スケール不変性

物理学、数学、統計学において、スケール不変性とは、長さ、エネルギー、またはその他の変数のスケールが共通の因数で乗算されても変化しない物体または法則の特徴であり、普遍性を表します。

この変換の専門用語は膨張（ダイレーションとも呼ばれる）です。膨張は、より大きな等角対称性の一部を形成することがあります。

• 数学では、スケール不変性は通常、個々の関数または曲線の不変性を指します。密接に関連する概念は自己相似性であり、関数または曲線は拡大の離散的なサブセットの下で不変です。ランダムプロセスの確率分布がこの種のスケール不変性または自己相似性を示す可能性もあります。
• 古典的な場の理論では、スケール不変性は、膨張に対する理論全体の不変性に最も一般的に適用されます。このような理論は、通常、特徴的な長さのスケールを持たない古典的な物理プロセスを記述します。
• 量子場の理論では、スケール不変性は粒子物理学の観点から解釈されます。スケール不変理論では、粒子相互作用の強さは、関与する粒子のエネルギーに依存しません。
• 統計力学では、スケール不変性は相転移の特徴です。重要な観察は、相転移または臨界点の近くで、すべての長さのスケールで変動が発生するため、現象を記述するには明示的にスケール不変な理論を探す必要があるということです。そのような理論はスケール不変な統計場理論であり、形式的にはスケール不変な量子場理論と非常に似ています。
• 普遍性とは、大きく異なる微視的システムが相転移において同じ動作を示す可能性があるという観察です。したがって、多くの異なるシステムにおける相転移は、同じ基礎となるスケール不変理論によって記述できます。
• 一般に、無次元量はスケール不変です。統計学における類似の概念は標準化モーメントで、これは変数のスケール不変統計ですが、標準化されていないモーメントはそうではありません。

数学では、関数または曲線 f ( x )の変数xの再スケーリングに対するスケーリング特性を考慮することができます。つまり、長さまたはサイズの再スケーリングと見なすことができるスケール係数λに対するf ( λx )の形状に関心があります。 f ( x ) がすべての再スケーリングに対して不変であるという要件は 、通常次のように見なされます。

${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda ^{\Delta }f(x)}$

指数 Δ をいくらか選択し、すべての拡大λに対して、これはf が次数 Δ の同次関数   であることと同等です。

スケール不変関数の例としては、 Δ = nとなる単項式 が挙げられ、明らかに ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$

${\displaystyle f(\lambda x)=(\lambda x)^{n}=\lambda ^{n}f(x)~.}$

スケール不変曲線の例としては、自然界によく見られる曲線の一種である対数螺旋がある。極座標 （r、θ）では、螺旋は次のように表される。

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a)~.}$

曲線の回転を考慮すると、それはすべての再スケーリングλに対して不変です。つまり、θ ( λr ) はθ ( r )の回転バージョンと同一です。

単項式のスケール不変性という考え方は、高次元では同次多項式という考え方に一般化され、より一般的には同次関数に一般化されます。同次関数は射影空間の自然な存在であり、同次多項式は射影幾何学における射影多様体として研究されます。射影幾何学は数学の中でも特に豊かな分野であり、最も抽象的な形式であるスキームの幾何学は、弦理論のさまざまなトピックと関連しています。

フラクタルはスケール不変であると言われることもありますが、より正確には自己相似であると言うべきです。フラクタルは、通常、値の離散的なセットλに対してのみそれ自体と等しくなりますが、その場合でも、フラクタルをそれ自体と一致させるには、平行移動と回転を適用する必要があるかもしれません。

したがって、たとえば、コッホ曲線は∆ = 1でスケーリングされますが、スケーリングは整数nに対してλ = 1/3 ⁿの値に対してのみ有効です。さらに、コッホ曲線は原点だけでなく、ある意味では「どこでも」スケーリングされます。つまり、曲線全体にわたって曲線のミニチュアコピーを見つけることができます。

フラクタルの中には、複数のスケーリング係数が同時に作用するものもあります。このようなスケーリングは、マルチフラクタル解析で研究されます。

周期的な外部光線と内部光線は不変曲線です。

P ( f ) が周波数fにおける平均期待電力である場合、ノイズは次のように比例します。

${\displaystyle P(f)=\lambda ^{-\Delta }P(\lambda f)}$

ここで、Δ = 0 はホワイトノイズ、Δ = −1 はピンクノイズ、Δ = −2 はブラウンノイズ（より一般的にはブラウン運動）です。

より正確には、確率システムにおけるスケーリングは、すべての可能なランダム構成の集合から特定の構成を選択する可能性に関係します。この可能性は確率分布によって与えられます。

