歴史 ランベルトは1758年に、関連するランベルトの超越方程式 を初めて検討した[ 5 ]。 レオンハルト・オイラー による論文[ 2 ] w e w {\displaystyle we^{w}}
ランバートが検討した方程式は
x = x m + q 。 {\displaystyle x=x^{m}+q.} オイラーはこの方程式を次の形に変換しました。
x 1 − x b = （ 1 − b ） c x 1 + b 。 {\displaystyle x^{a}-x^{b}=(ab)cx^{a+b}.} 両著者とも、それぞれの方程式に対する級数解を導出した。
オイラーはこの方程式を解いた後、次のケースを検討した。 1 = b {\displaystyle a=b} 。
ln x = c x 1 。 {\displaystyle \ln x=cx^{a}.} 彼はその後、 1 = 1 {\displaystyle a=1} そして 。 x {\displaystyle x} 言え ば c {\displaystyle c}
に関して微分した後 x {\displaystyle x} そして
1993年にランバートが W {\displaystyle W} 二重井戸ディラックデルタ関数モデル [ 6 ] Maple コンピュータ代数システム の開発者は、「Lambert W関数は多くの分野で広く使用されていますが、表記法が異なり、標準的な名前がないため、この関数の認知度は本来あるべきほど高くありません」 [ 4 ] [ 7 ]と認識しました。
この関数が見られるもう1つの例は、ミカエリス・メンテン速度論 である。[ 8 ] 、 W {\displaystyle W} 関数 は初等関数（リウヴィル 関数）で表現できないため、最初の証明は2008年まで公表されなかった。 [ 9 ]
W 関数の値域（すべての分岐を表示）。黒色の曲線（実軸を含む）は実軸の像、オレンジ色の曲線は虚軸の像です。紫色の曲線と円は、点z = 0の周りの小さな円の像です。赤色の曲線は、点z = −1/e分岐n = −2, −1, 0, 1, 2に対する W n x + iy )複素対数 関数のプロットと類似している。 W 関数には、整数kに対して W k ( z )W 0 ( z ) が主（または主要）分岐です。W 0 ( z ) はすべての複素数zに対して定義され 、 k ≠ 0 のW k ( z ) はすべての非ゼロz に対して定義され、W 0 (0) = 0 およびリム z → 0 W k （ z ） = − ∞ 、 {\displaystyle \lim \limits _{z\to 0}W_{k}(z)=\;-\infty ,} すべてのk ≠ 0
主枝の分岐点はz = − e − 1 {\displaystyle z=-e^{-1}} − ∞ + 0 私 {\displaystyle -\infty +0i} W −1 W 1 z = 0に分岐 点 が あり、分岐切断線は慣例的に負の実軸全体に沿って取られます。
機能W k （ z ） 、 k ∈ Z {\displaystyle W_{k}(z),k\in \mathbb {Z} } 単射であり、その値域は互いに素です。多価関数 W の値域は複素平面です。実軸の像は、実軸と、パラメトリック曲線w = − t cot t + it であるHippias の四分曲線 の和集合です。
逆 複素平面上の領域で、 W n （ z e z ） = z 、 {\displaystyle \ W_{n}(z\ e^{z})=z\ ,} どこ z = x + 私 y 。 {\displaystyle \ z=x+i\ y~.} 特定の領域の暗い境界線は、 。 （ − 1 、 0 ） {\displaystyle \ (-1,\ 0)\ } n = − 1 {\displaystyle \ n=-1\ } （ 紫色 n = 0 {\displaystyle \ n=0\ } （ 。 π 。 {\displaystyle \ \pi ~.} 上記の範囲プロットは、単純な逆関係が成り立つ複素平面上の領域も示しています。 W n （ z e z ） = z {\displaystyle \ W_{n}(z\ e^{z})=z\ } です 。 f = z e z {\displaystyle \ f=z\ e^{z}\ } は、 。 n {\displaystyle \ n\ } z = W n （ f ） = W n （ z e z ） 、 {\displaystyle \ z=W_{n}(f)=W_{n}(z\ e^{z})\ ,} どこ n {\displaystyle \ n\ } z 。 {\displaystyle \ z~.}
実際の値の場合 z 、 {\displaystyle \ z\ ,} の 値 n {\displaystyle \ n\ } 突然 する z e z {\displaystyle \ z\ e^{z}\ } は、 W n （ z e z ） 、 {\displaystyle \ W_{n}(z\ e^{z})\ ,} 、 z ⋅ e z ≤ 0 {\displaystyle z\cdot e^{z}\leq 0} 、 n = 0 {\displaystyle \ n=0\ } か z ⋅ e z ≤ − 1 e {\displaystyle z\cdot e^{z}\leq {\frac {-1}{e}}}
複雑な場合 z 、 {\displaystyle \ z\ ,} する z = x + 私 y 、 {\displaystyle \ z=x+i\ y\ ,} どこ x {\displaystyle \ x\ } そして y {\displaystyle \ y\ } する e z {\displaystyle \ e^{z}\ } 。
z e z = （ x + 私 y ） e x （ コス y + 私 罪 y ） = e x （ x コス y − y 罪 y ） + 私 e x （ x 罪 y + y コス y ） {\displaystyle {\begin{aligned}z\ e^{z}&=(x+i\ y)\ e^{x}\ (\cos y+i\ \sin y)\\&=e^{x}(x\ \cos y\ -\ y\ \sin y)\ +\ i\ e^{x}(x\ \sin y\ +\ y\ \cos y)\\\end{aligned}}} のために n ≠ 0 、 {\displaystyle \ n\neq 0\ ,} は W n （ z e z ） {\displaystyle \ W_{n}(z\ e^{z})\ } は
x 罪 y + y コス y = 0 ⇒ x = − y / タン （ y ） 、 {\displaystyle x\ \sin y\ +\ y\ \cos y=0\quad \Rightarrow \quad x=-y/\tan(y)\ ,} そして
（ x コス y − y 罪 y ） e x ≤ 0 。 {\displaystyle (x\ \cos y\ -\ y\ \sin y)\ e^{x}~\leq ~0~.} のために n = 0 、 {\displaystyle \ n=0\ ,} は W n （ z e z ） {\displaystyle \ W_{n}(z\ e^{z})\ } − ∞ < z ≤ − 1 e {\displaystyle \ -\infty <z\leq {\frac {-1}{e}}}
（ x コス y − y 罪 y ） e x ≤ − 1 e {\displaystyle (x\ \cos y-y\ \sin y)\ e^{x}\leq {\frac {-1}{e}}} （ x コス y − y 罪 y ） e x + 1 ≤ − 1 。 {\displaystyle (x\ \cos y-y\ \sin y)\ e^{x+1}~\leq ~-1~.} 上記で囲まれた領域内では、不連続な変化は存在しない。 W n （ z e z ） 、 {\displaystyle \ W_{n}(z\ e^{z})\ ,} 、 W {\displaystyle \ W\ } 関数 、 W n （ z e z ） = z 。 {\displaystyle \ W_{n}(z\ e^{z})=z~.}
微積分
デリバティブ 陰関数微分 により、 Wのすべての分岐が 微分方程式 を満たすことを示すことができる。
z （ 1 + W ） d W d z = W のために z ≠ − 1 e 。 {\displaystyle z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.} ( z = − 1 / e Wは 微分可能で はありません。) その結果、W の導関数は次の式になります。
d W d z = W （ z ） z （ 1 + W （ z ） ） のために z ∉ { 0 、 − 1 e } 。 {\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad {\text{for }}z\not \in \left\{0,-{\frac {1}{e}}\right\}.} 恒等式e W ( z ) z / W ( z )
d W d z = 1 z + e W （ z ） のために z ≠ − 1 e 。 {\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.} 原点では
W 0 ′ （ 0 ） = 1. {\displaystyle W'_{0}(0)=1.} W のn階微分は次の形式である。
d n W d z n = P n （ W （ z ） ） （ z + e W （ z ） ） n （ W （ z ） + 1 ） n − 1 のために n > 0 、 z ≠ − 1 e 。 {\displaystyle {\frac {d^{n}W}{dz^{n}}}={\frac {P_{n}(W(z))}{(z+e^{W(z)})^{n}(W(z)+1)^{n-1}}}\quad {\text{for }}n>0,\,z\neq -{\frac {1}{e}}.} ここで、P n はA042977 で定義された係数を持つ多項式関数です。zが P n ze z はW の n 階導関数の根となります。
