ミンコフスキー・ブーリガン次元

フラクタル幾何学において、ミンコフスキー・ブーリガン次元（ミンコフスキー次元またはボックスカウンティング次元とも呼ばれる）は、有界集合のフラクタル次元を決定する方法である。${\textstyle S}$ユークリッド空間において${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$あるいはより一般的には距離空間において${\textstyle (X,d)}$これは、ポーランドの数学者ヘルマン・ミンコフスキーとフランスの数学者ジョルジュ・ブーリガンにちなんで名付けられました。

フラクタルのこの次元を計算するには${\textstyle S}$このフラクタル図形を等間隔のグリッド上に置いたと想像し、図形全体を覆うのに必要なマス目の数を数えてみてください。マス目数えの次元は、マス目数えアルゴリズムを適用してグリッドを細かくしていくと、この数がどのように変化するかを調べることで算出されます。

仮に${\textstyle N(\varepsilon )}$は、辺の長さが の箱の数です。${\textstyle \varepsilon }$セットをカバーするために必要な場合、ボックスカウント次元は次のように定義されます。

$${\displaystyle \dim _{\text{box}}(S):=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(1/\varepsilon )}}=-\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(\varepsilon )}}.}$$

大まかに言えば、これは次元が指数であることを意味します${\textstyle d}$そのため${\textstyle N(\varepsilon )\approx C\varepsilon ^{-d}}$これは、自明なケースで予想されることであり、${\textstyle S}$は整数次元の滑らかな空間（多様体）である。${\textstyle d}$。

上記の限界が存在しない場合でも、上限限界と下限限界を取ることができ、それぞれが上側ボックス次元と下側ボックス次元を定義します。上側ボックス次元は、エントロピー次元、コルモゴロフ次元、コルモゴロフ容量、限界容量、または上側ミンコフスキー次元と呼ばれることがあり、下側ボックス次元は下側ミンコフスキー次元とも呼ばれます。

上部ボックスと下部ボックスの次元は、より一般的なハウスドルフ次元と密接に関連しています。非常に特殊な用途でのみ、これら3つを区別することが重要です（下記参照）。フラクタル次元のもう1つの尺度は相関次元です。

箱の寸法は、被覆数または梱包数のいずれかを使用してボールで定義できます。被覆数${\textstyle N_{\text{covering}}(\varepsilon )}$半径の開いたボールの最小数${\textstyle \varepsilon }$フラクタルを覆うために必要な数、言い換えれば、それらの和集合がフラクタルを含むようにする数。また、固有被覆数も考慮することができる。${\textstyle N'_{\text{covering}}(\varepsilon )}$これは、開いた球の中心が集合S内にあるという追加要件があるものの、同じように定義される。${\textstyle N_{\text{packing}}(\varepsilon )}$は、半径の互いに素な開球の最大数である。${\textstyle \varepsilon }$中心がフラクタルの中にあるように配置することができる。${\textstyle N}$、${\textstyle N_{\text{covering}}}$、${\textstyle N'_{\text{covering}}}$そして${\textstyle N_{\text{packing}}}$これらは完全に同一ではありませんが、密接に関連しており、上側と下側の箱の寸法について同一の定義をもたらします。これは、以下の不等式が証明されれば容易に示せます。

$${\displaystyle N_{\text{packing}}(\varepsilon )\leq N'_{\text{covering}}(\varepsilon )\leq N_{\text{covering}}(\varepsilon /2)\leq N'_{\text{covering}}(\varepsilon /2)\leq N_{\text{packing}}(\varepsilon /4).}$$

これらは、定義によって、あるいは三角不等式から少しの努力で導き出される。

正方形ではなく球体を用いる利点は、この定義が任意の距離空間に一般化できる点にある。言い換えれば、箱の定義は外在的である。つまり、フラクタル空間Sがユークリッド空間に含まれていると仮定し、包含空間の外部幾何学に従って箱体を定義する。しかし、 Sの次元は内在的であるべきであり、 Sが配置される環境とは無関係であるべきである。そして、球体の定義は内在的に定式化できる。内部球体は、選択した中心から一定の距離内にあるSのすべての点として定義され、そのような球体の数を数えることで次元が得られる。（より正確には、N_被覆の定義は外在的であるが、他の2つは内在的である。）

箱を使用する利点は、多くの場合、N ( ε ) を簡単に明示的に計算できること、および箱の場合、被覆数と充填数 (同等の方法で定義) が等しいことです。

パッキング数とカバリング数の対数は、エントロピー数と呼ばれることもあり、スケールεにおける計量空間またはフラクタルの「無秩序」の量を測定し、また、空間の点を精度εで指定するために必要なビット数または桁数を測定するという点で、熱力学的エントロピーや情報理論的エントロピーの概念とある程度類似しています。

