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『Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio』（対数の素晴らしき規範の記述、1614年）と『Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio』（対数の素晴らしき規範の構築、1619年）は、ジョン・ネイピアによる対数の方法を解説したラテン語の2冊の本である。ヨスト・ビュルギをはじめとする他の人々も対数の概念にアプローチしていたが、ネイピアが『Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio』の中で、使いやすい事前計算済みの表とともに、 この概念を初めて発表した。[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]
対数が導入される以前は、乗算、除算、平方根の抽出を含む高精度な数値計算は、手間がかかり、エラーも発生しやすかった。対数は、そのような計算を大幅に簡略化する。ネイピアは次のように述べている。
「…数学者の皆さん、数学の実践において、長々とした乗算と除算、比率の算出、平方根と立方根の抽出といった退屈な作業で生じる大きな遅延ほど退屈なものはありません…[そして]多くの厄介な誤りも起こり得ます…私は、その手順を短縮する驚くべき方法を発見しました。それは、乗算と除算、そして平方根と立方根の抽出という長く骨の折れる作業に関連するすべての数を、作業自体から排除し、代わりに、排除された数の作業を2または3による加算、減算、除算のみによって行う別の数を用いるというものです。」[ 2 ]：序文
本書は、解説文57ページと三角関数とそのネイピア対数の表90ページから構成されている。[ 1 ]： p.18これらの表は、天文学や天体航法において中心的な役割を果たす球面三角法の計算を大幅に簡略化した。球面三角法では、通常、正弦、余弦、その他の関数の積が含まれる。ネイピアは、比率問題の解法など、その他の用途についても述べている。[ 2 ]：序文
ジョン・ネイピアは、表の計算に20年を費やしました。[ 4 ] : p. 16彼は、表の作成方法を説明した別の巻を執筆しましたが、最初の本がどのように受け入れられるかを見るために出版を控えました。ジョンは1617年に亡くなりました。彼の息子ロバートは、ヘンリー・ブリッグスによる加筆を加えた父の本『 Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio』を1619年に出版しました。 [ 5 ] [ 6 ]『Constructio』では、ネイピアが正弦関数の対数の計算を容易にするために、3つの等比数列の表を作成して使用した方法が詳しく説明されています。
ネイピアの時代には、ヨーロッパで使用されていた十進表記は整数のみを表していました。小数に小数部分を含めることはサイモン・ステヴィンによって提案されていましたが、彼の表記は扱いにくいものでした。小数の整数部分と小数部分をピリオドで区切るというアイデアは、ネイピア自身が著書『Constructio』第5章で初めて提案しました。「このようにピリオドで区別された数では、ピリオドの後に書かれているものはすべて分数であり、その分母は1で、ピリオドの後の数字の数だけその後に数字が続きます。」彼はこの概念を表のより正確な計算を容易にするために使用しましたが、印刷された表自体には使用しませんでした。[ 1 ]： p.22したがって、彼の表に掲載されている角度の正弦値は、斜辺が10,000,000単位の直角三角形でその角度の対辺の長さを表す整数です。しかし、表中の対数は、その正弦値を 10,000,000 で割った値です。[ 1 ]： p.19対数は再び整数として示され、分母は暗黙のうちに 10,000,000 となっています。
この表は、向かい合った45組のページで構成されています。各組の上部には0度から44度までの角度が、下部には90度から45度までの角度が記されています（44度から45度までのページは片面です）。表の各ページの最初の列は、ページ上部の度数に加算する角度の増分（分）です。一番右の列は、各ページ下部の度数に加算する分です。この配置により、ページ上の各行において、7列目で表される角度は、1列目（90°－1列目）の余角となります。内側に向かって、各角度の列の隣には、その角度の正弦、続いてその正弦のネイピア対数の絶対値が記されています。1列目の余弦は、ページを横に5列目まで読むことで簡単に得られ、逆も同様です。中央の列は、2つの対数の差を示しており、これは正接関数のネイピア対数（符号を反転すれば余接）である。[ 2 ]：第3章
これらの表は、1未満の正の数に対するネイピア対数の表としても使用できます。その場合、正弦値（2列目と6列目）を引数として、対数正弦値（3列目と5列目）を結果として得られる対数として使用します。この手順を逆に行うと、逆対数が得られます。