W のn階微分をさらに微分すると、次のようになる。
d n + 1 W d z n + 1 = （ W （ z ） + 1 ） P n ′ （ W （ z ） ） + （ 1 − 3 n − n W （ z ） ） P n （ W （ z ） ） （ z + e W （ z ） ） n + 1 （ W （ z ） + 1 ） n のために n > 0 、 z ≠ − 1 e 。 {\displaystyle {\frac {d^{n+1}W}{dz^{n+1}}}={\frac {(W(z)+1)P_{n}'(W(z))+(1-3n-nW(z))P_{n}(W(z))}{(z+e^{W(z)})^{n+1}(W(z)+1)^{n}}}\quad {\text{for }}n>0,\,z\neq -{\frac {1}{e}}.} n階微分方程式を帰納的に証明する。
積分 関数W ( x )W ( x )を含む他の多くの式は、置換 w = W ( x ) 、つまりx = we w 積分 できます。
∫ W （ x ） d x = x W （ x ） − x + e W （ x ） + C = x （ W （ x ） − 1 + 1 W （ x ） ） + C 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x)\,dx&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\&=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.\end{aligned}}} （最後の式は文献ではより一般的ですが、x = 0では定義されていません。）このことから（ W 0 ( e ) = 1
∫ 0 e W 0 （ x ） d x = e − 1. {\displaystyle \int _{0}^{e}W_{0}(x)\,dx=e-1.}
漸近展開 ラグランジュの反転定理 により、主枝のテイラー級数は W 0 （ x ） {\displaystyle W_{0}(x)} x = 0 {\displaystyle x=0}
W 0 （ x ） = ∑ n = 1 ∞ （ − n ） n − 1 n ! x n = x − x 2 + 3 2 x 3 − 16 6 x 4 + 125 24 x 5 − ⋯ 。 {\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}=x-x^{2}+{\tfrac {3}{2}}x^{3}-{\tfrac {16}{6}}x^{4}+{\tfrac {125}{24}}x^{5}-\cdots .} 収束 半径は1 / e {\displaystyle 1/e} 比率判定 により、級数で定義される関数は、区間 に沿った分岐切断 を除くすべての複素数で定義される正則関数に拡張できる。 （ − ∞ 、 − 1 / e ] {\displaystyle (-\infty ,-1/e]}
大きな値の場合x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } W 0 （ x ） {\displaystyle W_{0}(x)}
W 0 （ x ） = L 1 − L 2 + L 2 L 1 + L 2 （ − 2 + L 2 ） 2 L 1 2 + L 2 （ 6 − 9 L 2 + 2 L 2 2 ） 6 L 1 3 + L 2 （ − 12 + 36 L 2 − 22 L 2 2 + 3 L 2 3 ） 12 L 1 4 + ⋯ = L 1 − L 2 + ∑ ℓ = 1 ∞ 1 L 1 ℓ ∑ m = 1 ℓ （ − 1 ） ℓ − m [ ℓ ℓ − m + 1 ] m ! L 2 m 、 {\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(x)&=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}\left(-2+L_{2}\right)}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}\left(6-9L_{2}+2L_{2}^{2}\right)}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}\left(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3}\right)}{12L_{1}^{4}}}+\cdots \\[5pt]&=L_{1}-L_{2}+\sum _{\ell =1}^{\infty }{\frac {1}{L_{1}^{\ell }}}\sum _{m=1}^{\ell }{\frac {(-1)^{\ell -m}\left[{\ell \atop \ell -m+1}\right]}{m!}}L_{2}^{m},\end{aligned}}} ここで、L 1 = ln x L 2 = ln ln x [ n k ] 第 1 種スターリング数 である。[ 4 ]
W 0 （ x ） = ln x − ln ln x + o （ 1 ） 。 {\displaystyle W_{0}(x)=\ln x-\ln \ln x+{\mathcal {o}}(1).} もう一方の実数分岐W −1 [ − 1 / e x がゼロに近づくと、同じ形式の近似値が得られます。この場合、L 1 = ln(− x )L 2 = ln(−ln(− x ))[ 4 ]
整数と複素数のべき乗 W 0 テイラー級数 （またはローラン級数）展開が可能である。
W 0 （ x ） 2 = ∑ n = 2 ∞ − 2 （ − n ） n − 3 （ n − 2 ） ! x n = x 2 − 2 x 3 + 4 x 4 − 25 3 x 5 + 18 x 6 − ⋯ 。 {\displaystyle W_{0}(x)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {-2\left(-n\right)^{n-3}}{(n-2)!}}x^{n}=x^{2}-2x^{3}+4x^{4}-{\tfrac {25}{3}}x^{5}+18x^{6}-\cdots .} より一般的には、r ∈ Z ラグランジュ反転公式は 次のようになる。
W 0 （ x ） r = ∑ n = r ∞ − r （ − n ） n − r − 1 （ n − r ） ! x n 、 {\displaystyle W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r\left(-n\right)^{n-r-1}}{(n-r)!}}x^{n},} これは一般に、次数rのローラン級数である。同様に、後者は W 0 ( x ) / x
（ W 0 （ x ） x ） r = e − r W 0 （ x ） = ∑ n = 0 ∞ r （ n + r ） n − 1 n ! （ − x ） n 、 {\displaystyle \left({\frac {W_{0}(x)}{x}}\right)^{r}=e^{-rW_{0}(x)}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r\left(n+r\right)^{n-1}}{n!}}\left(-x\right)^{n},} これは、 任意のr ∈ C | x | < 1 / e 。
境界と不等式 ランベルト関数については、漸近的ではないいくつかの境界値が知られている。
二次支店 分岐W −1 [ 13 ]
− 1 − 2 u − u < W − 1 （ − e − u − 1 ） < − 1 − 2 u − 2 3 u のために u > 0. {\displaystyle -1-{\sqrt {2u}}-u<W_{-1}\left(-e^{-u-1}\right)<-1-{\sqrt {2u}}-{\tfrac {2}{3}}u\quad {\text{for }}u>0.}
アイデンティティ W j xe x j = 0j = −1W j xe x x 積対数ランベルトW W2 ( z )−2−2iから2 +2i まで 。 定義からいくつかの恒等式が導き出される。
W 0 （ x e x ） = x のために x ≥ − 1 、 W − 1 （ x e x ） = x のために x ≤ − 1. {\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\geq -1,\\W_{-1}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\leq -1.\end{aligned}}} f ( x ) = xe x は単射 ではないため、逆三角関数 と同様に、W ( f ( x )) = x x < 0 およびx ≠ −1 に対して、方程式xe x = ye y はy に関して 2 つの実数解を持ち、そのうちの 1 つはもちろんy = x i = 0 およびx < −1 の場合、およびi = −1 およびx ∈ (−1, 0) の場合、y = W i ( xe x ) がもう 1 つの解です。
その他のアイデンティティ: [ 14 ]
