数正規分布を満たすことが示されている。^{[ 66 ]}
生物標本の不活性付属器官（毛、爪、歯など）の長さを、成長方向に沿って計測したもの。
任意のゲノム領域における正規化されたRNA-Seqリードカウントは、対数正規分布によって良好に近似できる。
PacBioシーケンスのリード長は対数正規分布に従う。^{[ 67 ]}
成人の血圧などの特定の生理学的測定値（男性/女性のサブグループに分けた後）。^{[ 68 ]}
Cmax _、消失半減期、消失速度定数などのいくつかの薬物動態学的変数。^[⁶⁹^]
神経科学では、ニューロン集団における発火率の分布は、しばしばほぼ対数正規分布に従います。これは最初に皮質と線条体で観察され^{[ 70 ]}、その後海馬と嗅内皮質^{[ 71 ]}、そして脳の他の部位でも観察されました^{[ 60 ]}^{[ 72 ]} 。また、内在性ゲイン分布とシナプス重み分布も対数正規分布に従うようです^{[ 73 ]}。
神経発達中の細胞分裂過程のノイズにより、大脳皮質のニューロン密度が高くなる。^{[ 74 ]}
手術室管理では、手術時間の分布が重要になります。
生細胞の細胞骨格における骨折の雪崩の大きさは対数正規分布を示し、癌細胞では健康な細胞よりも有意に大きい。^{[ 75 ]}

化学

粒子径分布とモル質量分布。
鉱物中の希少元素の濃度。^{[ 76 ]}
アイスクリーム中の結晶の直径、マヨネーズ中の油滴、ココアプレスケーキの気孔。^{[ 59 ]}

物理科学

水文学では、対数正規分布は、日降水量や河川流量の月間および年間最大値などの変数の極値を分析するために使用されます。^{[ 77 ]}
- 右側の画像は、年間最大1日降水量を順位付けしたデータに対数正規分布を当てはめた例を示しており、二項分布に基づく90%信頼区間も表示されています。
- 降雨データは、累積頻度分析の一環として、位置をプロットすることによって表現されます。
物理海洋学では、真冬の南大西洋の氷山の大きさは対数正規分布に従うことがわかった。1986年にFSポーラースターン号から目視およびレーダーで測定された氷山の大きさは、荒波による波の作用によって氷山がたわんで割れることで制御されていると考えられていた。^{[ 78 ]}
大気科学では、対数正規分布（または複数の対数正規関数を組み合わせた分布）が、火山灰から雲や雨、空気中の微生物に至るまで、さまざまな種類の粒子のサイズと濃度の測定値とモデルの両方を特徴付けるために使用されてきました。^{[ 79 ]}^{[ 80 ]}^{[ 81 ]}^{[ 82 ]}対数正規分布は厳密には経験的なものであるため、火山灰などの粒子のサイズ分布を制御するプロセスをよりよく理解するために、より物理的に根拠のある分布が採用されています。^{[ 83 ]}

社会科学と人口統計学

経済学では、人口の97～99%の所得が対数正規分布に従うという証拠がある。 ^{[ 84 ]}（高所得者の分布はパレート分布に従う）。^{[ 85 ]}
所得分布が標準偏差を持つ対数正規分布に従う場合 $\sigma$ すると、所得格差を評価するためによく用いられるジニ係数は、次のように計算できる。 $G=\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma }{2}}\right)$ どこ $\operatorname {erf}$ は誤差関数です。 $G=2\Phi {\left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)}-1$ 、どこ $\Phi (x)$ これは標準正規分布の累積分布関数です。
金融、特にブラック・ショールズ・モデルでは、為替レート、物価指数、株式市場指数の対数の変化は正規分布に従うと仮定されています^{[ 86 ]}（これらの変数は単利ではなく複利のように振る舞い、乗法的な性質を持ちます）。しかし、ブノワ・マンデルブロなどの一部の数学者は^{[ 87 ]}、裾の重い対数レヴィ分布の方が、特に株式市場の暴落の分析にはより適切なモデルであると主張しています。実際、株価分布は通常、裾の重い分布を示します^[⁸⁸^]。株式市場の暴落時の変化の裾の重い分布は、中心極限定理の仮定を無効にします。
計量科学では、学術論文や特許の引用数は離散対数正規分布に従います。^{[ 89 ]}^{[ 90 ]}
都市の規模（人口）はジブラの法則を満たす。^{[ 91 ]}都市規模の成長過程は規模に比例し、規模に関して不変である。したがって、中心極限定理から、都市規模の対数は正規分布に従う。
性交渉相手の数は、対数正規分布で最もよく説明されるようです。^{[ 92 ]}