下の表の最初の 3 行は、写真にある Napier の表の左側の 19 度のページの見出しと最初の 2 行のデータを示しています。その後に、同じ角度に対して最新のアルゴリズムを使用して計算された値が続きます。[ 6 ]これらは、Napier の表の公称 7 桁の精度よりも 1 桁多い 8 桁の精度に切り捨てられています。列番号は分かりやすくするために表示されています。
ネイピアの『記述』は2巻に分かれている。第1巻では彼の発明とその応用例について説明し、表も含まれている。第2巻では三角法への応用について論じている。
第 1 章には、ネイピアの対数の概念を説明する一連の定義と命題が含まれています。彼は、2 つの運動モデルの観点から対数を構想しました。1 つ目のモデルでは、粒子はある点から出発し、一定の速度で直線に沿って移動します。2 つ目のモデルでは、粒子は同じ初期速度で出発して直線に沿って移動しますが、その速度は出発点からの距離に比例して減少します。:第 1 章、定義 2数aの対数は、2 番目の反比例モデルの粒子が a に到達するまでの間に、一定速度モデルの粒子が移動する距離です。[ 2 ] :第 1 章、定義 6彼は 10,000,000 の対数をゼロと定義し、それより小さい値の対数は正、それより大きい数の対数は負と定義しました。これは現代の対数とは符号が逆です。 （この符号の変化は、ネイピアが底 1/ eの対数を使用したと表現されることもあります。）[ 1 ]： p.19彼は、ゼロ対数（現代の用語では底）を持つ値を自由に選択できるが、計算を容易にするために、彼の正弦表の「合計正弦」（斜辺）と一致する 10,000,000 を選択していると述べています。ネイピアの対数を参照してください 。
第2章では対数の性質について説明し、比率を扱うための公式（テキスト形式）をいくつか示しています。最後に、対数の構築に関する著作の出版を、自身の発明がどのように受け入れられるかを見極めるまで延期しているという注記があります。第3章では、表とその7つの列について説明しています（上記参照）。第4章では、表の使い方を説明し、正弦、正接、正割の例題を示しています。また、正弦値を引数として、対数正弦値を結果として使用して、数値の対数を直接求める方法、およびその逆についても説明しています。10の異なる倍数を扱う方法について議論し、現代の科学的記数法に似た表記法を導入しています。これは、桁違いの補正が必要であることを示すために、量の対数の後にゼロを付加するものです。さまざまな場合に加算または減算する具体的な対数量を示しています。
これらは 10,000,000*ln(10)、10,000,000*ln(100) などに対応します。
第5章では、比例関係に関する4つの問題と、ネイピアの対数を用いたそれらの解法を紹介しています。彼は最後に、「これらの対数によってどれほどの恩恵がもたらされるか 。掛け算にはこれらの対数を足し、割り算にはこれらの対数を引いて、平方根を求めるには2で割り、立方根を求めるには3で割って…といった、あらゆる面倒な計算作業が不要になるのだから」と問いかけています。
第2巻は「三角法と呼ばれる高尚な幾何学」を扱っています。第1章では、直角三角形、特に小さな角度における平面三角法の問題を解くために対数を用いる方法を解説しています。小さな角度では、彼の三角対数が大きくなります。次の章では、平面斜三角形を扱います。残りの章では、四分円から始まる球面三角法を扱います。彼はまた、すべての角度が90度である球面上の5つの頂点を持つ星形、ペンタグラマ・ミリフィクムについても説明しています。[ 2 ]： p.32
ネイピアは、数学界からの自身の考えに対するフィードバックを待って、対数表の作成方法に関する理論と詳細を公表することに消極的であり、Descriptio の出版後まもなく亡くなった。彼の息子ロバートは1619 年にConstructioを出版した。この巻にはロバートによる序文といくつかの付録があり、その中には球面三角形をより簡単に解くためのジョン・ネイピアの方法に関するセクションや、ヘンリー・ビッグスによる「別のより優れた種類の対数」、すなわち底が 10 の対数または常用対数に関するセクションが含まれている。ウィリアム・レイ・マクドナルドによる英語訳は、注釈付きで 1889 年に出版された。[ 6 ]
ネイピアは、異なる速度プロファイルで移動する 2 つの点間の対応関係を通じて対数を説明しています。最初の点 P は、有限の線分P 0から Q まで移動し、その初期速度は P から Q までの距離に比例して減少します。2 番目の点 L は、P と同時に L 0から出発し、同じ初期速度で無限の線分に沿って移動しますが、その速度は変化しません。Q からの距離によって測定される P の可能なすべての位置に対して、対応する L の同時位置があります。ネイピアは、P から Q までの距離の対数を、L 0からその L までの距離として定義しました。 [ 7 ]
