床と天井の機能

数学において、床関数（ふかしかん、英: floor function）は、実数x を入力として受け取り、x以下の最大の整数（⌊ x ⌋またはfloor( x )と表記）を出力する関数である。同様に、天井関数はx をx以上の最小の整数（⌈ x ⌉またはceil( x )と表記）にマッピングする。^[1]

たとえば、床の場合: ⌊2.4⌋ = 2、⌊−2.4⌋ = −3、天井の場合: ⌈2.4⌉ = 3、⌈−2.4⌉ = −2 です。

xの床面は、 xの積分部、整数部、最大整数、またはentierとも呼ばれ、歴史的には[ x ]（およびその他の表記法）と表記されていました。^[2]ただし、同じ用語である整数部は、ゼロへの切り捨てにも使用され、負の数に対する床面関数とは異なります。

n が整数の場合、 ⌊ n ⌋ = ⌈ n ⌉ = nです。

floor( x+1 ) とceil( x )は、まったく同じグラフを生成しますが、 x の値が正確な整数の場合には同じではありません。 たとえば、x =2.0001の場合、 ⌊2.0001+1⌋ = ⌈2.0001⌉ = 3 です。 ただし、x =2 の場合は、⌊2+1⌋ = 3ですが、 ⌈2⌉ = 2です。

数値の積分部分または整数部分(原文ではpartie entière ) は、1798 年にアドリアン マリー ルジャンドルがルジャンドルの公式の証明の中で初めて定義しました。

カール・フリードリヒ・ガウスは、二次の相互法則の3番目の証明（1808年）で角括弧表記[ x ]を導入しました。[ ^{3 ]}これは、ケネス・E・アイバーソンが1962年の著書「プログラミング言語」で「床」と「天井」という名前と、対応する表記法⌊ x ⌋と⌈ x ⌉を導入するまで、数学では標準 [4] であり続けました。^{[5] [6] （アイバーソンは、角括弧を}アイバーソン括弧表記という別の目的で使用しました。）両方の表記法は現在数学で使用されていますが、この記事ではアイバーソンの表記法に従います。

いくつかの資料では、太字または二重括弧⟦ x ⟧は下限を表すために使用され、逆括弧⟧ x ⟦または] x [は上限を表すために使用されています。^{[7] [8]}

小数部分は鋸歯状関数であり、実数xに対して{ x }で表され、次の式で定義される。

{ x } = x − ⌊ x ⌋ ^[9]

すべてのxに対して、

0 ≤ { x } < 1です。

Unicode では次の文字が提供されています:

• U+2308 ⌈ 左天井( ⌈, ⌈ )
• U+2309 ⌉ 右天井( ⌉, ⌉ )
• U+230A ⌊ 左フロア( ⌊, ⌊ )
• U+230B ⌋ 右フロア( ⌋, ⌋ )

LaTeX組版システムでは、これらの記号は数式モードで コマンドとコマンドを使用して指定できます。LaTeXは2018年からUTF-8をサポートしているため、Unicode文字を直接使用できるようになりました。^[10]より大きなバージョンはとです。 \lceil, \rceil, \lfloor, \rfloor\left\lceil, \right\rceil, \left\lfloor,\right\rfloor

実数xとy、整数mとn 、整数 の集合が与えられた場合、下限と上限は次の式で定義できます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \lfloor x\rfloor =\max\{m\in \mathbb {Z} \mid m\leq x\},}$

${\displaystyle \lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid n\geq x\}.}$

長さ1の半開区間にはちょうど1つの整数が存在するので、任意の実数xに対して、次の式を満たす 一意の整数mとnが存在する。

${\displaystyle x-1<m\leq x\leq n<x+1.}$

ここで 、およびは 、floor と ceiling の定義としてとらえることもできます。 ${\displaystyle \lfloor x\rfloor =m}$${\displaystyle \lceil x\rceil =n}$

これらの式は、床と天井を含む式を簡略化するために使用できます。^[11]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\lfloor x\rfloor &=m\ \ &&{\mbox{ }}&m&\leq x<m+1 の場合のみ、\\\lceil x\rceil &=n&&{\mbox{ }}&\ \ n-1&<x\leq n の場合のみ、\\\lfloor x\rfloor &=m&{\mbox{ }}&x-1&<m\leq x の場合のみ、\\\lceil x\rceil &=n&&{\mbox{ }}&x&\leq n<x+1 の場合のみ。.\end{alignedat}}}$

