要約

数学では、加算とは、加数または被加数と呼ばれる一連の数を加算することです。結果はそれらの合計または合計です。数値の他に、関数、ベクトル、行列、多項式、および一般に、「+」で示される演算が定義されているあらゆる種類の数学オブジェクトの要素など、他の種類の値も加算できます。

無限数列の和は級数と呼ばれます。級数には極限の概念が含まれており、この記事では扱いません。

明示的なシーケンスの和は、加算の連続として表されます。たとえば、[1, 2, 4, 2]の和は1 + 2 + 4 + 2と表され、結果は 9、つまり1 + 2 + 4 + 2 = 9になります。加算は結合法則と交換法則に従うため、括弧は必要なく、加数の順序に関係なく結果は同じになります。要素が 1 つだけのシーケンスを加算すると、その要素自体になります。慣例により、空のシーケンス (要素のないシーケンス) を加算すると、結果は 0 になります。

多くの場合、数列の要素は、規則的なパターンを通じて、数列内の位置の関数として定義されます。単純なパターンの場合、長い数列の和は、ほとんどの被加数を省略記号に置き換えて表すことができます。たとえば、最初の 100 個の自然数の和は、 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 99 + 100と表記されます。それ以外の場合、和は Σ 表記法を使用して表されます。ここで、 は拡大された大文字のギリシャ文字シグマです。たとえば、最初のn個の自然数の和はと表すことができます。 ${\textstyle \sum }$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}i}$

長い合計や可変長の合計（省略記号またはΣ表記で定義）の場合、結果の閉じた形式表現を見つけることはよくある問題です。たとえば、 ^[a]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}.}$

このような公式は常に存在するわけではありませんが、多くの合計公式が発見されており、最も一般的で基本的な公式のいくつかをこの記事の残りの部分にリストします。

数学表記では、多くの類似項の合計を簡潔に表す記号、つまりギリシャ文字シグマの拡大形である合計記号が使用される。これは次のように定義される。 ${\textstyle \sum }$

${\displaystyle \sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$

ここで、i は合計のインデックスです。a _{i は}合計の各項を表すインデックス付き変数です。mは合計の下限、nは合計の上限です。合計記号の下の「i = m 」は、インデックスi がmに等しいことを意味します。インデックスiは、各項ごとに 1 ずつ増加し、i = nで停止します。^[b]

これは「 i = mからnまでのa _iの合計」と読みます。

以下は平方和を示す例です。

${\displaystyle \sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.}$

一般に、任意の変数を合計のインデックスとして使用できますが (あいまいさが生じない場合)、最も一般的なものには、^[c]、[、などの文字が含まれます。最後の文字は、合計の上限にもよく使用されます。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

あるいは、文脈が十分に明らかな場合は、合計のインデックスと境界が合計の定義から省略されることがあります。これは特に、インデックスが1からnまでの場合に適用されます。^[1]たとえば、次のように書くことができます。

${\displaystyle \sum a_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}.}$

この表記法の一般化はよく使用され、任意の論理条件が提供され、その条件を満たすすべての値の合計が計算されます。例:

${\displaystyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}$

は、指定された範囲内の すべての（整数）の合計を表す別の表記法です 。同様に、${\textstyle \sum _{k=0}^{99}f(k),}$${\displaystyle f(k)}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \sum _{x\mathop {\in } S}f(x)}$

は集合内のすべての要素の合計であり、 ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \sum _{d\,|\,n}\;\mu (d)}$

は を割るすべての正の整数の合計です。^[d]${\displaystyle \mu (d)}$${\displaystyle d}$ ${\displaystyle n}$

多くのシグマ記号の使用を一般化する方法もあります。たとえば、

${\displaystyle \sum _{i,j}}$

と同じです

${\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}.}$

数列の積にも同様の表記法が用いられる。ここでは、ギリシャ語の大文字πを拡大した形である が の代わりに用いられる。${\textstyle \prod }$${\textstyle \sum .}$

2 個未満の数を合計することも可能です。

• 合計に 1 つの加数がある場合、評価される合計は です。${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$
• 和に被加数がない場合、加算の単位元はゼロなので、評価される和はゼロになります。これは空の和として知られています。

これらの退化したケースは通常、特別なケースで和の表記が退化した結果を与える場合にのみ使用されます。たとえば、上記の定義で の場合、和には 1 つの項しかありません。 の場合、和には項はありません。 ${\displaystyle n=m}$${\displaystyle n=m-1}$