W （ x ） e W （ x ） = x 、 したがって： e W （ x ） = x W （ x ） 、 e − W （ x ） = W （ x ） x 、 e n W （ x ） = （ x W （ x ） ） n 。 {\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)e^{W(x)}=x,\quad {\text{therefore:}}\\[5pt]&e^{W(x)}={\frac {x}{W(x)}},\qquad e^{-W(x)}={\frac {W(x)}{x}},\qquad e^{nW(x)}=\left({\frac {x}{W(x)}}\right)^{n}.\end{aligned}}} ln W 0 （ x ） = ln x − W 0 （ x ） のために x > 0. {\displaystyle \ln W_{0}(x)=\ln x-W_{0}(x)\quad {\text{for }}x>0.} [ 15 ] W 0 （ x ln x ） = ln x そして e W 0 （ x ln x ） = x のために 1 e ≤ x 。 {\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{0}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}{\frac {1}{e}}\leq x.} W − 1 （ x ln x ） = ln x そして e W − 1 （ x ln x ） = x のために 0 < x ≤ 1 e 。 {\displaystyle W_{-1}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{-1}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}0<x\leq {\frac {1}{e}}.} W （ x ） = ln x W （ x ） のために x ≥ − 1 e 、 W （ n x n W （ x ） n − 1 ） = n W （ x ） のために n 、 x > 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)=\ln {\frac {x}{W(x)}}&&{\text{for }}x\geq -{\frac {1}{e}},\\[5pt]&W\left({\frac {nx^{n}}{W\left(x\right)^{n-1}}}\right)=nW(x)&&{\text{for }}n,x>0\end{aligned}}} （適切な分岐を選択すれば、他のn とx にも拡張できる。） W （ x ） + W （ y ） = W （ x y （ 1 W （ x ） + 1 W （ y ） ） ） のために x 、 y > 0. {\displaystyle W(x)+W(y)=W\left(xy\left({\frac {1}{W(x)}}+{\frac {1}{W(y)}}\right)\right)\quad {\text{for }}x,y>0.} 定義に−ln x を代入すると： [ 16 ]
W 0 （ − ln x x ） = − ln x のために 0 < x ≤ e 、 W − 1 （ − ln x x ） = − ln x のために x > e 。 {\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}0&<x\leq e,\\[5pt]W_{-1}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}x&>e.\end{aligned}}} オイラーの反復指数関数h ( x )
h （ x ） = e − W （ − ln x ） = W （ − ln x ） − ln x のために x ≠ 1. {\displaystyle {\begin{aligned}h(x)&=e^{-W(-\ln x)}\\&={\frac {W(-\ln x)}{-\ln x}}\quad {\text{for }}x\neq 1.\end{aligned}}} ∀ c ∈ [ − 1 e 、 0 ） 、 させて t = W − 1 （ c ） W 0 （ c ） ≥ 1 ⟹ W 0 （ c ） = ln t 1 − t 、 W − 1 （ c ） = t ln t 1 − t {\displaystyle \forall c\in \left[-{\frac {1}{e}},0\right),{\text{let }}t={\frac {W_{-1}(c)}{W_{0}(c)}}\geq 1\implies W_{0}(c)={\frac {\ln t}{1-t}},W_{-1}(c)={\frac {t\ln t}{1-t}}}
表現 ランベルト関数の主枝は、ポアソンにより適切な積分で表すことができる。[ 20 ]
− π 2 W 0 （ − x ） = ∫ 0 π 罪 （ 3 2 t ） − x e コス t 罪 （ 5 2 t − 罪 t ） 1 − 2 x e コス t コス （ t − 罪 t ） + x 2 e 2 コス t 罪 （ 1 2 t ） d t のために | x | < 1 e 。 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}W_{0}(-x)=\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)-xe^{\cos t}\sin \left({\tfrac {5}{2}}t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^{2}e^{2\cos t}}}\sin \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\,dt\quad {\text{for }}|x|<{\frac {1}{e}}.} 主枝の別の表現はカルギン-ジェフリー-コーレスによって発見された。[ 21 ]
W 0 （ x ） = 1 π ∫ 0 π ln （ 1 + x 罪 t t e t ベビーベッド t ） d t 。 {\displaystyle W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\ln \left(1+x{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt.} 以下の連分数 表現は主枝にも当てはまります。[ 22 ]
W 0 （ x ） = x 1 + x 1 + x 2 + 5 x 3 + 17 x 10 + 133 x 17 + 1927 x 190 + 13582711 x 94423 + ⋱ 。 {\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2+{\cfrac {5x}{3+{\cfrac {17x}{10+{\cfrac {133x}{17+{\cfrac {1927x}{190+{\cfrac {13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.} また、| W 0 ( x ) | < 1 の[ 23 ]
W 0 （ x ） = x exp x exp x ⋱ 。 {\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.} 逆に、| W 0 ( x ) | > 1
W 0 （ x ） = ln x ln x ln x ⋱ 。 {\displaystyle W_{0}(x)=\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}
定積分 W 関数の主枝を含む、いくつかの有用な定積分公式があり、以下はその例である。
∫ 0 π W 0 （ 2 ベビーベッド 2 x ） 秒 2 x d x = 4 π 、 ∫ 0 ∞ W 0 （ x ） x x d x = 2 2 π 、 ∫ 0 ∞ W 0 （ 1 x 2 ） d x = 2 π 、 そしてより一般的には ∫ 0 ∞ W 0 （ 1 x N ） d x = N 1 − 1 N Γ （ 1 − 1 N ） のために N > 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\pi }W_{0}\left(2\cot ^{2}x\right)\sec ^{2}x\,dx=4{\sqrt {\pi }},\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx=2{\sqrt {2\pi }},\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\,dx={\sqrt {2\pi }},{\text{ and more generally}}\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{N}}}\right)\,dx=N^{1-{\frac {1}{N}}}\Gamma \left(1-{\frac {1}{N}}\right)\qquad {\text{for }}N>1\end{aligned}}} どこΓ {\displaystyle \Gamma } はガンマ関数 を表します。
最初の恒等式は、ガウス積分を 極座標 で表すことで得られます。
2番目の恒等式は、置換u = W 0 ( x )
x = u e u 、 d x d u = （ u + 1 ） e u 。 {\displaystyle {\begin{aligned}x&=ue^{u},\\[5pt]{\frac {dx}{du}}&=(u+1)e^{u}.\end{aligned}}} したがって