順序理論の言語では、床関数は剰余写像、つまりガロア接続の一部です。つまり、整数を実数に埋め込む関数の上随伴関数です。

${\displaystyle {\begin{aligned}x<n&\;\;{\mbox{ }}&\lfloor x\rfloor &<n,\\n<x&\;\;{\mbox{ }}&n&<\lceil x\rceil ,\\x\leq n&\;\;{\mbox{ }}&\lceil x\rceil &\leq n,\\n\leq x&\;\;{\mbox{ }}&n&\leq \lfloor x\rfloor の場合にのみ .\end{aligned}}}$

これらの式は、引数に整数n を追加すると関数にどのような影響が及ぶかを示しています。

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x+n\rfloor &=\lfloor x\rfloor +n,\\\lceil x+n\rceil &=\lceil x\rceil +n,\\\{x+n\}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

nが整数でない場合は上記は成り立ちません。ただし、すべてのxとyに対して、次の不等式が成り立ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor &\leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\[3mu ]\lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1&\leq \lceil x+y\rceil \leq \lceil x\rceil +\lceil y\rceil .\end{aligned}}}$

床関数と天井関数はどちらも単調非減少関数です。

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lfloor x_{1}\rfloor \leq \lfloor x_{2}\rfloor ,\\x_{1}\leq x_{2}&\Rightarrow \lceil x_{1}\rceil \leq \lceil x_{2}\rceil .\end{aligned}}}$

定義から明らかなように、

${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,}$等しいのはxが整数の 場合のみであり、つまり

${\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\mbox{ if }}x\not \in \mathbb {Z} \end{cases}}}$

実際、整数nに対して、床関数と天井関数は両方とも恒等関数です。

${\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.}$

引数を否定すると、下限と上限が入れ替わり、符号も変わります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil &=0\\-\lfloor x\rfloor &=\lceil -x\rceil \\-\lceil x\rceil &=\lfloor -x\rfloor \end{aligned}}}$

そして：

${\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\-1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}}$

${\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

引数を否定すると小数部分が補完されます。

${\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0&{\text{if }}x\in \mathbb {Z} \\1&{\text{if }}x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

下限関数、上限関数、小数部関数はべき等です。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\big \lceil }\lceil x\rceil {\big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\big \{}\{x\}{\big \}}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

ネストされた floor 関数または ceiling 関数の結果は、最も内側の関数になります。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\big \lfloor }\lceil x\rceil {\big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\big \lceil }\lfloor x\rfloor {\big \rceil }&=\lfloor x\rfloor \end{aligned}}}$

整数の恒等性特性による。

mとnが整数でn ≠0 の場合、

${\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.}$

nが正の整数の場合^[12]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,}$

${\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .}$

mが正の場合^[13]

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .}$

m = 2 の場合、これらは

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{2}}\right\rceil .}$

より一般的には、^[14]正のmに対して（エルミートの恒等式を参照）

${\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .}$

床から天井への変換には次の式が使える（m正）^[15]

${\displaystyle \left\lceil {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1,}$

すべてのmとnが正の整数である場合: ^[16]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)+\gcd(m,n)-1}{2}},}$

これは、正で互いに素な mとnに対して、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\tfrac {1}{2}}(m-1)(n-1),}$

同様に天井関数と分数部関数についても（やはり正で互いに素な mとnに対して）、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lceil {\frac {km}{n}}\right\rceil ={\tfrac {1}{2}}(m+1)(n-1),}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\{{\frac {km}{n}}\right\}={\tfrac {1}{2}}(n-1).}$

一般の場合の右辺はmとnに関して対称なので、

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {m{\vphantom {1}}}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor .}$

より一般的には、mとnが正であれば、

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x{\vphantom {1}}}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\[5mu]=&\left\lfloor {\frac {x{\vphantom {1}}}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

これは相互法則と呼ばれることもあります。^[17]

正の整数による除算は、興味深く、時には役に立つ性質を生み出します。 と仮定すると、 ${\displaystyle m,n>0}$

${\displaystyle m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \iff n\leq \left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor \iff n\leq {\frac {\lfloor x\rfloor }{m}}.}$

同様に、

${\displaystyle m\geq \left\lceil {\frac {x}{n}}\right\rceil \iff n\geq \left\lceil {\frac {x}{m}}\right\rceil \iff n\geq {\frac {\lceil x\rceil }{m}}.}$