「代数和」という語句は、正または負の符号を持つ項の合計を指します。正の符号を持つ項は加算され、負の符号を持つ項は減算されます。

合計は次のように再帰的に定義できます。

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=0}$、 のために;${\displaystyle b<a}$

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=g(b)+\sum _{i=a}^{b-1}g(i)}$、 のために。${\displaystyle b\geqslant a}$

測度と積分理論の表記では、和は定積分として表すことができる。

${\displaystyle \sum _{k\mathop {=} a}^{b}f(k)=\int _{[a,b]}f\,d\mu }$

ここで はからまでの整数の部分集合であり、 は整数上の 計数測度です。${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \mu }$

区間[ m , n ]内の整数に対して定義された関数fを考えると、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle f(n)-f(m)=\sum _{i=m}^{n-1}(f(i+1)-f(i)).}$

これは伸縮級数として知られており、差分積分学における微積分学の基本定理と同様のもので、次のようになります。

${\displaystyle f(n)-f(m)=\int _{m}^{n}f'(x)\,dx,}$

どこ

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

はfの導関数です。

上記の式の適用例は次のとおりです。

${\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left((i+1)^{k}-i^{k}\right).}$

二項定理を用いると、これは次のように書き直すことができます。

${\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}{\biggl (}\sum _{j=0}^{k-1}{\binom {k}{j}}i^{j}{\biggr )}.}$

上記の式は、次のように定義される差分演算子 の反転によく使用されます。 ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta (f)(n)=f(n+1)-f(n),}$

ここで、f は非負整数上で定義された関数である。したがって、このような関数fが与えられた場合、問題は となる関数fの逆差分を計算することである。つまり、 この関数は定数の加算まで定義され、^{[2]のように選択することができる。}${\displaystyle F=\Delta ^{-1}f}$${\displaystyle \Delta F=f}$${\displaystyle F(n+1)-F(n)=f(n).}$

${\displaystyle F(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i).}$

このような和を表す閉じた形式表現は必ずしも存在するわけではありませんが、ファウルハーバーの公式は、の場合に、線形性により、 nのすべての多項式関数に対して閉じた形式を提供します。 ${\displaystyle f(n)=n^{k}}$

このような近似値の多くは、任意の増加関数fに対して成り立つ、和と積分の間の次の関係によって得られます。

${\displaystyle \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds.}$

任意の減少関数fに対して:

${\displaystyle \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds.}$

より一般的な近似については、オイラー・マクローリンの公式を参照してください。

加数が指数の積分可能な関数で与えられる（または補間できる）ような和については、その和は対応する定積分の定義で生じるリーマン和として解釈できる。したがって、例えば

${\displaystyle {\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx,}$

右辺は定義により左辺の に対する極限であるからです。しかし、与えられた和に対してn は固定されており、fについての追加の仮定なしに上記の近似の誤差についてはほとんど何も言えません。激しく振動する関数に対しては、リーマン和がリーマン積分から任意に離れる可能性があることは明らかです。 ${\displaystyle n\to \infty }$

以下の公式には有限和が含まれます。三角関数やその他の超越関数を含む式の無限和または有限和については、数学級数の一覧を参照してください。

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad }$（分配性）^[3]

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left(f(n)\pm g(n)\right)\quad }$（交換法則と結合法則）^[3]

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\quad }$(インデックスシフト)

${\displaystyle \sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m)),\quad }$有限集合Aから集合Bへの一対一写像 σに対して(インデックスの変更)、これは前述の式を一般化したものです。

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)\quad }$（結合法則を使って合計を分割する）

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)\quad }$（前述の式の変形）

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)\quad }$（最初の項から最後の項までの合計は、最後の項から最初の項までの合計に等しい）

${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)\quad }$（上記の式の特別なケース）

${\displaystyle \sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}\quad }$（再び、交換法則と結合法則）

${\displaystyle \sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}\quad }$（交換法則と結合法則のもう一つの応用）

${\displaystyle \sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)\quad }$(偶数インデックスの場合は合計を奇数部分と偶数部分に分割します)

${\displaystyle \sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)\quad }$(奇数インデックスの場合は合計を奇数部分と偶数部分に分割します)

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=0}^{n}b_{j}{\biggr )}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}a_{i}b_{j}\quad }$（分配性）

${\displaystyle \sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}={\biggl (}\sum _{i=s}^{m}a_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=t}^{n}c_{j}{\biggr )}\quad }$（分配法則により因数分解が可能）