∫ 0 ∞ W 0 （ x ） x x d x = ∫ 0 ∞ u u e u u e u （ u + 1 ） e u d u = ∫ 0 ∞ u + 1 u e u d u = ∫ 0 ∞ u + 1 u 1 e u d u = ∫ 0 ∞ u 1 2 e − u 2 d u + ∫ 0 ∞ u − 1 2 e − u 2 d u = 2 ∫ 0 ∞ （ 2 w ） 1 2 e − w d w + 2 ∫ 0 ∞ （ 2 w ） − 1 2 e − w d w （ u = 2 w ） = 2 2 ∫ 0 ∞ w 1 2 e − w d w + 2 ∫ 0 ∞ w − 1 2 e − w d w = 2 2 ⋅ Γ （ 3 2 ） + 2 ⋅ Γ （ 1 2 ） = 2 2 （ 1 2 π ） + 2 （ π ） = 2 2 π 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}du\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\right)+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {\pi }}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}} 3 番目の恒等式は、置換u = x −2 z = 1 / √ 2 x u = 1 x N {\displaystyle u={\frac {1}{x^{N}}}} t = W 0 （ u ） {\displaystyle t=W_{0}(u)} z = t N {\displaystyle z={\frac {t}{N}}}
分岐切断線に沿ったz (−∞, − 1 / e ] (積分が収束しない)を除いて、ランベルトW 関数の主分岐は次の積分によって計算できます。[ 24 ]
W 0 （ z ） = z 2 π ∫ − π π （ 1 − ν ベビーベッド ν ） 2 + ν 2 z + ν csc （ ν ） e − ν ベビーベッド ν d ν = z π ∫ 0 π （ 1 − ν ベビーベッド ν ） 2 + ν 2 z + ν csc （ ν ） e − ν ベビーベッド ν d ν 、 {\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(z)&={\frac {z}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \left(\nu \right)e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu \\[5pt]&={\frac {z}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \left(\nu \right)e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu ,\end{aligned}}} ここで、被積分関数の対称性により、2つの積分式は等価である。
不定積分 ∫ W （ x ） x d x = W （ x ） 2 2 + W （ x ） + C {\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}
2回目の校正 W （ x ） e W （ x ） = x → W （ x ） x = e − W （ x ） {\displaystyle W(x)e^{W(x)}=x\rightarrow {\frac {W(x)}{x}}=e^{-W(x)}}
∫ W （ x ） x d x = ∫ e − W （ x ） d x {\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int e^{-W(x)}\,dx}
u = W （ x ） → u e u = x d d u u e u = （ u + 1 ） e u {\displaystyle u=W(x)\rightarrow ue^{u}=x\;\;\;\;{\frac {d}{\,du}}ue^{u}=\left(u+1\right)e^{u}} ∫ W （ x ） x d x = ∫ e − u （ u + 1 ） e u d u {\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int e^{-u}(u+1)e^{u}\,du}
∫ W （ x ） x d x = ∫ e − u （ u + 1 ） e u d u {\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\cancel {\color {OliveGreen}{e^{-u}}}}\left(u+1\right){\cancel {\color {OliveGreen}{e^{u}}}}\,du}
∫ W （ x ） x d x = ∫ （ u + 1 ） d u {\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int (u+1)\,du}
∫ W （ x ） x d x = u 2 2 + u + C {\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {u^{2}}{2}}+u+C}
u = W （ x ） {\displaystyle u=W(x)} ∫ W （ x ） x d x = W （ x ） 2 2 + W （ x ） + C {\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}
∫ W （ A e B x ） d x = W （ A e B x ） 2 2 B + W （ A e B x ） B + C {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C}
証拠 ∫ W （ A e B x ） d x = ∫ W （ A e B x ） d x {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx}
u = B x → u B = x d d u u B = 1 B {\displaystyle u=Bx\rightarrow {\frac {u}{B}}=x\;\;\;\;{\frac {d}{du}}{\frac {u}{B}}={\frac {1}{B}}} ∫ W （ A e B x ） d x = ∫ W （ A e u ） 1 B d u {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{u}\right){\frac {1}{B}}du}
v = e u → ln （ v ） = u d d v ln （ v ） = 1 v {\displaystyle v=e^{u}\rightarrow \ln \left(v\right)=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}\ln \left(v\right)={\frac {1}{v}}} ∫ W （ A e B x ） d x = 1 B ∫ W （ A v ） v d v {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {W\left(Av\right)}{v}}dv}
w = A v → w A = v d d w w A = 1 A {\displaystyle w=Av\rightarrow {\frac {w}{A}}=v\;\;\;\;{\frac {d}{dw}}{\frac {w}{A}}={\frac {1}{A}}} ∫ W （ A e B x ） d x = 1 B ∫ A W （ w ） w 1 A d w {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {{\cancel {\color {OliveGreen}{A}}}W(w)}{w}}{\cancel {\color {OliveGreen}{\frac {1}{A}}}}dw}
t = W （ w ） → t e t = w d d t t e t = （ t + 1 ） e t {\displaystyle t=W\left(w\right)\rightarrow te^{t}=w\;\;\;\;{\frac {d}{dt}}te^{t}=\left(t+1\right)e^{t}} ∫ W （ A e B x ） d x = 1 B ∫ t t e t （ t + 1 ） e t d t {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {t}{te^{t}}}\left(t+1\right)e^{t}dt}
∫ W （ A e B x ） d x = 1 B ∫ t t e t （ t + 1 ） e t d t {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{{\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}}}\left(t+1\right){\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}dt}
∫ W （ A e B x ） d x = 1 B ∫ （ t + 1 ） d t {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int (t+1)dt}
∫ W （ A e B x ） d x = t 2 2 B + t B + C {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {t^{2}}{2B}}+{\frac {t}{B}}+C}
t = W （ w ） {\displaystyle t=W\left(w\right)} ∫ W （ A e B x ） d x = W （ w ） 2 2 B + W （ w ） B + C {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(w\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(w\right)}{B}}+C}
w = A v {\displaystyle w=Av} ∫ W （ A e B x ） d x = W （ A v ） 2 2 B + W （ A v ） B + C {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Av\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Av\right)}{B}}+C}