確かに、

${\displaystyle m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \implies m\leq {\frac {x}{n}}\implies n\leq {\frac {x}{m}}\implies n\leq \left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor \implies \ldots \implies m\leq \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor ,}$

天井関数に関する2番目の同値性も同様に証明できること を念頭に置いてください。${\textstyle \lfloor x/n\rfloor ={\bigl \lfloor }\lfloor x\rfloor /n{\bigr \rfloor }.}$

正の整数nと任意の実数m、xに対して: ^[18]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor }$

${\displaystyle \left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil .}$

この記事で説明する関数はどれも連続ではありませんが、すべて区分的に線形です。つまり、関数、、は整数で不連続になります。 ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle \lceil x\rceil }$${\displaystyle \{x\}}$

${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$は上部半連続で、と は下部半連続です。 ${\displaystyle \lceil x\rceil }$${\displaystyle \{x\}}$

この記事で説明する関数はどれも連続していないため、いずれもべき級数展開を持ちません。floorとceilingは周期的ではないため、一様収束するフーリエ級数展開を持ちません。小数部関数は、xが整数でない 場合、フーリエ級数展開^{[19]を持ちます。} $${\displaystyle \{x\}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$$

不連続点では、フーリエ級数は、床関数、天井関数、小数部関数とは異なり、左側と右側の極限の平均である値に収束します。つまり、y が固定でx がyの倍数の場合、指定されたフーリエ級数はx  mod  y = 0ではなく、y /2 に収束します。 連続点では、級数は真の値に収束します。

この式を使用すると、x は整数ではないこと がわかります 。${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-\{x\}}$$${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}}$$

整数xと正の整数yに対して、モジュロ演算（ x mod yと表記）は、 xをyで割ったときの剰余の値を返します。この定義は、 y ≠ 0 の実数xとyに拡張でき、次の式で 表されます。

${\displaystyle x{\bmod {y}}=x-y\left\lfloor {\frac {x}{y}}\right\rfloor .}$

すると、床関数の定義から、この拡張された演算は多くの自然な性質を満たすことがわかります。特に、x mod y は常に 0 とy の間です。つまり、

yが正の場合、

${\displaystyle 0\leq x{\bmod {y}}<y,}$

yが負の場合、

${\displaystyle 0\geq x{\bmod {y}}>y.}$

アイゼンシュタインによって修正されたガウスの二次相互法則の3番目の証明には、2つの基本的なステップがあります。^{[20] [21]}

pとqをそれぞれ異なる正の奇数の素数とし、${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}(p-1),}$ ${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}(q-1).}$

まず、ガウスの補題を用いて、ルジャンドル記号が次のように与えられる ことを示す。

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {q}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor },\\[5mu]\left({\frac {p}{q}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.\end{aligned}}}$

2番目のステップは、幾何学的な議論を使って、

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.}$

これらの式を組み合わせると、次の形式の二次相互関係が得られる。

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

奇数素数pを法とする小さな数の2次関数の性質を表すためにfloor関数を使用する公式がある：^[22]

${\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {2}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },\\[5mu]\left({\frac {3}{p}}\right)&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.\end{aligned}}}$

任意の実数 の場合、同点の場合は正の無限大方向に丸めて最も近い整数に丸めると のように表され、負の無限大方向に丸めると のように表されます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle {\text{rpi}}(x)=\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor =\left\lceil {\tfrac {1}{2}}\lfloor 2x\rfloor \right\rceil }$${\displaystyle {\text{rni}}(x)=\left\lceil x-{\tfrac {1}{2}}\right\rceil =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}\lceil 2x\rceil \right\rfloor }$

タイブレークが 0 から離れている場合、丸め関数は(符号関数 を参照)、偶数方向への丸めは、より扱いにくい で表現できます。これは、正の無限大方向への丸めを表す上記の式から の整数性インジケータを引いたものです。 ${\displaystyle {\text{ri}}(x)=\operatorname {sgn}(x)\left\lfloor |x|+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor }$${\displaystyle \lfloor x\rceil =\left\lfloor x+{\tfrac {1}{2}}\right\rfloor +{\bigl \lceil }{\tfrac {1}{4}}(2x-1){\bigr \rceil }-{\bigl \lfloor }{\tfrac {1}{4}}(2x-1){\bigr \rfloor }-1}$${\displaystyle {\text{rpi}}(x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(2x-1)}$