ネイピアは対数表を計算するためにいくつかの洞察に依拠している。高い精度を得るために、彼はまず10,000,000という大きな底から始める。しかし、彼はさらに、自身が考案し、現在では広く知られている小数表記法、すなわち小数点を用いる表記法によって精度を高めている。彼はいくつかの例を用いて、この表記法の仕組みを説明している。また、計算で発生する誤差を制限するために、区間演算の一種も導入している。 [ 4 ]： p.8 [ 6 ]： Sec.3ff [ 4 ]： p.8
彼が指摘するもう一つのよく知られた事実は、分母が10の累乗である分数は、小数点に対して右にずらすことで、十進表記で簡単に計算できるということである。彼は次のように述べている。「分母が1と小数点から構成される数の部分を、分母にある小数点の数と同じ数の末尾の数字を削除することによって得られる部分、すなわち、数の簡単な部分と呼ぶ。」[ 6 ]：第14節
彼は、等差数列は加算と減算のみを含むため計算が容易である一方、等比数列は乗算、除算、場合によっては平方根を含むため、一般的に計算が難しいと指摘している。しかし、1 − 1/10 m (すなわち、 m個の 9 を含む 0.99...9 の形) の乗数を含む等比数列は、各段階で 1 つのシフトと 1 つの減算のみを使用して任意の精度で計算できることを彼は指摘している。[ 6 ] : Sec.16同様に、 1 − 1/(2*10 m ) (すなわち、0.99...95)の形の乗数は、完全な精度を得るために各段階で 1 つのシフト、1 つの 2 による除算、および 1 つの減算のみを必要とし、彼はこれを「許容できるほど簡単」と呼んでいる。[ 6 ] : Sec.15
ネイピアはまた、等比数列の対数は各段階で一定の値、すなわち乗数の対数だけ異なることを指摘している。したがって、等比数列の初期値と乗数の対数が分かっていれば、乗数の対数を繰り返し加算することで、数列の各項の対数を計算できる。
ネイピアは、2 本の線モデルを使用して、0.9999999 の対数の下限と上限を見つけます。彼の下限は、点 P が減速しないと仮定しており、その場合、L は 1-0.9999999 の距離を移動します。彼の上限は、P が最終速度 0.9999999 で開始すると仮定しており、その場合、L は (1-0.9999999)/0.9999999 の距離を移動します。彼の半径 10,000,000 でスケールアップすると、下限は 1、上限は 1.0000001 になります。彼は、これらの値の差は小さいため、その間の任意の値は 1000 万分の 1 未満の「感知できない誤差」を示すと示唆していますが、あまり説明せずに中間点 1.00000005 を選択します。[ 6 ] : Sec. 30, 31この選択により、ネイピアははるかに高い精度を得ることができた。翻訳者のウィリアム・レイ・マクドナルドが付録で指摘しているように、ネイピアが0.9999999の対数に対してスケールアップした値は、正しい値1.000000050000003333333583...に非常に近く、[ 4 ] : 9、その後の対数の計算はすべて1.00000005の値から派生している。マクドナルドは、ネイピアが中点を選んだのにはもっと良い理由があったに違いないと示唆している。[ 6 ] : p.90ff
ネイピアはこれらの洞察を利用して 3 つの表を作成しました。最初の表は、現代の表記法では、n が 0 から 100 までの範囲の 10000000*(0.9999999) nという数で構成されています。2 番目の表は、n が 0 から 50 までの範囲の 100000*(0.99999) n という数で構成されています。[ 6 ] : p.14彼は、 .9999999の log の値を適用して、最初の表のすべてのエントリの対数を埋めます。.9999999 100は .99999 に非常に近いので、最後のエントリを使用して .99999 の log を計算できます。次に、基本的に .99999 の 50 乗である 2 番目の表を使用して、.9995 の対数を計算します。マクドナルドはまた、ネイピアの 2 番目の表の計算にエラーが入り込んだことを指摘しています。ネイピアの50番目の値は9995001.222927ですが、正しくは9995001.22480です。マクドナルドはこの誤りの影響について付録で論じています。[ 6 ]： 90ページ以降[ 1 ]： 32ページ
ネイピアは次に、69 列 21 行の 3 番目の比例表を作成し、これを「根号表」と呼んでいます。[ 1 ] : p. 35 1 から始まる最上段の行の比例は 0.99 です。各列のエントリの比例は 0.9995 です。(0.9995 = 1-1/2000 であることに注意すると、半分にしたり、移動したり、引き算したりすることで「かなり簡単に」乗算できます。) ネイピアは、すでに持っている log 0.9995 を使用して、最初の列を使用して 0.99 の対数を計算します。比例によりエントリ間の対数の差は一定であるため、これで 3 番目の表の各エントリの対数を埋めることができます。[ 6 ] : p.33 3 番目の表には、約 5,000,000 から 10,000,000 までの範囲をカバーする 1,449 個の値の対数が記載されています。これは、半径を 10,000,000 と仮定した場合、正弦関数の 30 度から 90 度までの値に対応します。[ 4 ] : p.7ネイピアは、その範囲の対数の境界区間を計算するために表を使用する方法を説明しています。
