p進指数関数

数学、特にp進解析において、p進指数関数は、複素数に対する通常の指数関数のp進類似物です。複素数の場合と同様に、p進対数と呼ばれる逆関数があります。

C上の通常の指数関数は無限級数で定義される。

${\displaystyle \exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

全く同様に、 C _p上の指数関数、すなわちQ _pの代数的閉包の完備化を次のように定義する。

${\displaystyle \exp _{p}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

しかし、 C全体で収束するexpとは異なり、exp _pは円板上でのみ収束する。

${\displaystyle |z|_{p}<p^{-1/(p-1)}.}$

これは、p進級数が収束するのは加数がゼロに近づく場合のみであり、各加数の分母のn ! は加数をp進的に大きくする傾向があるため、分子のzの値が小さくなる必要があるためです。ルジャンドルの公式から、の場合、p進的に に近づくことがわかります。 ${\displaystyle |z|_{p}<p^{-1/(p-1)}}$${\displaystyle {\frac {z^{n}}{n!}}}$${\displaystyle 0}$

p進指数はe ^xと表記されることもあるが、数e自体にはp進類似物がない。これは、べき級数 exp _p ( x ) がx = 1で収束しないからである。数e をp ≠ 2に対してexp _p ( p ) のp乗根に選ぶことは可能であるが^[a]、そのような根は複数存在し、その中から標準的な選択は存在しない。^[1]

パワーシリーズ

${\displaystyle \log _{p}(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}},}$

は、| x | _p < 1を満たすC _p内のxに対して収束し 、そのため、| z  − 1| _p  < 1に対して、通常の特性log p ( zw ) = log p z + log p wを満たすp_進対数関数log _p (  z ₎を定義し_ます。関数log _pは、 Cの全体に拡張できます。 ×
ピ （ C _pの非ゼロ要素の集合）は、この最後の性質を満たし続けることを強制し、log p ( p ) = 0と設定する。具体_的には、C ×
ピ はw  =  p ^r ·ζ· zと書くことができ、 rは有理数、ζは1の平方根、| z  − 1| _p  < 1である^[2]。この場合log _p ( w ) = log _p ( z )である。^[b] C上のこの関数 ×
ピ _{は、log p} ( p ) = 0の選択を強調するために岩沢対数と呼ばれることもあります。実際、| z  − 1| _{p < 1から}C のすべてへの対数の拡張があります。 ×
ピ C _{pにおけるlog p} ( p )の各選択について。^[3]

zとw が両方とも exp _pの収束半径内にある場合、それらの合計も収束半径内にあるため、通常の加算式 exp _p ( z  +  w ) = exp _p ( z )exp _p ( w ) が得られます。

同様に、zとwがC _pのゼロ以外の要素である場合、log _p ( zw ) = log _p z  + log _p wとなります。

_{exp p}の定義域におけるzについては、 exp _p (log _p (1+ z )) = 1+ zかつ log _p (exp _p ( z )) =  z となります。

岩沢対数log _p ( z )の根は、まさにp ^r ·ζの形式のC _pの元である。ここでrは有理数、ζは1の根である。^[4]

C _pにはオイラーの恒等式e 2 ^{πi =} 1 の類似物は存在しないことに注意してください。これはシュトラスマンの 定理の系です。

Cの場合とのもう一つの大きな違いは、 exp _pの収束領域がlog _pの収束領域よりもはるかに小さいことです。代わりに、| z | _p < 1 で収束する修正指数関数 (アルティン・ハッセ指数) を使用できます 。

• Cassels, JWS (1986)の第 12 章。ローカル フィールド。ロンドン数学協会学生用テキスト。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-31525-5。
• コーエン、アンリ（2007）、数論、第1巻：ツールとディオファントス方程式、Graduate Texts in Mathematics、第239巻、ニューヨーク：Springer、doi：10.1007 / 978-0-387-49923-9、ISBN 978-0-387-49922-2、MR  2312337
• ロバート、アラン M. (2000)、p進解析コース、Springer、ISBN 0-387-98669-3

• p 進指数関数と p 進対数