テクノロジー

信頼性解析では、保守可能なシステムの修復時間をモデル化するために、対数正規分布がよく使用されます。^{[ 93 ]}
無線通信では、「dBやネーパーなどの対数値で表される局所平均電力は正規分布（すなわちガウス分布）を持つ」^{[ 94 ]} 。また、大きな建物や丘による無線信号のランダムな遮蔽（シャドウイングと呼ばれる）は、対数正規分布としてモデル化されることが多い。
ボールミル粉砕などのランダムな衝撃による粉砕によって生成される粒子サイズ分布。^{[ 95 ]}
公開されている音声および動画データファイル（MIMEタイプ）のファイルサイズ分布は、5 桁の範囲で対数正規分布に従います。^[⁹⁶^]
1999年に収集された、Windows OSを実行しているパーソナルコンピュータ上の1億4000万個のファイルのファイルサイズ。^{[ 97 ]}^{[ 61 ]}
テキストベースの電子メール（1990年代）とマルチメディアベースの電子メール（2000年代）のサイズ。^{[ 61 ]}
コンピュータネットワークやインターネットトラフィック分析では、対数正規分布は単位時間あたりのトラフィック量を表すのに適した統計モデルであることが示されています。これは、実際のインターネットトレースの大規模なグループに堅牢な統計的手法を適用することによって実証されています。この文脈において、対数正規分布は、次の 2 つの主要なユースケースで優れたパフォーマンスを示しています。(1) トラフィックが特定のレベルを超える時間の割合を予測する (サービスレベル契約またはリンク容量推定のため)、つまり帯域幅プロビジョニングに基づくリンクのサイジング、および (2) 95 パーセンタイル価格を予測する。^{[ 98 ]}
物理試験において、特定の条件下でのアイテムの故障までの時間を測定する場合、データは対数正規分布を用いて分析するのが最適であることが多い。^{[ 99 ]}^{[ 100 ]}

注記

↑コックス法は、ランド（1971年）^{[ 51 ]で「個人的な情報」として引用されており、周と高（1997年）}^{[ 52 ]}およびオルソン（2005年^{） [ 49 ]}^{のセクション3.3}^にも記載されている。
↑問題は、それを直接行う方法がわからないため、それらの対数を取り、デルタ法を使用して、それらの対数自体が（近似的に）正規であると言うことです。このトリックにより、それらの指数が対数正規であると仮定し、その近似を使用して信頼区間を構築できます。RR の場合、ベース分布（つまり、対数を取る前）の中央値と平均は実際には同じであることに注意してください（それらは元々正規であり、対数正規ではないため）。たとえば、 ${\hat {p}}_{1}{\dot {\sim }}N(p_{1},p_{1}(1-p1)/n)$ そして $\ln {\hat {p}}_{1}{\dot {\sim }}N(\ln p_{1},(1-p1)/(p_{1}n))$ したがって、ログに基づいてCIを構築し、逆変換すると、 $CI(p_{1}):e^{\ln {\hat {p}}_{1}\pm (1-{\hat {p}}_{1})/({\hat {p}}_{1}n))}$ したがって、信頼区間は中央値に対するものだと予想されますが、この場合、実際には元の分布の平均値に対するものでもあります。つまり、元の ${\hat {p}}_{1}$ 対数正規分布であれば、 $\operatorname {E} [{\hat {p}}_{1}]=e^{\ln p_{1}+{\tfrac {1}{2}}(1-p1)/(p_{1}n)}$ しかし実際には、私たちは次のことを知っています。 $\operatorname {E} [{\hat {p}}_{1}]=e^{\ln p_{1}}=p_{1}$ したがって、我々が得ている近似値は（デルタ法の）第2段階で得られますが、信頼区間は実際には期待値（中央値だけでなく）に対するものです。これは、正規分布を基本分布として出発し、対数変換後に再び正規分布への近似を行うためです。つまり、信頼区間の近似値の大部分はデルタ法によるものなのです。
↑推定された平均と分散を近似的に正規分布とみなすことで、この式を導き出すことができます。これは、項自体が対数正規分布に従うことを示しており、期待値を素早く求めることができます。バイアスは、以下の方法を用いることで部分的に最小化できます。 ${\begin{aligned}{\widehat {\left[{\frac {\operatorname {E} (X_{1})}{\operatorname {E} (X_{2})}}\right]}}&=\left[{\frac {{\widehat {\operatorname {E} }}(X_{1})}{{\widehat {\operatorname {E} }}(X_{2})}}\right]{\frac {2}{\widehat {\left({\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {\sigma _{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {\sigma _{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}\right)}}}\\&\approx \left[e^{({\widehat {\mu }}_{1}-{\widehat {\mu }}_{2})+{\frac {1}{2}}\left(S_{1}^{2}-S_{2}^{2}\right)}\right]{\frac {2}{{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {S_{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {S_{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}}}\end{aligned}}$