ネイピアは、7 つの列と各分角をカバーする、彼が出版した表を再現するための指示を与えている。彼は正弦自体を計算しておらず、その値は既に利用可能な表から記入することになっている。「ラインホルトの一般的な正弦表、または他のより正確な表がこれらの値を提供してくれるでしょう。」[ 6 ]：第 59 節、また p. 156 [ 4 ]： 16 30 度から 90 度の角度の正弦の対数は、根号表で最も近い数値とその対数を見つけ、線形補間によって目的の正弦の対数を計算することによって計算される。彼は、30 度未満の角度の正弦の対数を計算するいくつかの方法を提案している。たとえば、0.5 未満の正弦に 2 または 10 のべき乗を掛けて、それを [0.5,1] の範囲にすることができる。根号表でその対数を見つけた後、使用した2乗または10乗の対数（彼は簡単な表を示している）を加えて、必要な対数を得る。[ 1 ]： p.36
ネイピアは最後に、表を拡張する2つの方法の結果にはわずかな違いしかないことを指摘している。彼は、「おそらく多くの生徒とコンピュータを持っているであろう」他の人々に、同じ方法で、ただし45度から90度までの角度をカバーするのに十分な35列の根号表を用いて、10,000,000,000というより大きなスケールファクターを持つ新しい表を作成することを提案している。[ 6 ]：第60節、46ページ
付録で、ネイピアは「別の、より優れた種類の対数」の構成について論じており、1 の対数はゼロ、10 の対数は指数 10,000,000,000 である。これは基本的にスケール係数が大きい 10 を底とする対数である。[ 6 ] : p.97彼はそのような表を計算するさまざまな方法について論じ、最後に 2 の対数を 2 10,000,000の桁数として説明し、それを 301029995 と計算している。[ 6 ] : p.48付録の後には、ヘンリー・ブリッグスによるネイピアの概念と 10 を底とする対数についてのコメントが続く。次のセクション[ 6 ]： 64は、ネイピアによる「球面三角形を驚くほど簡単に解くためのいくつかの非常に注目すべき命題」と題された12ページの論文で、彼は球面三角形を2つの直角三角形に分割せずに解く方法を説明しています。このセクションの後には、ブリッグスによる解説も続いています。
翻訳者のマクドナルドは、この時点でいくつかの注釈を加えています。[ 6 ]： p.84では、ネイピアの名前の綴り、第2巻の出版の遅れ、十進法の発展、ネイピアの第2表の誤り、ネイピアの方法の正確さ、および10を底とする対数の計算方法について論じています。
最後のセクション[ 6 ]： p.101は、マクドナルドによる公共図書館にあるネイピアの著作の目録で、宗教書、さまざまな言語の版、ジョン・ネイピアの業績や対数に関連するその他の書籍が含まれています。
ネイピアの斬新な計算方法は、イギリス国内外で急速に広まった。ケプラーは1620年の著書『エフェレリス』をネイピアに捧げ、彼の発明と天文学への貢献を称える手紙を添えた。ケプラーは、小さな角度での若干の不正確さを除いて、本質的な誤りは見つからなかった。[ 1 ]： p.16 天体航法の権威であるエドワード・ライトは、翌年の1615年にネイピアのラテン語の『記述』を英語に翻訳したが、ライトの死により出版は遅れた。 [ 2 ]ブリッグスは、この概念をより便利な底10、つまり常用対数に拡張した。[ 1 ]： pp.16-18ウルシヌスはネイピアを「比類なき数学者」と呼んだ。[ 6 ]： p.158 300年後の1914年、EWホブソンは対数を「世界が目にした最も偉大な科学的発見の1つ」と呼んだ。[ 1 ]： 5ページ
1620年、エドマンド・ガンターは対数目盛りの付いた定規を開発しました。これは一対のコンパスと組み合わせることで乗算と除算に使用できました。[ 8 ] 1622年頃、ウィリアム・オウトレッドは 2つの手持ち式ガンター定規を組み合わせて、実質的に最初の計算尺となる計算装置を作りました。[ 9 ]
対数関数は数学解析の定番となったが、20世紀に入ると、乗算機能を備えた機械式計算機、そして後に電子計算機が高精度な計算ニーズを満たすようになったため、対数表の重要性は徐々に低下していった。[ 10 ] 1970年代に携帯型科学計算機が登場したことで、計算尺の時代は終焉を迎えた。[ 11 ] 2002年版の『The American Practical Navigator』（Bowditch社刊）には、依然として対数表と三角関数の対数表が掲載されている。[ 12 ] : p.565ff
Loria数学表コレクションより
ウィキソースでも入手可能。
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