v = e u {\displaystyle v=e^{u}} ∫ W （ A e B x ） d x = W （ A e u ） 2 2 B + W （ A e u ） B + C {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{u}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{u}\right)}{B}}+C}
u = B x {\displaystyle u=Bx} ∫ W （ A e B x ） d x = W （ A e B x ） 2 2 B + W （ A e B x ） B + C {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C}
∫ W （ x ） x 2 d x = エイ （ − W （ x ） ） − e − W （ x ） + C {\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C}
アプリケーション
方程式を解く
線形関数と指数関数 ランベルトW 関数は、未知数が底と指数、あるいは対数の内側と外側の両方に含まれる方程式を解くために使用されます。その方法は、そのような方程式をze z w の形式に変換し、 W 関数を用いてz を 求めることです。
例えば、方程式
2 x + 2 = 3 x {\displaystyle 2x+2=3^{x}} ( x は未知の実数 )は次のように書き換えることで解くことができる。
（ x + 1 ） 3 − x = 1 2 （ を掛ける 3 − x / 2 ） ⇔ （ − x − 1 ） 3 − x − 1 = − 1 6 （ を掛ける − 1 / 3 ） ⇔ （ ln 3 ） （ − x − 1 ） e （ ln 3 ） （ − x − 1 ） = − ln 3 6 （ を掛ける ln 3 ） {\displaystyle {\begin{aligned}&(x+1)\ 3^{-x}={\frac {1}{2}}&({\mbox{multiply by }}3^{-x}/2)\\\Leftrightarrow \ &(-x-1)\ 3^{-x-1}=-{\frac {1}{6}}&({\mbox{multiply by }}{-}1/3)\\\Leftrightarrow \ &(\ln 3)(-x-1)\ e^{(\ln 3)(-x-1)}=-{\frac {\ln 3}{6}}&({\mbox{multiply by }}\ln 3)\end{aligned}}} この最後の式は望ましい形式であり、実数x に対する解は次のようになります。
（ ln 3 ） （ − x − 1 ） = W 0 （ − ln 3 6 ） または （ ln 3 ） （ − x − 1 ） = W − 1 （ − ln 3 6 ） {\displaystyle (\ln 3)(-x-1)=W_{0}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)\ \ \ {\textrm {or}}\ \ \ (\ln 3)(-x-1)=W_{-1}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)} そしてこうして：
x = − 1 − W 0 （ − ln 3 6 ） ln 3 = − 0.79011 … または x = − 1 − W − 1 （ − ln 3 6 ） ln 3 = 1.44456 … {\displaystyle x=-1-{\frac {W_{0}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=-0.79011\ldots \ \ {\textrm {or}}\ \ x=-1-{\frac {W_{-1}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=1.44456\ldots } 一般的に、
x = 1 + b e c x {\displaystyle x=a+b\,e^{cx}} は：
x = 1 − 1 c W （ − b c e 1 c ） {\displaystyle x=a-{\frac {1}{c}}W(-bc\,e^{ac})} ここで、 a 、b 、c は複素定数であり、b とcは ゼロではなく、W 関数は任意の整数次数を持つ。
同様に、
1 x + b = e c x {\displaystyle a\,x+b=e^{cx}} 次のように推測できる。
x = − b 1 − 1 c W （ − c 1 exp （ − b c 1 ） ） {\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}-{\frac {1}{c}}\,W\left(-{\frac {c}{a}}\,\exp \left(-{\frac {bc}{a}}\right)\right)} ここで、a とcは ゼロ以外でなければならず、その他のドメインとW ブランチの考慮事項が必要です。[ 25 ] [ 4 ]
スーパールート いわゆる「2年生の夢」 という話題とともに、テトレーション関数 f （ x ） = x x {\displaystyle f(x)=x^{x}}
x x = y {\displaystyle x^{x}=y} べき乗の法則は次の式を与える。
exp [ x ln （ x ） ] = y {\displaystyle \exp[x\ln(x)]=y} その自然対数を取ると次のようになる。
x ln （ x ） = ln （ y ） {\displaystyle x\ln(x)=\ln(y)} ランベルトW関数が現在使用されています。
ln （ x ） = W 0 [ ln （ y ） ] {\displaystyle \ln(x)=W_{0}[\ln(y)]} そして最終段階では、最後から2番目の式を最後の式で割ります。
x = ln （ y ） W 0 [ ln （ y ） ] {\displaystyle x={\frac {\ln(y)}{W_{0}[\ln(y)]}}} 計算例を以下に示します。
x x = 2 {\displaystyle x^{x}=2} x = ln （ 2 ） ÷ W 0 [ ln （ 2 ） ] ≈ 1.559610469462369349970388768765 {\displaystyle x=\ln(2)\div W_{0}[\ln(2)]\approx 1.559610469462369349970388768765}
木の数え上げと組み合わせ論 ケイリーの公式によれば、 n 個の ラベル付き頂点を持つ木 グラフの数はn n − 2 {\displaystyle n^{n-2}} n n − 1 {\displaystyle n^{n-1}} 指数母関数は次 のとおりです。
T （ x ） = ∑ n = 0 ∞ n n − 1 n ! x n 。 {\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{n-1}}{n!}}x^{n}.}
根付き木のクラスには自然再帰性があります。根付き木は、より小さな根付き木の集合に接続された根頂点と等価です。ラベル付き組み合わせクラスの指数公式 [ 26 ]
T （ x ） = x e T （ x ） 、 {\displaystyle T(x)=xe^{T(x)},}
これは、− T （ − x ） e − T （ − x ） = x {\displaystyle -T(-x)e^{-T(-x)}=x}
W 0 （ x ） = − T （ − x ） {\displaystyle W_{0}(x)=-T(-x)}
議論を逆転させると、マクローリン級数 はW 0 （ x ） {\displaystyle W_{0}(x)} x = 0 {\displaystyle x=0} ラグランジュの反転定理 を用いて直接求めることができる。
W 0 （ x ） = ∑ n = 1 ∞ （ − n ） n − 1 n ! x n 、 {\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n},} そして、これはケイリーの公式の標準的な解析的証明 を与える。しかし、マクローリン級数の収束半径は| x | < 1 / e {\displaystyle |x|<1/e} x = − 1 / e {\displaystyle x=-1/e}
非粘性流 異常な加速進行 波 仮説 を適用すると、 ρ （ η ） = ρ （ x − 1 t 2 2 ） {\displaystyle \rho (\eta )=\rho {\big (}x-{\frac {at^{2}}{2}}{\big )}} ρ {\displaystyle \rho } η {\displaystyle \eta } オイラー方程式 の流体密度は W関数を用いて与えることができる。[ 27 ]
粘性流 自然現象や実験室実験における粒状流や土石流の 先端部や堆積物、粘性流体の先端部は、ランベルト・オイラーのオメガ関数を用いて次のように記述できる。
H （ x ） = 1 + W （ （ H （ 0 ） − 1 ） e （ H （ 0 ） − 1 ） − x L ） 、 {\displaystyle H(x)=1+W\left((H(0)-1)e^{(H(0)-1)-{\frac {x}{L}}}\right),} ここで、H ( x )x は水路の下流位置、L は流れ、流高、水圧勾配のいくつかの物理的および幾何学的パラメータから構成される統一モデルパラメータです。
管内流 では、ランベルトW関数は、ダルシー摩擦係数 を求めるためのコールブルック方程式の明示的な定式化の一部です。この係数は、流れが 乱流 の場合の直線管を通る圧力降下を決定するために使用されます。[ 28 ]
