数学表

マティアス・ベルネッガーが 1619 年に書いた数学表集の見開きページで、三角関数の正弦、正接、正割の値を示しています。45° 未満の角度は左ページ、45° を超える角度は右ページにあります。余弦、余接、余割は反対のページの項目を使用して求められます。

数学の表は、さまざまな引数による計算の結果を示す数値のリストです。三角関数の表は、古代ギリシャやインドで天文学や天体航法の応用に使用され、 1970 年代に電子計算機が安価で普及するまで、計算を簡素化して大幅に高速化するために広く使用され続けました。対数と三角関数の表は、数学や科学の教科書でよく見られ、さまざまな用途に特化した表が出版されました。

歴史と使用

三角関数の表として知られている最初のものは、ヒッパルコス（紀元前190年頃 - 紀元前120年頃）とメネラオス（紀元後70年頃 - 紀元後140年頃）によるものだが、どちらも失われている。現存するプトレマイオス（紀元後90年頃 - 紀元後168年頃）の表と同様、それらはすべて弦の表であり、半弦、つまり正弦関数の表ではなかった。^[1]インドの数学者アーリヤバタ（紀元後476年 - 550年）が作成した表は、史上初の正弦表と考えられている。^[1] アーリヤバタの表は、古代インドの標準的な正弦表であり続けた。この表の精度を向上させる試みが継続的に行われ、最終的にサンガマグラマのマドハヴァ(1350 年頃 - 1425 年頃)による正弦関数と余弦関数のべき級数展開の発見と、小数点以下 7 桁または 8 桁の精度を持つ正弦表の作成に至りました。

常用対数表は、コンピュータや電子計算機が発明されるまで、 n乗根の抽出を含む乗算、除算、累乗を高速に実行するために使用されていました。

差分エンジンとして知られる機械式専用計算機は、対数関数の多項式近似値を表にするため、つまり大きな対数表を計算するために 19 世紀に提案されました。これは主に、当時の人間による計算機によって作成された対数表のエラーに動機づけられました。初期のデジタル計算機は、砲兵の照準用の特殊な数表を作成するために、第二次世界大戦中に開発されました。1972 年以降、科学計算機が発売され、使用されるようになったため、ほとんどの数表は使用されなくなりました。

このような表を作成するための最後の主要な取り組みの1つは、 1938年に米国で公共事業促進局（WPA）のプロジェクトとして開始された数学表プロジェクトであり、450人の失業中の事務員を雇用して高等数学関数を表にまとめました。このプロジェクトは第二次世界大戦中も続きました。^[2]

特殊関数の表は今でも使用されています。たとえば、正規分布の累積分布関数の値の表(いわゆる標準正規表) は、科学計算用計算機やグラフ計算用計算機、およびパーソナルコンピューター上のスプレッドシートや専用の統計ソフトウェアの使用により、このような表は不要になっていますが、現在でも特に学校では一般的に使用されています。

ランダムアクセスメモリに格納されるテーブルを作成することは、コンピュータプログラミングにおける一般的なコード最適化手法です。このようなテーブルを使用すると、テーブルの検索が対応する計算よりも速い場合に計算が高速化されます (特に、対象のコンピュータに計算のハードウェア実装がない場合)。本質的には、計算速度と、テーブルを格納するために必要なコンピュータメモリ領域を交換することになります。

三角関数表

三角法の計算は、初期の天文学研究において重要な役割を果たしました。初期の表は、三角法の恒等式(半角恒等式や角度和恒等式など) を繰り返し適用して、古い値から新しい値を計算することによって作成されました。

簡単な例

上に示した 1619 年のベルネッガー表などの三角関数表を使用して 75 度 9 分 50 秒の正弦関数を計算するには、単に 75 度 10 分に切り上げてから、右上に示すように 75 度のページで 10 分のエントリ (0.9666746) を見つけます。

ただし、この答えは小数点以下 4 桁までしか正確ではありません。さらに精度を上げたい場合は、次のように線形補間することができます。

ベルネッガー表より:

サイン（75° 10′） = 0.9666746

サイン（75° 9′） = 0.9666001

これらの値の差は 0.0000745 です。

1分角は60秒なので、差に50/60を掛けて、(50/60)*0.0000745 ≈ 0.0000621の補正値を得ます。次に、その補正値にsin (75° 9′)を加えると、次のようになります。

sin (75° 9' 50") ≈ sin (75° 9') + 0.0000621 = 0.9666001 + 0.0000621 = 0.9666622

最新の計算機では sin(75° 9′ 50″) = 0.96666219991 と表示されるため、補間された答えはベルネッガー表の 7 桁の精度に正確です。

より高い精度（値あたりの桁数が多い）のテーブルの場合、完全な精度を得るためには、より高次の補間が必要になる場合があります。^[3]電子コンピュータが登場する前の時代では、この方法でテーブルデータを補間することが、航海、天文学、測量などのアプリケーションに必要な数学関数の高精度な値を得る唯一の実用的な方法でした。

ナビゲーションなどのアプリケーションにおける精度の重要性を理解するには、海面で地球の赤道または子午線（実際は任意の大円）に沿った 1 分の弧が 1海里（約 1.852 km または 1.151 mi）に相当することに注意してください。

