反復対数の法則

確率論において、反復対数の法則はランダムウォークの変動の大きさを表す。反復対数の法則の最初の記述はA. Ya. Khinchin (1924)によるものである。^{[ 1 ]}別の記述は1929年にAN Kolmogorovによって与えられた。^{[ 2 ]}

{ Y _{n }を}、平均がゼロで分散が1の独立同分布の確率変数とする。S n = Y ₁ + ... + Y _nとする。すると

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {|S_{n}|}{\sqrt {2n\log \log n}}}=1\quad {\text{as}},}$

ここで「log」は自然対数、「lim sup」は上限極限、「as」は「ほぼ確実に」を表します。^{[ 3 ] [ 4 ]}

1929年にANコルモゴロフが述べた別の声明^{[ 2 ]}は以下のとおりです。

させて${\displaystyle \{Y_{n}\}}$は、平均がゼロで分散が有限の独立な確率変数とする。${\displaystyle S_{n}=Y_{1}+\dots +Y_{n}}$そして${\displaystyle B_{n}=\operatorname {Var} (Y_{1})+\dots +\operatorname {Var} (Y_{n})}$。 もし$\displaystyle B_{n}\to \infty }$そして、正の定数の列が存在する${\displaystyle \{M_{n}\}}$そのため${\displaystyle |Y_{n}|\leq M_{n}}$として、そして

${\displaystyle M_{n}\;=\;o\left({\sqrt {\frac {B_{n}}{\log \log B_{n}}}}\right),}$

すると、

$\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {|S_{n}|}{\sqrt {2B_{n}\log \log B_{n}}}}=1\quad {\text{as}}}$

なお、最初の記述は標準正規分布の場合を対象としていますが、2番目の記述は対象としていません。

反復対数の法則は、大数の法則と中心極限定理の「中間」で作用する。大数の法則には弱大数法則と強大数法則の2つのバージョンがあり、どちらもn- ¹倍にスケーリングされた和Sn_が、それぞれ確率収束とほぼ確実にゼロに収束すると述べている。

$\displaystyle {\frac {S_{n}}{n}}\ {\xrightarrow {p}}\ 0,\​​qquad {\frac {S_{n}}{n}}\ {\xrightarrow {as}}0,\qquad {\text{as}}\ \ n\to \infty .}$

一方、中心極限定理によれば、n ^−1/2の係数でスケーリングされた和S _{n は}分布において標準正規分布に収束する。コルモゴロフのゼロイチ法則によれば、任意の固定されたMに対して、事象の確率は ${\displaystyle \limsup _{n}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\geq M}$ 発生が0または1の場合。

${\displaystyle \Pr \left(\limsup _{n}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\geq M\right)\geqslant \limsup _{n}\Pr \left({\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\geq M\right)=\Pr \left({\mathcal {N}}(0,1)\geq M\right)>0}$

それで

$確率1で、\limsup_{n}{\frac{S_{n}}{\sqrt{n}}}=\infty \qquad {\text{$

同様の議論により、

$確率1で、\liminf_n = -\infty となる。$

これは、これらの量がほぼ確実に収束しないことを意味する。実際、確率収束すらしない。これは等式から導かれる。

${\displaystyle {\frac {S_{2n}}{\sqrt {2n}}}-{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {S_{2n}-S_{n}}{\sqrt {n}}}-\left(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right){\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}}$

そして、ランダム変数が

${\displaystyle {\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {S_{2n}-S_{n}}{\sqrt {n}}}}$

は独立しており、両方とも分布において収束する。${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1).}$

反復対数の法則は、 2つの極限値が異なるようになるスケーリング係数を提供する。

${\displaystyle {\frac {S_{n}}{\sqrt {2n\log \log n}}}\ {\xrightarrow {p}}\ 0,\qquad {\frac {S_{n}}{\sqrt {2n\log \log n}}}\ {\stackrel {a.s.}{\nrightarrow }}\ 0,\qquad {\text{as}}\ \ n\to \infty .}$

したがって、量の絶対値は${\displaystyle S_{n}/{\sqrt {2n\log \log n}}}$は、確率が 1 に近づく任意の定義済みε > 0より小さいが、それでもほぼ確実に無限にε より大きくなる。実際、この量は、ほぼ確実に区間 (-1,1) 内の任意の点の近傍を訪れる。

平均がゼロで増分が限定された独立同分布（iid）確率変数の和に対する反復対数の法則（LIL）は、1920年代のヒンチンとコルモゴロフに遡る。

それ以来、様々な種類の依存構造や確率過程におけるLILに関する研究が数多く行われてきた。以下に、注目すべき発展のほんの一例を示す。

ハートマン-ウィントナー（1940）は、LILを平均ゼロで有限分散の増分を持つランダムウォークに一般化した。デ・アコスタ（1983）は、ハートマン-ウィントナー版LILの簡単な証明を与えた。^{[ 5 ]}

Chung (1948) は、ブラウン運動の絶対値に対する反復対数の法則の別のバージョンを証明した。^{[ 6 ]}

Strassen (1964) は、不変性の原理の観点から LIL を研究した。^{[ 7 ]}

Stout (1970) は LIL を定常エルゴード的マルチンゲールに一般化した。^{[ 8 ]}

Wittmann (1985) は、より緩やかな条件を満たすランダムウォークに、LIL の Hartman–Wintner バージョンを一般化した。^{[ 9 ]}

1986年までの調査。^{[ 10 ]}

ウラジミール・ヴォフク（1987）は、単一のカオス的シーケンス（コルモゴロフランダムシーケンス）に対して有効なLILのバージョンを導出した。^{[ 11 ]}これは、古典的な確率論の領域外であるため注目に値する。

Yongge Wang (1996) は、反復対数の法則が多項式時間擬似乱数列にも成り立つことを示した。^{[ 12 ] [ 13 ]} Java ベースのソフトウェアテスト ツールは、擬似乱数生成器が LIL を満たすシーケンスを出力するかどうかをテストします。

Balsubramani (2014) は、有限時間マルチンゲールサンプルパス上で成り立つ非漸近的 LIL を証明しました。^{[ 14 ]これは、一致する有限サンプル集中および反集中境界を提供し、逐次テスト[ 15 ]}やその他のアプリケーション^{[ 16 ]}を可能にするため、マルチンゲール LIL を包含します。

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