単純な分岐水力システムにおける時間依存の流れ ランベルトW関数の主要な部分は、 機械工学 の分野で、遠心ポンプを使用して自由表面 レベルが変化する2つのリザーバー間でニュートン流体 の時間依存的な移送を研究する際に用いられます。 [ 29 ] W 関数は、層流および乱流の両方の領域における流体の流量の正確な解を提供します。 Q ターボ = Q 私 ζ 私 W 0 [ ζ 私 e （ ζ 私 + β t / b ） ] Q ラム = Q 私 ξ 私 W 0 [ ξ 私 e （ ξ 私 + β t / （ b − Γ 1 ） ） ] {\displaystyle {\begin{aligned}Q_{\text{turb}}&={\frac {Q_{i}}{\zeta _{i}}}W_{0}\left[\zeta _{i}\,e^{(\zeta _{i}+\beta t/b)}\right]\\Q_{\text{lam}}&={\frac {Q_{i}}{\xi _{i}}}W_{0}\left[\xi _{i}\,e^{\left(\xi _{i}+\beta t/(b-\Gamma _{1})\right)}\right]\end{aligned}}} Q 私 {\displaystyle Q_{i}} t {\displaystyle t}
神経画像 ランバートW関数は、脳 ボクセル 内の脳血流と酸素消費量の変化を、対応する血液酸素化レベル依存性（BOLD）信号にリンクするために、神経画像分野で使用されています。 [ 30 ]
化学工学 ランベルトW 関数は、電気化学エネルギー貯蔵用のガラス状炭素 ベースのスーパーキャパシタ における多孔質電極膜の厚さをモデル化するために化学工学の分野で使用されています。ランベルトW 関数は、炭素膜の成長と、その膜の燃焼が互いに競合する気相熱活性化プロセスの正確な解を提供します。[ 31 ] [ 32 ]
結晶成長 結晶成長 において、ランベルトW関数の負の原理を用いて分配係数を計算することができる。k {\textstyle k} C L {\textstyle C_{L}} [ 33 ] [ 34 ] シャイル方程式 より：
k = W 0 （ Z ） ln （ 1 − f s ） C L = C 0 （ 1 − f s ） e W 0 （ Z ） Z = C S C 0 （ 1 − f s ） ln （ 1 − f s ） {\displaystyle {\begin{aligned}&k={\frac {W_{0}(Z)}{\ln(1-fs)}}\\&C_{L}={\frac {C_{0}}{(1-fs)}}e^{W_{0}(Z)}\\&Z={\frac {C_{S}}{C_{0}}}(1-fs)\ln(1-fs)\end{aligned}}}
半導体デバイス W関数はダイオードにおける電圧、電流、抵抗の関係を表すことが示された。[ 36 ]
直列抵抗と並列抵抗の両方を持つダイオードの回路モデルにおいて、端子の電流と電圧を互いの明示的な関数として解析的に正確に解くためにランベルトW 関数を使用する方法は、2000年に初めて報告された。[ 37 ]
ランバートW 関数は、非ドープチャネルの表面電位を明示的に記述するための有用な数学的ツールとして、2003年にMOSFETのコンパクトモデリングに導入されました。[ 38 ]
寄生直列抵抗と並列抵抗を持つ、光照射された太陽光発電セル単一ダイオードモデルのランベルトW関数に基づく明示的な解析解は2004年に発表された。 [ 39 ]
ランベルトW 関数は、多孔質媒体内の流体流れの分野で、一定の傾斜と厚さを持つ均質な傾斜多孔質層において、重力によって分離された 2 つの流体を隔てる界面の傾斜をモデル化するために使用されています。この多孔質層では、下端から注入された重い流体が、上端から同じ速度で生成される軽い流体を押し出します。解の主分岐は安定した変位に対応し、−1 分岐は、重い流体が軽い流体の下を流れる不安定な変位に適用されます。[ 40 ]
ベルヌーイ数とトッド種数 方程式（ベルヌーイ数 とトッド種数 の母関数に関連するもの）：
Y = X 1 − e X {\displaystyle Y={\frac {X}{1-e^{X}}}} 2つの実数分岐W 0 W −1
X （ Y ） = { W − 1 （ Y e Y ） − W 0 （ Y e Y ） = Y − W 0 （ Y e Y ） のために Y < − 1 、 W 0 （ Y e Y ） − W − 1 （ Y e Y ） = Y − W − 1 （ Y e Y ） のために − 1 < Y < 0. {\displaystyle X(Y)={\begin{cases}W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}Y<-1,\\W_{0}\left(Ye^{Y}\right)-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}-1<Y<0.\end{cases}}} この応用例は、 W 関数の分岐差が他の超越方程式を解くために利用できることを示している。[ 41 ]
感染症検査のプール 少なくとも1人が感染するように検査をプールする最適なグループサイズを求めるには、ランバートW [ 44 ] [ 45 ]
ランベルトW 関数は量子力学的ポテンシャルに現れ、調和振動子 ＋遠心力、クーロン＋逆二乗、モース、逆平方根ポテンシャル に加えて、合流型超幾何関数を用いて定常一次元シュレーディンガー方程式の5番目の厳密解を与える。 ポテンシャル は次のように与えられる。
V = V 0 1 + W （ e − x σ ） 。 {\displaystyle V={\frac {V_{0}}{1+W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right)}}.} この解の特徴は、シュレーディンガー方程式の一般解を構成する2つの基本解のそれぞれが、 [ 46 ]
z = W （ e − x σ ） 。 {\displaystyle z=W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right).} ランベルトW関数は、 二重デルタポテンシャル を持つ一次元シュレーディンガー方程式の束縛状態 エネルギーの厳密解にも現れる。
QCD結合定数の厳密解 量子色力学 、強い相互作用 の量子場理論 では、結合定数 α s {\displaystyle \alpha _{\text{s}}} ファインマン図 に対応します。[ 47 ] n = 1n > 1反復法 を使用して近似解を求めます。ただし、2 次、n = 2[ 47 ]
デルタ殻ポテンシャルの共鳴 デルタシェルポテンシャルのs波共鳴は、ランベルトW 関数を用いて正確に記述することができる。[ 48 ]
熱力学的平衡 反応物と生成物の熱容量 が温度に対して一定である場合、平衡定数K は次の式に従います。
ln K = 1 T + b + c ln T {\displaystyle \ln K={\frac {a}{T}}+b+c\ln T} 定数a 、b 、cについて 。c ( Δ C p / R に等しい 、 T の値は次のようにK が与えられた値に等しいときに見つけることができます。ここで、 L は ln T
− 1 = （ b − ln K ） T + c T ln T = （ b − ln K ） e L + c L e L − 1 c = （ b − ln K c + L ） e L − 1 c e b − ln K c = （ L + b − ln K c ） e L + b − ln K c L = W （ − 1 c e b − ln K c ） + ln K − b c T = exp （ W （ − 1 c e b − ln K c ） + ln K − b c ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}-a&=(b-\ln K)T+cT\ln T\\&=(b-\ln K)e^{L}+cLe^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}&=\left({\frac {b-\ln K}{c}}+L\right)e^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}&=\left(L+{\frac {b-\ln K}{c}}\right)e^{L+{\frac {b-\ln K}{c}}}\\[5pt]L&=W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\\[5pt]T&=\exp \left(W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\right).\end{aligned}}} a とcの 符号が同じ場合、解は2つ存在するか、存在しないかのどちらかです（ W の引数がちょうど− 1 / e の場合は1つ）。（上の解は関係ないかもしれません。）符号が反対の場合は、解は1つです。
疫学 SIRモデル のt →∞W 関数で解ける。[ 53 ]
発射体の飛行時間の測定 速度に比例する空気抵抗を受ける発射体の全飛行時間は、ランベルトW 求めることができる 。[ 54 ]
電磁表面波の伝播 円筒形の金属線を伝搬する電磁軸対称表面波（低減衰の単一TM01モード）の伝搬波数を決定する際に現れる超越方程式は、u ln u = v u とvは 問題の幾何学的因子と物理的因子をまとめたもの）を生じ、これはランベルトW 関数によって解かれる。この問題に対する最初の解法は、1898年頃のゾンマーフェルトによるもので、すでにランベルト W 関数の値を決定する反復法が含まれていた。[ 55 ]
一般化 標準ランベルトW 関数は、次の形式の超越代数 方程式（x に関する）の厳密解を表します。