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)\quad }$（積の対数は因数の対数の合計です）

${\displaystyle C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}\quad }$（和の指数は加数の指数の積です）

${\displaystyle \sum _{m=0}^{k}\sum _{n=0}^{m}f(m,n)=\sum _{m=0}^{k}\sum _{n=m}^{k}f(n,m),\quad }$からの任意の関数に対して。${\textstyle f}$${\textstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=nc\quad }$iに依存しないすべてのcについて

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\qquad }$（最初のn個の自然数からなる最も単純な等差数列の和。）^{[2] ：52}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}\qquad }$（最初の奇数の自然数の合計）

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)\qquad }$（最初の偶数の自然数の合計）

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log i=\log n!\qquad }$（対数の和は積の対数である）

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}=\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\qquad }$（最初の平方の合計、平方ピラミッド数を参照。）^{[2] ：52}

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}={\biggl (}\sum _{i=0}^{n}i{\biggr )}^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad }$（ニコマコスの定理）^{[2] ：52}

より一般的には、ファウルハーバーの公式は次のようになる。${\displaystyle p>1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\binom {p}{k}}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}\,n^{p-k+1},}$

ここで はベルヌーイ数、は二項係数です。 ${\displaystyle B_{k}}$${\displaystyle {\binom {p}{k}}}$

以下の合計では、a は1 とは異なるものと仮定します。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}}$（等比数列の和）

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}}$（a = 1/2の特別なケース）

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}}$（等比数列のaに関する微分をa倍したもの）

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}}$

（等比等比数列の和）

二項係数を含む和の恒等式は非常に多く存在します ( 『Concrete Mathematics』の 1 章全体が基本的な手法に充てられています)。最も基本的なもののいくつかを以下に示します。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}=(a+b)^{n},}$二項定理

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n},}$a = b = 1の特別なケース

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=1}$、 p = a = 1 − bの特別なケースであり、これは二項分布の和を表す。${\displaystyle 0\leq p\leq 1,}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}=n(2^{n-1}),}$二項定理のaに関する導関数のa = b = 1における値

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {n \choose i}{i+1}}={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}},}$二項定理のaに関する不定理のa = b = 1における値

次の合計では、はnのk順列の数です。 ${\displaystyle {}_{n}P_{k}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{}_{i}P_{k}{n \choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}}$ここで、 および は床関数を表します。${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{m}{\binom {n+k}{n}}={\binom {n+m+1}{n+1}}}$

${\displaystyle \sum _{i=k}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}}={\frac {\lfloor n!\;e\rfloor }{n!}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}\quad }$（n番目の高調波数）

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}\quad }$（一般化された調和数）

以下は有用な近似値です（シータ表記を使用）。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})}$実数cが-1より大きい場合

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log _{e}n)}$（倍音数を参照）

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})}$実数cが1より大きい場合

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})}$非負の実数cの場合

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})}$非負の実数c、d

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})}$非負の実数b > 1, c , dの場合

• 1675年、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツはヘンリー・オルデンブルクに宛てた手紙の中で、微分和（ラテン語：calculus summatorius ）を表す記号∫を提案し、それがS字型になったとしています。^{[4] [5] [6]}この記号が積分に改名されたのは、後にヨハン・ベルヌーイとのやり取りの中で起こりました。^[6]
• 1755年、レオンハルト・オイラーの『微分法の原理』で和の記号Σが証明されました。^{[7] [8]}オイラーは次のような式でこの記号を使用しています。

${\displaystyle \Sigma \ (2wx+w^{2})=x^{2}}$

• 1772年に、ΣとΣnの使用は^{ラグランジュ}によって証明されました。^{[7] [9]}
• 1823年には、大文字のSが級数の合計を表す記号として使われていたことが確認されている。この用法は広く使われていたようだ。^[7]
• 1829年、加算記号ΣはフーリエとCGJヤコビによって証明された。^[7]フーリエの使用には下限と上限が含まれる。例えば: ^{[10] [11]}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }e^{-i^{2}t}\ldots }$

• 大文字のπ表記
• アインシュタイン記法
• アイバーソンブラケット
• 反復二項演算
• カハン加算アルゴリズム
• 積（数学）
• 部分ごとの合計
• シグマ § 文字エンコーディング

• カジョリ、フロリアン（1929）。数学表記法の歴史第2巻。オープンコート出版。ISBN 978-0-486-67766-8。

• ウィキメディア・コモンズにおける総括に関連するメディア