対数関数の積分の一覧

以下は、対数関数の積分（原始関数） の一覧です。積分関数の完全な一覧については、「積分の一覧」を参照してください。

注：この記事全体を通してx > 0 を前提としており、簡略化のため積分定数は省略しています。

${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}={\frac {x}{\ln a}}(\ln x-1)}$

${\displaystyle \int \ln(ax)\,dx=x\ln(ax)-x=x(\ln(ax)-1)}$

${\displaystyle \int \ln(ax+b)\,dx={\frac {ax+b}{a}}(\ln(ax+b)-1)}$

${\displaystyle \int (\ln x)^{2}\,dx=x(\ln x)^{2}-2x\ln x+2x}$

${\displaystyle \int {\ln ^{n}{x}\,dx}=(-1)^{n}\,x\,\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!}}(-\ln x)^{k}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\ln x}}=\ln |\ln x|+\ln x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{k}}{k\cdot k!}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\ln x}}=\operatorname {li} (x)}$対数積分。

${\displaystyle \int {\frac {dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int \ln f(x)\,dx=x\ln f(x)-\int x{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx\qquad {\mbox{(微分可能な }}f(x)>0{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int x^{m}\ln x\,dx=x^{m+1}\left({\frac {\ln x}{m+1}}-{\frac {1}{(m+1)^{2}}}\right)\qquad {\mbox{(for }}m\neq -1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int x^{m}(\ln x)^{n}\,dx={\frac {x^{m+1}(\ln x)^{n}}{m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\ln x)^{n-1}dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq -1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {(\ln x)^{n}\,dx}{x}}={\frac {(\ln x)^{n+1}}{n+1}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\ln x\,dx}{x^{m}}}=-{\frac {\ln x}{(m-1)x^{m-1}}}-{\frac {1}{(m-1)^{2}x^{m-1}}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {(\ln x)^{n}\,dx}{x^{m}}}=-{\frac {(\ln x)^{n}}{(m-1)x^{m-1}}}+{\frac {n}{m-1}}\int {\frac {(\ln x)^{n-1}dx}{x^{m}}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {x^{m}\,dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {m+1}{n-1}}\int {\frac {x^{m}dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x\ln x}}=\ln \left|\ln x\right|}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x\ln x\ln \ln x}}=\ln \left|\ln \left|\ln x\right|\right|}$など

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x\ln \ln x}}=\operatorname {li} (\ln x)}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{n}\ln x}}=\ln \left|\ln x\right|+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(n-1)^{k}(\ln x)^{k}}{k\cdot k!}}}$

${\displaystyle \int {\frac {dx}{x(\ln x)^{n}}}=-{\frac {1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int \ln(x^{2}+a^{2})\,dx=x\ln(x^{2}+a^{2})-2x+2a\tan ^{-1}{\frac {x}{a}}}$

${\displaystyle \int {\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}\ln(x^{2}+a^{2})\,dx={\frac {1}{4}}\ln ^{2}(x^{2}+a^{2})}$

${\displaystyle \int \sin(\ln x)\,dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)-\cos(\ln x))}$

${\displaystyle \int \cos(\ln x)\,dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)+\cos(\ln x))}$

${\displaystyle \int e^{x}\left(x\ln x-x-{\frac {1}{x}}\right)\,dx=e^{x}(x\ln x-x-\ln x)}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{e^{x}}}\left({\frac {1}{x}}-\ln x\right)\,dx={\frac {\ln x}{e^{x}}}}$

${\displaystyle \int e^{x}\left({\frac {1}{\ln x}}-{\frac {1}{x(\ln x)^{2}}}\right)\,dx={\frac {e^{x}}{\ln x}}}$

のために${\displaystyle n}$連続積分、式

${\displaystyle \int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C_{0}}$

一般化すると

${\displaystyle \int \dotsi \int \ln x\,dx\dotsm dx={\frac {x^{n}}{n!}}\left(\ln \,x-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)+\sum _{k=0}^{n-1}C_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}}$、

どこ${\displaystyle C_{k}}$は任意の積分定数である。

• 数学的恒等式のリスト
• 数学のトピック一覧

• ミルトン・アブラモウィッツとアイリーン・A・ステガン著『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』 、1964年。69ページにいくつかの積分が掲載されています。