ここで、a 0 c 、r は実定数である。上記の線形関数と指数関数の交点の一般解 によれば、[ 25 ] [ 4 ] x = r + 1 c W （ c e − c r 1 0 ） 。 {\displaystyle x=r+{\frac {1}{c}}W\left({\frac {c\,e^{-cr}}{a_{0}}}\right).} W 関数[ 56 ] [ 57 ] [ 58 ]
ランベルトW関数の基本的な物理問題への応用は、( 1 原子、分子、光学の 分野で最近見られるように、尽きることがない。[ 62 ]
プロット 複素平面上におけるランベルトW関数のプロット z = Re( W 0 ( x + iy ))
z = Im( W 0 ( x + iy ))
z = | W 0 ( x + iy ) |
前述の3つのグラフの重ね合わせ
数値評価 W 関数はニュートン法 を用いて近似することができ、 w = W ( z )z = we w
w j + 1 = w j − w j e w j − z w j e w j + e w j 。 {\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{w_{j}e^{w_{j}}+e^{w_{j}}}}.} ハレーの方法 を用いると、より速い収束が得られる可能性がある。
w j + 1 = w j − w j e w j − z w j e w j + e w j − （ w j + 2 ） （ w j e w j − z ） 2 w j + 2 {\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{w_{j}e^{w_{j}}+e^{w_{j}}-{\dfrac {\left(w_{j}+2\right)\left(w_{j}e^{w_{j}}-z\right)}{2w_{j}+2}}}}} Corless et al. [ 4 ]
実際にx ≥ − 1 / e {\displaystyle x\geq -1/e} [ 11 ]
w n + 1 （ x ） = w n （ x ） 1 + w n （ x ） （ 1 + ログ （ x w n （ x ） ） ） 。 {\displaystyle w_{n+1}(x)={\frac {w_{n}(x)}{1+w_{n}(x)}}\left(1+\log \left({\frac {x}{w_{n}(x)}}\right)\right).} Lajos Lóczi は[ 63 ] w 0 （ x ） {\displaystyle w_{0}(x)}
本店向けW 0 : {\displaystyle W_{0}:} もしx ∈ （ e 、 ∞ ） {\displaystyle x\in (e,\infty )} w 0 （ x ） = ログ （ x ） − ログ （ ログ （ x ） ） 、 {\displaystyle w_{0}(x)=\log(x)-\log(\log(x)),} もしx ∈ （ 0 、 e ） : {\displaystyle x\in (0,e):} w 0 （ x ） = x / e 、 {\displaystyle w_{0}(x)=x/e,} もしx ∈ （ − 1 / e 、 0 ） : {\displaystyle x\in (-1/e,0):} w 0 （ x ） = e x ログ （ 1 + 1 + e x ） 1 + e x + 1 + e x 、 {\displaystyle w_{0}(x)={\frac {ex\log(1+{\sqrt {1+ex}})}{1+ex+{\sqrt {1+ex}}}},} 支店向けW − 1 : {\displaystyle W_{-1}:} もしx ∈ （ − 1 / 4 、 0 ） : {\displaystyle x\in (-1/4,0):} w 0 （ x ） = ログ （ − x ） − ログ （ − ログ （ − x ） ） 、 {\displaystyle w_{0}(x)=\log(-x)-\log(-\log(-x)),} もしx ∈ （ − 1 / e 、 − 1 / 4 ] : {\displaystyle x\in (-1/e,-1/4]:} w 0 （ x ） = − 1 − 2 1 + e x 、 {\displaystyle w_{0}(x)=-1-{\sqrt {2}}{\sqrt {1+ex}},} 任意の精度に対して、最大反復ステップ数を事前に決定することができる。
もしx ∈ （ e 、 ∞ ） {\displaystyle x\in (e,\infty )} 0 < W 0 （ x ） − w n （ x ） < （ ログ （ 1 + 1 / e ） ） 2 n 、 {\displaystyle 0<W_{0}(x)-w_{n}(x)<\left(\log(1+1/e)\right)^{2^{n}},} もしx ∈ （ 0 、 e ） {\displaystyle x\in (0,e)} 0 < W 0 （ x ） − w n （ x ） < （ 1 − 1 / e ） 2 n − 1 5 、 {\displaystyle 0<W_{0}(x)-w_{n}(x)<{\frac {\left(1-1/e\right)^{2^{n}-1}}{5}},} もしx ∈ （ − 1 / e 、 0 ） : {\displaystyle x\in (-1/e,0):} 本店向けW 0 {\displaystyle W_{0}} 0 < w n （ x ） − W 0 （ x ） < （ 1 / 10 ） 2 n 、 {\displaystyle 0<w_{n}(x)-W_{0}(x)<\left(1/10\right)^{2^{n}},} 支店向けW − 1 {\displaystyle W_{-1}} 0 < W − 1 （ x ） − w n （ x ） < （ 1 / 2 ） 2 n 。 {\displaystyle 0<W_{-1}(x)-w_{n}(x)<\left(1/2\right)^{2^{n}}.} 福島俊夫は、 W 関数 の主枝と副枝の実部を計算するための2つの高速な方法を提示した。最初の方法[ 64 ] z = − 1 / e {\displaystyle z=-1/e} [ 65 ] W 関数は変換された変数に対する ミニマックス 有理関数 の条件付きスイッチとして評価されます。W 0 （ z ） = { X k （ x ） 、 （ z k − 1 ≤ z < z k 、 k = 1 、 2 、 … 、 17 ） 、 U k （ u ） 、 （ z k − 1 ≤ z < z k 、 k = 18 、 19 ） 、 {\displaystyle W_{0}(z)={\begin{cases}X_{k}(x),&(z_{k-1}\leq z<z_{k},\quad k=1,2,\ldots ,17),\\U_{k}(u),&(z_{k-1}\leq z<z_{k},\quad k=18,19),\end{cases}}} W − 1 （ z ） = { Y k （ y ） 、 （ z k − 1 ≤ z < z k 、 k = − 1 、 − 2 、 … 、 − 7 ） 、 V k （ v ） 、 （ z k − 1 ≤ z < z k 、 k = − 8 、 − 9 、 − 10 ） 、 {\displaystyle W_{-1}(z)={\begin{cases}Y_{k}(y),&(z_{k-1}\leq z<z_{k},\quad k=-1,-2,\ldots ,-7),\\V_{k}(v),&(z_{k-1}\leq z<z_{k},\quad k=-8,-9,-10),\end{cases}}} u 、v 、x 、yは z の変換である。
u = ln z 、 v = ln （ − z ） 、 x = z + 1 / e 、 y = − z / （ x + 1 / e ） {\displaystyle u=\ln {z},\quad v=\ln(-z),\quad x={\sqrt {z+1/e}},\quad y=-z/(x+1/{\sqrt {e}})} ここU k （ u ） {\displaystyle U_{k}(u)} V k （ v ） {\displaystyle V_{k}(v)} X k （ x ） {\displaystyle X_{k}(x)} Y k （ y ） {\displaystyle Y_{k}(y)} は有理関数であり、異なるk 値に対する係数は参照論文に記載されています。z k {\displaystyle z_{k}} W 関数をより正確に近似できます。
例えば、− 1 / e ≤ z ≤ 2.0082178115844727 {\displaystyle -1/e\leq z\leq 2.0082178115844727} W 0 （ z ） {\displaystyle W_{0}(z)} W 0 （ z ） ≈ X 1 （ x ） = ∑ 私 4 P 私 x 私 ∑ 私 3 Q 私 x 私 {\displaystyle W_{0}(z)\approx X_{1}(x)={\frac {\sum _{i}^{4}P_{i}x^{i}}{\sum _{i}^{3}Q_{i}x^{i}}}} x は上記の変換と係数によって定義される。P 私 {\displaystyle P_{i}} Q 私 {\displaystyle Q_{i}}
福島氏はまた、8次および7次多項式を用いて、64ビット浮動小数点数に対して50ビットの精度を持つ近似値を提供する。
ソフトウェア ランバートW 関数は多くのプログラミング言語で実装されています。以下にその一部を示します。
