ボルツマン定数

絶対温度Tの熱力学系において、系内の各微視的自由度が持つ平均熱エネルギーは1/2 kT (つまり約 2.07 × 10 ⁻²¹  J、または0.013 eV  (室温で)。これは一般的に、多数の粒子を持つ古典的なシステムにのみ当てはまります。

古典統計力学では、この平均値は均質な理想気体に対して正確に成り立つと予測されています。単原子理想気体（6つの希ガス）は、原子あたり3つの自由度を持ち、これは3つの空間方向に対応します。エネルギー等分配の法則によれば、これは原子あたり3/2 kTの熱エネルギーが存在することを意味します。これは実験データと非常によく一致します。熱エネルギーは原子の二乗平均速度を計算するために使用でき、これは原子質量の平方根に反比例することがわかります。室温で得られた二乗平均速度はこれを正確に反映しており、  ヘリウムの場合は1370 m/s、 キセノンの場合、240 m/s。

運動論によれば、理想気体の 平均圧力p は次のように表される。$${\displaystyle p={\frac {1}{3}}{\frac {N}{V}}m{\overline {v^{2}}}.}$$

理想気体の法則との組み合わせ $${\displaystyle pV=NkT}$$ 平均並進運動エネルギーは $$\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}={\tfrac {3}{2}}kT.}$$

並進運動速度ベクトルvには 3 つの自由度 (各次元に 1 つずつ) があることを考慮すると、自由度あたりの平均エネルギーは、その 3 分の 1、つまり1 / 2 kTになります。 

理想気体の状態方程式は分子気体にもほぼ当てはまりますが、分子は全体としての運動に関する3つの自由度に加えて、さらに内部自由度を持つため、熱容量の式はより複雑になります。例えば、二原子分子気体は、原子運動に関連する単純自由度を分子あたり合計6つ（並進運動3つ、回転運動2つ、振動運動1つ）持っています。低温では、分子あたりの関連する熱エネルギーにおける励起状態の利用可能性に量子力学的な制限があるため、これらの自由度すべてが気体の熱容量に完全に寄与するとは限りません。

より一般的に言えば、温度Tで平衡状態にある系は、対応するボルツマン因子で重み付けされたエネルギーEを持つ状態iを占める確率P _iを持つ。 $${\displaystyle P_{i}\propto {\frac {\exp \left(-{\frac {E}{kT}}\right)}{Z}},}$$ ここで、 Zは分配関数である。ここでも、エネルギーのような量kTが中心的な重要性を持つ。

この結果には、（上記の理想気体の結果に加えて）化学反応速度論におけるアレニウスの式が含まれる。

統計力学では、熱力学的平衡状態にある孤立系のエントロピーSは、巨視的な制約（例えば、固定された全エネルギーE ）の下で系が取り得る異なる微視的状態の数Wの自然対数として定義される。 $${\displaystyle S=k\,\ln W.}$$

この方程式は、系の微視的な詳細、すなわちミクロ状態（Wを介して）と巨視的な状態（エントロピーSを介して）を関連付けるものであり、統計力学の中心的な概念である。その重要性は非常に高く、ボルツマンの墓碑にも刻まれている。

比例定数kは、統計力学的エントロピーをクラウジウスの古典的熱力学的エントロピーと等しくする役割を果たす。 $${\displaystyle \Delta S=\int {\frac {{\rm {d}}Q}{T}}.}$$

代わりに、微視的な意味での 無次元エントロピーを再スケーリングして選択することもできます。$${\displaystyle {S'=\ln W},\quad \Delta S'=\int {\frac {\mathrm {d} Q}{kT}}.}$$

これはより自然な形式であり、この再スケーリングされたエントロピーはシャノンの情報エントロピーと完全に一致する。

したがって、特性エネルギーkTは、再スケーリングされたエントロピーを 1 natだけ増加させるのに必要なエネルギーである。

半導体において、ショックレーダイオード方程式（ p-n接合における電流の流れと静電ポテンシャルの関係）は、熱電圧と呼ばれる特性電圧V_{_T}に依存する。熱電圧は絶対温度Tに依存し、 $${\displaystyle V_{\mathrm {T} }={kT \over q}={RT \over F},}$$ ここで、qは電子の電荷の大きさであり、その値は1.602 176 634 × 10 ⁻¹⁹  C 。^{[ 6 ]}同様に、 $${\displaystyle {V_{\mathrm {T} } \over T}={k \over q}\approx 8.617333262\times 10^{-5}\ \mathrm {V/K} .}$$

室温300 K (27 °C; 80 °F)では、VT_は約   25.85  mV、^{[ 7 ] [ 8 ]}は、次のように値を代入することで導き出せる。 $${\displaystyle V_{\mathrm {T} }={kT \over q}={\frac {1.38\times 10^{-23}\ \mathrm {J{\cdot }K^{-1}} \times 300\ \mathrm {K} }{1.6\times 10^{-19}\ \mathrm {C} }}\simeq 25.85\ \mathrm {mV} }$$

標準状態温度298.15 K（25.00 °C、77.00 °F）では、およそ   25.69  mV。熱電圧はプラズマや電解質溶液でも重要です（ネルンストの式など）。どちらの場合も、固定電圧に保持された境界によって電子やイオンの空間分布がどの程度影響を受けるかの尺度となります。^{[ 9 ] [ 10 ]}

ボルツマン定数は、特徴的な微視的エネルギーEから巨視的温度スケールT = ⁠ E / k ⁠へのマッピングを提供します。基礎物理学では、このマッピングは、 k を1 に設定する自然単位を使用することで簡略化されることがよくあります。この慣習は、温度とエネルギーの量が同じ次元を持つことを意味します。^{[ 22 ] [ 23 ]}特に、SI 単位ケルビンは不要になり、ジュールで1 K =と定義されます。1.380 649 × 10 ⁻²³  J。 ^{[ 24 ]}この慣例では、温度は常にエネルギーの単位で表され、ボルツマン定数は式の中で明示的に必要とされません。 ^{[ 22 ]}

この慣例により、多くの物理的関係と公式が簡略化されます。たとえば、各古典的自由度に関連するエネルギーの等分配公式は次のようになります。 $${\displaystyle E_{\mathrm {dof} }={\tfrac {1}{2}}T}$$

別の例として、熱力学的エントロピーの定義は情報エントロピーの形式と一致する。 $${\displaystyle S=-\sum _{i}P_{i}\ln P_{i}.}$$ ここで、P _{i は}各ミクロ状態の確率である。各ミクロ状態が等確率であると仮定し、Wをミクロ状態の数とすると、ボルツマンのエントロピー式は次のようになる。$${\displaystyle S=\ln W}$$