実数を 最も近い整数値に丸めることは、非常に基本的なタイプの量子化器、つまり均一量子化器を形成します。量子化ステップサイズが特定の値に等しい典型的な（中間トレッド）均一量子化器は次のように表すことができます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle Q(x)=\Delta \cdot \left\lfloor {\frac {x}{\Delta }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }$、

正の整数kの基数 bの桁数は

${\displaystyle \lfloor \log _{b}{k}\rfloor +1=\lceil \log _{b}{(k+1)}\rceil .}$

任意の長さの文字列のうち、同じ文字を2回使用しない文字列の数は^{[23]で与えられる[より適切な情報源が必要]}

${\displaystyle (n)_{0}+\cdots +(n)_{n}=\lfloor en!\rfloor }$

どこ：

• n > 0 はアルファベットの文字数です（例：英語では 26 ）
• 下降階乗は、 同じ文字を 2 回使用しない長さkの文字列の数を表します。${\displaystyle (n)_{k}=n(n-1)\cdots (n-k+1)}$
• n !はnの階乗を表す
• e = 2.718...はオイラー数です

n = 26の場合、1096259850353149530222034277 になります。

nを正の整数、pを正の素数とする。nを割り切るpの最大のべき乗の指数は、ルジャンドルの公式^[24]のバージョンで与えられる。

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\dots ={\frac {n-\sum _{k}a_{k}}{p-1}}}$

ここで、 はp を底とするnの書き方です。 p ^k > nのとき、床はゼロになるため、これは有限和です。 ${\textstyle n=\sum _{k}a_{k}p^{k}}$

ビーティ数列は、すべての正の無理数が、床関数を介して自然数を2つの数列に分割する方法を示しています。 ^[25]

オイラー定数γ = 0.57721 56649 ...には、例えば^[26]のように、下限と上限を含む公式がある。

${\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx,}$

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right),}$

そして

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\cdots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\cdots }$

分数部関数はリーマンゼータ関数の積分表現にも現れる。閉区間[ a , b ^]で連続導関数を持つ任意の関数が、 ${\displaystyle \varphi (x)}$

${\displaystyle \sum _{a<n\leq b}\varphi (n)=\int _{a}^{b}\varphi (x)\,dx+\int _{a}^{b}\left(\{x\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi '(x)\,dx+\left(\{a\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (a)-\left(\{b\}-{\tfrac {1}{2}}\right)\varphi (b).}$

sの実部が1より大きく、aとbが整数で、bが無限大に近づく と、${\displaystyle \varphi (n)=n^{-s}}$

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {{\frac {1}{2}}-\{x\}}{x^{s+1}}}\,dx+{\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}.}$

この式は、実部が−1より大きいすべてのsに対して有効であり（ s = 1の場合は極が存在する）、{ x }のフーリエ展開と組み合わせることで、ゼータ関数を複素平面全体に拡張し、その関数方程式を証明することができます。^[28]

臨界帯0 < σ < 1においてs = σ + itの場合、

${\displaystyle \zeta (s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\sigma \omega }(\lfloor e^{\omega }\rfloor -e^{\omega })e^{-it\omega }\,d\omega .}$

1947年にファンデルポルはこの表現を使ってゼータ関数の根を求めるアナログコンピュータを構築した。^[29]

床関数は素数を特徴付けるいくつかの式に現れる。例えば、mがnを割り切る場合、は1に等しく、そうでない場合は0に等しいので、正の整数nが素数であるのは^[30]の場合のみである。${\textstyle {\bigl \lfloor }{\frac {n}{m}}{\bigr \rfloor }-{\bigl \lfloor }{\frac {n-1}{m}}{\bigr \rfloor }}$

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left({\biggl \lfloor }{\frac {n}{m}}{\biggr \rfloor }-{\biggl \lfloor }{\frac {n-1}{m}}{\biggr \rfloor }\right)=2.}$

素数を生成する公式を与えることもできる。例えば、p _{n を}n番目の素数とし、任意の整数r  > 1 に対して、実数α を次の和で 定義する。

${\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.}$

その後^[31]

${\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .}$

同様の結果から、 θ = 1.3064...（ミルズ定数）という数値が存在し、その性質は次のようになる。

${\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots }$

はすべて素数である。^[32]

ω = 1.9287800...という数もあり、この数の性質は次のようになります。

${\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots }$

はすべて素数である。^[32]