ボックスカウント次元の別の同等の（外在的）定義は、次の式で与えられる。

$${\displaystyle \dim _{\text{box}}(S)=n-\lim _{r\to 0}{\frac {\log {\text{vol}}(S_{r})}{\log r}},}$$

ここで、各r  >  0 に対して、セット${\textstyle S_{r}}$はSのr近傍、すなわち のすべての点の集合として定義される。${\textstyle R^{n}}$Sからrより距離が小さいもの（または同等に、${\textstyle S_{r}}$は、半径rの開球のうち、中心がSの要素であるすべての開球の和集合である。 

上側のボックスの次元は有限に安定している。つまり、{ A ₁ , ..., A _n } が有限個の集合の集合である場合、

$${\displaystyle \dim _{\text{upper box}}(A_{1}\cup \dotsb \cup A_{n})=\max\{\dim _{\text{upper box}}(A_{1}),\dots ,\dim _{\text{upper box}}(A_{n})\}.}$$

しかし、これは可算安定ではありません。つまり、この等式は無限個の集合に対しては成り立ちません。例えば、一点のボックス次元は0ですが、区間[0, 1]内の有理数の集合のボックス次元は1です。これに対し、ハウスドルフ次元は可算安定です。一方、より低いボックス次元は、有限安定ですらありません。  

上側のボックス次元の興味深い特性で、下側のボックス次元やハウスドルフ次元には見られないのは、集合の加算との関連性です。AとBがユークリッド空間の2つの集合である場合、A + Bは、aがAの要素でbがBの要素である点のペアa、bをすべて取り、 a + bを加算することによって形成されます。   

$${\displaystyle \dim _{\text{upper box}}(A+B)\leq \dim _{\text{upper box}}(A)+\dim _{\text{upper box}}(B).}$$

ボックスカウント次元は、フラクタルに適用できる次元の定義の 1 つです。多くの性質の良いフラクタルでは、これらの次元はすべて等しくなります。特に、フラクタルがオープンセット条件(OSC) を満たすときは、これらの次元は一致します。^{[ 1 ]}例えば、カントール集合のハウスドルフ次元、下部ボックス次元、および上部ボックス次元はすべて log(2)/log(3) に等しくなります。ただし、定義は同等ではありません。

ボックスの寸法とハウスドルフ次元は、次の不等式で関連付けられる。

$${\displaystyle \dim _{\text{Haus}}\leq \dim _{\text{lower box}}\leq \dim _{\text{upper box}}.}$$

一般的に、どちらの不等式も厳密な不等式となる可能性があります。フラクタルが異なるスケールで異なる振る舞いをする場合、上側のボックスの次元は下側のボックスの次元よりも大きくなる可能性があります。例えば、 条件を満たす区間 [0, 1]内の数値の集合を調べます。

「奇数位間隔」、つまり数字 2 ^{2 n +1}と 2 ^{2 n +2}  −  1 の間の数字は制限されず、任意の値をとることができます。このフラクタルは、上側のボックスの寸法が 2/3、下側のボックスの寸法が 1/3 であり、これはN ( ε ) を計算することで簡単に確認できます。${\displaystyle \varepsilon =10^{-2^{n}}}$また、nが偶数の場合と奇数の場合で、それらの値の挙動が異なることに留意する。

別の例：有理数の集合${\textstyle \mathbb {Q} }$可算集合${\textstyle \dim _{\text{Haus}}=0}$、 もっている${\textstyle \dim _{\text{box}}=1}$閉鎖のため、${\textstyle \mathbb {R} }$次元は1です。実際、

$${\displaystyle \dim _{\text{box}}\left\{0,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots \right\}={\frac {1}{2}}.}$$

これらの例は、可算集合を追加するとボックスの次元が変化することを示しており、この次元の不安定性を示している。

• 相関次元
• 梱包寸法
• 不確実性指数
• ワイル・ベリー予想
• 空白

• ファルコナー、ケネス（1990）。フラクタル幾何学：数学的基礎と応用。チチェスター：ジョン・ワイリー。38-47頁。ISBN  0-471-92287-0. Zbl 0689.28003 . 
• ワイスタイン、エリック・W. 「ミンコフスキー＝ブーリガンの次元」。マスワールド。

• FrakOut!: ボックスカウント法を用いて図形のフラクタル次元を計算するオープンソースアプリケーション（ボックスの配置は自動で行いません）。
• FracLac：オンラインユーザーガイドとソフトウェアImageJおよびFracLacボックスカウントプラグイン。生物学におけるデジタル画像解析のための、無料で使いやすいオープンソースソフトウェア。