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[55] 問題は、それを直接行う方法がわからないため、それらの対数を取り、デルタ法を使用して、それらの対数自体が（近似的に）正規であると言うことです。このトリックにより、それらの指数が対数正規であると仮定し、その近似を使用して信頼区間を構築できます。RR の場合、ベース分布（つまり、対数を取る前）の中央値と平均は実際には同じであることに注意してください（それらは元々正規であり、対数正規ではないため）。たとえば、 ${\hat {p}}_{1}{\dot {\sim }}N(p_{1},p_{1}(1-p1)/n)$ そして $\ln {\hat {p}}_{1}{\dot {\sim }}N(\ln p_{1},(1-p1)/(p_{1}n))$ したがって、ログに基づいてCIを構築し、逆変換すると、 $CI(p_{1}):e^{\ln {\hat {p}}_{1}\pm (1-{\hat {p}}_{1})/({\hat {p}}_{1}n))}$ したがって、信頼区間は中央値に対するものだと予想されますが、この場合、実際には元の分布の平均値に対するものでもあります。つまり、元の ${\hat {p}}_{1}$ 対数正規分布であれば、 $\operatorname {E} [{\hat {p}}_{1}]=e^{\ln p_{1}+{\tfrac {1}{2}}(1-p1)/(p_{1}n)}$ しかし実際には、私たちは次のことを知っています。 $\operatorname {E} [{\hat {p}}_{1}]=e^{\ln p_{1}}=p_{1}$ したがって、我々が得ている近似値は（デルタ法の）第2段階で得られますが、信頼区間は実際には期待値（中央値だけでなく）に対するものです。これは、正規分布を基本分布として出発し、対数変換後に再び正規分布への近似を行うためです。つまり、信頼区間の近似値の大部分はデルタ法によるものなのです。

[56] 推定された平均と分散を近似的に正規分布とみなすことで、この式を導き出すことができます。これは、項自体が対数正規分布に従うことを示しており、期待値を素早く求めることができます。バイアスは、以下の方法を用いることで部分的に最小化できます。 ${\begin{aligned}{\widehat {\left[{\frac {\operatorname {E} (X_{1})}{\operatorname {E} (X_{2})}}\right]}}&=\left[{\frac {{\widehat {\operatorname {E} }}(X_{1})}{{\widehat {\operatorname {E} }}(X_{2})}}\right]{\frac {2}{\widehat {\left({\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {\sigma _{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {\sigma _{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}\right)}}}\\&\approx \left[e^{({\widehat {\mu }}_{1}-{\widehat {\mu }}_{2})+{\frac {1}{2}}\left(S_{1}^{2}-S_{2}^{2}\right)}\right]{\frac {2}{{\frac {S_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {S_{2}^{2}}{n_{2}}}+{\frac {S_{1}^{4}}{2(n_{1}-1)}}+{\frac {S_{2}^{4}}{2(n_{2}-1)}}}}\end{aligned}}$

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