π ( x ) をx以下の素数の個数とする。ウィルソンの定理から次のことが簡単に導かれる。^[33]

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}{\Biggl \lfloor }{\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor {\Biggr \rfloor }.}$

また、n ≥ 2の場合、^[34]

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}{\Biggl \lfloor }1\,{\bigg /}\ {\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }{\Biggr \rfloor }.}$

このセクションの公式はどれも実用的ではありません。^{[35] [36]}

ラマヌジャンはこれらの問題をインド数学会誌に提出した。^[37]

nが正の整数で ある場合、

1. ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor ,}$
2. ${\displaystyle \left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor ,}$
3. ${\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor .}$

上記の床関数の恒等式に対するいくつかの一般化が証明されている。^[38]

ウォーリング問題の研究は、未解決の問題につながりました。

6以上の正の整数kが存在するか？ ^[39]

${\displaystyle 3^{k}-2^{k}{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr \rfloor }>2^{k}-{\Bigl \lfloor }{\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}^{k}{\Bigr \rfloor }-2\ ?}$

マーラーはそのようなkは有限個しか存在できないことを証明したが、その数は知られていない。^[40]

ほとんどのプログラミング言語では、浮動小数点数を整数に変換する最も簡単な方法は切り捨てや切り上げではなく、切り捨てです。これは歴史的な理由によるもので、最初のマシンでは1 の補数を使用していたため、切り捨ての実装が簡単だったからです (切り捨ては2 の補数の方が簡単です)。FORTRANはこの動作を要求するように定義されており、そのためほぼすべてのプロセッサがこの方法で変換を実装しています。これは、負のオフセットや原点の負の側でのグラフィックスの処理にバグをもたらした、残念な歴史的設計決定であると考える人もいます。^{[引用が必要]}

符号付き整数を で算術的に右シフトすることは と同じです。2 の累乗による除算は、多くの場合、右シフトとして記述されますが、これは、想定されるような最適化のためではなく、負の結果の下限が必要なためです。このようなシフトを「時期尚早な最適化」と想定し、除算に置き換えると、ソフトウェアが壊れる可能性があります。^{[引用が必要]}${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \left\lfloor x/2^{n}\right\rfloor }$

多くのプログラミング言語（C、C++、^{[41] [42]} C#、^{[43] [44]} Java、^{[45] [46]} Julia、^[47] PHP、^{[48] [49]} R、^[50] Python ^[51]など）は、floor と ceiling の標準関数を提供しており、通常はfloorとceil、またはあまり一般的ではない と呼ばれますceiling。^[52] APL言語はfloor に を使用します⌊x。APLの後継で標準のキーボード記号を使用するように設計されたJ プログラミング言語 は<.、 floor に を、>.ceiling に を使用します。^[53] ALGOL はfloor に を使用しますentier。

Microsoft Excelでは、関数はINTゼロに向かうのではなく切り捨てます。^[54]一方FLOOR、 はゼロに向かう方向に切り捨てます。これは、他の言語の「int」と「floor」の動作とは逆です。2010年以降、FLOOR数値が負の場合にエラーに変更されました。^[55] OpenOffice.org、Libreofficeなどで使用されているOpenDocumentファイル形式^[56]は、両方とも切り捨てを行い、Excelの以前の動作を再現するための3番目の引数があります。^[57]INTFLOORFLOOR

• 括弧（数学）
• 整数値関数
• ステップ関数
• モジュロ演算

• JWS Cassels (1957)、「ディオファントス近似入門」、ケンブリッジ数学・数理物理学論文集、第45巻、ケンブリッジ大学出版局
• クランドール、リチャード、ポメランス、カール（2001）、素数：計算の観点、ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 0-387-94777-9
• グラハム、ロナルド L.; クヌース、ドナルド E.; パタシュニック、オーレン (1994)、『具体的な数学』、リーディング・マザー：アディソン・ウェズリー、ISBN 0-201-55802-5
• ハーディ、GH; ライト、EM (1980)、数論入門（第5版）、オックスフォード：オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853171-5
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• Štefan Porubský、「整数丸め関数」、アルゴリズム数学のインタラクティブ情報ポータル、チェコ科学アカデミーコンピュータサイエンス研究所、チェコ共和国プラハ、2008 年 10 月 24 日閲覧
• Weisstein、Eric W.「床関数」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「天井関数」。MathWorld。