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![{\displaystyle (-\infty ,-1/e]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/363443c1ece7bc23703e083dc56ace1f815050b3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(x)&=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}\left(-2+L_{2}\right)}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}\left(6-9L_{2}+2L_{2}^{2}\right)}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}\left(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3}\right)}{12L_{1}^{4}}}+\cdots \\[5pt]&=L_{1}-L_{2}+\sum _{\ell =1}^{\infty }{\frac {1}{L_{1}^{\ell }}}\sum _{m=1}^{\ell }{\frac {(-1)^{\ell -m}\left[{\ell \atop \ell -m+1}\right]}{m!}}L_{2}^{m},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d106d226369b834c5d3393300dca377dc197d5c7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)e^{W(x)}=x,\quad {\text{したがって:}}\\[5pt]&e^{W(x)}={\frac {x}{W(x)}},\qquad e^{-W(x)}={\frac {W(x)}{x}},\qquad e^{nW(x)}=\left({\frac {x}{W(x)}}\right)^{n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db7a28b4f31f15aa4730b353d5ef11b206fa43b5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)=\ln {\frac {x}{W(x)}}&&{\text{for }}x\geq -{\frac {1}{e}},\\[5pt]&W\left({\frac {nx^{n}}{W\left(x\right)^{n-1}}}\right)=nW(x)&&{\text{for }}n,x>0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e834c16fb0e25cf530b84a39bdcc0bba7c75d762)
![{\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}0&<x\leq e,\\[5pt]W_{-1}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}x&>e.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/108810da107aa426c8708fe1c3eaa34a2da9575e)
![{\displaystyle W_{0}\left({\frac {\sqrt[{n}]{e}}{n}}\right)={\frac {1}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a9c8214e48f2f2fb5be14e54203da5d25bb8fb9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\pi }W_{0}\left(2\cot ^{2}x\right)\sec ^{2}x\,dx=4{\sqrt {\pi }},\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx=2{\sqrt {2\pi }},\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\,dx={\sqrt {2\pi }},{\text{ より一般的には }}\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{N}}}\right)\,dx=N^{1-{\frac {1}{N}}}\Gamma \left(1-{\frac {1}{N}}\right)\qquad {\text{for }}N>1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a5cbd1e3a86034e41ade09aa22ffa3303a8065a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=ue^{u},\\[5pt]{\frac {dx}{du}}&=(u+1)e^{u}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d9f83a1f16b84fd3408ce93ce89f1165e8c455e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}du\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\right)+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {\pi }}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f836d0b33ed568739bf7e32a1ded6e95b08c4429)
![{\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(z)&={\frac {z}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \left(\nu \right)e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu \\[5pt]&={\frac {z}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \left(\nu \right)e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7260cf04ec55826cd7b9c3e6efab9908b6dedd79)
![{\displaystyle \exp[x\ln(x)]=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc07e60c43b94d74daf601b9d76116147c547e84)
![{\displaystyle \ln(x)=W_{0}[\ln(y)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6e680ce51622162729b71135236fa2abc7f06c5)
![{\displaystyle x={\frac {\ln(y)}{W_{0}[\ln(y)]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e831aca1a2fa455c37355214f75f3157a9561316)
![{\displaystyle x=\ln(2)\div W_{0}[\ln(2)]\approx 1.559610469462369349970388768765}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91333fc80692fc0039eca484b2cee339bea8be22)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Q_{\text{turb}}&={\frac {Q_{i}}{\zeta _{i}}}W_{0}\left[\zeta _{i}\,e^{(\zeta _{i}+\beta t/b)}\right]\\Q_{\text{lam}}&={\frac {Q_{i}}{\xi _{i}}}W_{0}\left[\xi _{i}\,e^{\left(\xi _{i}+\beta t/(b-\Gamma _{1})\right)}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43d43eeebc5111975f2588d8a36063fe7a6bfeaa)
![{\displaystyle {\begin{aligned}-a&=(b-\ln K)T+cT\ln T\\&=(b-\ln K)e^{L}+cLe^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}&=\left({\frac {b-\ln K}{c}}+L\right)e^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}&=\left(L+{\frac {b-\ln K}{c}}\right)e^{L+{\frac {b-\ln K}{c}}}\\[5pt]L&=W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln Kb}{c}}\\[5pt]T&=\exp \left(W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln Kb}{c}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eb5cee9fdd7908a30ded5a772ec49f985ebaa1a)
![{\displaystyle x\in (-1/e,-1/4]:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b94a22ce7703c01fad21e3dc02064c914fb7aa)