対数表

2002 年American Practical Navigatorに掲載されている三角関数の対数表のページ。補間を容易にするために差の列が含まれています。

常用対数（底 10）の表は、電子計算機やコンピュータの出現以前の計算で広く使用されていました。対数は、掛け算や割り算の問題を、はるかに簡単な足し算や引き算の問題に変換するためです。底 10 の対数には、ユニークで便利な追加の特性があります。1 より大きい数で、その差が 10 の累乗倍しかない場合の常用対数は、すべて仮数と呼ばれる同じ小数部を持ちます。常用対数表には通常、仮数のみが含まれます。対数の整数部は特性と呼ばれ、元の数値の桁を数えることで簡単に決定できます。同様の原理により、1 未満の正の数の対数をすばやく計算できます。したがって、1 つの常用対数表を、正の 10 進数の全範囲に使用できます。^[4]特性と仮数の使用の詳細については、常用対数を参照してください。

歴史

1544年、マイケル・スティフェルは『積分学』を出版した。この本には整数と2の累乗の表が含まれており、対数表の初期のバージョンと考えられている。^[5]^[6]^[7]

対数の方法は、1614年にジョン・ネイピアによって「Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio（対数の素晴らしい規則の説明）」という本で公に提唱されました。^[8]この本には、57ページの説明と、自然対数に関連する90ページの表が含まれていました。イギリスの数学者ヘンリー・ブリッグスは1615年にネイピアを訪れ、ネイピアの対数をスケール変更して、現在では常用対数または10進対数として知られているものを作成することを提案しました。ネイピアは改訂された表の計算をブリッグスに委託しました。1617年に、彼らはLogarithmorum Chilias Prima（「最初の1000の対数」）を出版しました。これには、対数の簡単な説明と、小数点第14位まで計算された最初の1000個の整数の表が記載されていました。ネイピアの発明以前にも、 1600年頃にヨスト・ビュルギによって広範囲に開発された累進表の使用など、同様の範囲の他の技術が存在していた。^[9]^[10]

常用対数、つまり累乗数や指数表記の逆数によって可能になった計算の進歩により、手作業による計算がはるかに速くなりました。

参照

参考文献

^ ab JJ O'Connor および EF Robertson (1996 年 6 月)。「三角関数」。2010 年3 月 4 日閲覧。
^ Grier, David Alan (1998). 「作業計画局の数学表プロジェクト: コンピューティング時代の不本意な始まり」. IEEE Ann. Hist. Comput . 20 (3): 33–50. doi :10.1109/85.707573. ISSN 1058-6180.
^ アブラモウィッツとステグン数学関数ハンドブック、序論 §4
^ ER Hedrick、「対数表と三角関数表」（Macmillan、ニューヨーク、1913年）。
^ Stifelio、Michaele (1544)、Arithmetica Integra、ロンドン: Iohan Petreium
^ ブフシュタブ、AA; ペチャエフ、VI (2001) [1994]、「算術」、数学百科事典、EMSプレス
^ Vivian Shaw Groza および Susanne M. Shelley (1972)、Precalculus 数学、ニューヨーク: Holt、Rinehart、Winston、p. 182、ISBN 978-0-03-077670-0
^ アーネスト・ウィリアム・ホブソン（1914年）『ジョン・ネイピアと対数の発明』1614年、ケンブリッジ大学出版局
^ フォルケルツ、メンソ;ラウナート、ディーター。 Thom, Andreas (2016)、「Jost Bürgi のサインを計算する方法」、Historia Mathematica、43 (2): 133–147、arXiv : 1510.03180、doi :10.1016/j.hm.2016.03.001、MR 3489006、S2CID 119326088
^ オコナー、ジョン・J.、ロバートソン、エドマンド・F.、「ヨスト・ビュルギ（1552年-1632年）」、マクチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学

キャンベル・ケリー、マーティン（2003）「数学表の歴史：シュメールからスプレッドシートまで」オックスフォード・スカラシップ・オンライン、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-850841-0

外部リンク

ヒュー・チザム編 (1911)。「表、数学」。ブリタニカ百科事典(第 11 版)。ケンブリッジ大学出版局。
LOCOMAT : 数学および天文表の国勢調査。

[mcs-1] JJ O'Connor および EF Robertson (1996 年 6 月)。「三角関数」。2010 年3 月 4 日閲覧。

[2] Grier, David Alan (1998). 「作業計画局の数学表プロジェクト: コンピューティング時代の不本意な始まり」. IEEE Ann. Hist. Comput . 20 (3): 33–50. doi :10.1109/85.707573. ISSN 1058-6180.

[3] アブラモウィッツとステグン数学関数ハンドブック、序論 §4

[4] ER Hedrick、「対数表と三角関数表」（Macmillan、ニューヨーク、1913年）。

[5] Stifelio、Michaele (1544)、Arithmetica Integra、ロンドン: Iohan Petreium

[6] ブフシュタブ、AA; ペチャエフ、VI (2001) [1994]、「算術」、数学百科事典、EMSプレス

[7] Vivian Shaw Groza および Susanne M. Shelley (1972)、Precalculus 数学、ニューヨーク: Holt、Rinehart、Winston、p. 182、ISBN 978-0-03-077670-0

[8] アーネスト・ウィリアム・ホブソン（1914年）『ジョン・ネイピアと対数の発明』1614年、ケンブリッジ大学出版局

[folkerts-9] フォルケルツ、メンソ;ラウナート、ディーター。 Thom, Andreas (2016)、「Jost Bürgi のサインを計算する方法」、Historia Mathematica、43 (2): 133–147、arXiv : 1510.03180、doi :10.1016/j.hm.2016.03.001、MR 3489006、S2CID 119326088

[10] オコナー、ジョン・J.、ロバートソン、エドマンド・F.、「ヨスト・ビュルギ（1552年-1632年）」、マクチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学