スケール不変分布の例としては、パレート分布やジップ分布が挙げられます。

トゥイーディー分布は、一般化線型モデルの誤差分布を記述するために使用される統計モデルの一種である指数分散モデルの特殊なケースであり、加法畳み込みと再生畳み込み、およびスケール変換の下で閉包することを特徴とする。 ^[1] これらには、正規分布、ポアソン分布、ガンマ分布などの一般的な分布のほか、複合ポアソンガンマ分布、正の安定分布、極端に安定な分布などの珍しい分布が含まれる。 固有のスケール不変性により、トゥイーディーランダム変数Y は、分散var( Y ) から平均E( Y ) へのべき乗則を示す。

${\displaystyle {\text{var}}\,(Y)=a[{\text{E}}\,(Y)]^{p}}$、

ここで、aとpは正の定数です。この分散対平均べき乗則は物理学の文献では変動スケーリングとして知られており、^[2]生態学の文献ではテイラーの法則として知られています。^[3]

トゥイーディー分布によって支配され、ビン拡張法によって評価されるランダムシーケンスは、分散対平均べき乗則とべき乗法則の自己相関の間に双条件関係を示します。ウィーナー・ヒンチン定理はさらに、これらの条件下で分散対平均べき乗則を示すシーケンスはすべて1/fノイズも現れることを示唆しています。^[4]

トゥイーディー収束定理は、変動スケーリングと1/fノイズの広範な発現に対する仮説的な説明を提供します。 ^[5]本質的には、分散対平均べき乗則を漸近的に表す指数分散モデルは、トゥイーディーモデルの吸引領域内に入る分散関数を表現する必要があります。有限キュムラント生成関数を持つ分布関数のほとんどすべては指数分散モデルとして適格であり、ほとんどの指数分散モデルはこの形式の分散関数を表わします。したがって、多くの確率分布にはこの漸近的な動作を表現する分散関数があり、トゥイーディー分布はさまざまなデータタイプの収束の焦点になります。^[4]

中心極限定理では、ある種のランダム変数が収束の焦点としてガウス分布を持ち、ホワイトノイズを表現することを要求するのと同様に、トゥイーディー収束定理では、特定の非ガウスランダム変数が1/fノイズと変動スケーリングを表現することを要求する。 ^[4]

物理宇宙論では、宇宙マイクロ波背景の空間分布のパワースペクトルは、スケール不変関数に近い。数学ではこれはスペクトルがべき乗則であることを意味するが、宇宙論では「スケール不変」という用語は、波数kの関数としての原始的変動の振幅P ( k )がほぼ一定、つまり平坦なスペクトルであることを示す。このパターンは、宇宙インフレーションの提案と一致している。

古典的な場の理論は、一般的に、座標xに依存する場または場の集合 φによって記述されます。有効な場の構成は、 φについて微分方程式を解くことによって決定され、これらの方程式は場の方程式として知られています。

理論がスケール不変であるためには、その場の方程式は座標の再スケーリングと、指定された場の再スケーリングの組み合わせに対して不変でなければならない。

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x~,}$

${\displaystyle \varphi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\varphi ~.}$

パラメータ Δ は場のスケーリング次元として知られており、その値は検討中の理論によって異なります。スケール不変性は、理論に固定長スケールが出現しない限り、通常維持されます。逆に、固定長スケールが存在する場合、理論はスケール不変で はないことを示します。

スケール不変性の帰結として、スケール不変な場の方程式の解が与えられれば、座標と場の両方を適切に再スケールすることで、他の解を自動的に見つけることができる。技術的には、解 φ ( x )が与えられれば、常に次の形式の他の解が与えられる。

${\displaystyle \lambda ^{\Delta }\varphi (\lambda x).}$

特定の場の構成 φ ( x )がスケール不変であるためには、

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda ^{-\Delta }\varphi (\lambda x)}$

ここで、Δ は、フィールドの スケーリング次元です。

この条件はかなり制限的であることに注意してください。一般に、スケール不変な場の方程式の解でさえスケール不変ではなく、そのような場合には対称性が自発的に破れると言われています。

スケール不変な古典場の理論の一例は、電荷や電流のない電磁気学です。場は電場E ( x , t ) と磁場B ( x , t ) であり、その場の方程式はマクスウェル方程式です。

電荷や電流がない場合、これらの場の方程式は波動方程式の形をとる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\[6pt]\nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$

ここでc は光の速度です。

これらの場の方程式は変換に対して不変である。

${\displaystyle {\begin{aligned}x\rightarrow \lambda x,\\[6pt]t\rightarrow \lambda t.\end{aligned}}}$

さらに、マクスウェル方程式の解E ( x , t ) とB ( x , t ) が与えられれば、 E ( λ x , λt ) とB ( λ x , λt ) も解であることが証明されます 。

スケール不変な古典場の理論のもう一つの例は、質量のないスカラー場です（スカラーという名前はスケール不変性とは無関係であることに注意してください）。スカラー場φ ( x , t )は、空間変数の集合xと時間変数tの関数です。

まず線形理論を考えてみましょう。上記の電磁場方程式と同様に、この理論の運動方程式も波動方程式です。

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\varphi =0,}$

そして、変換に対して不変である

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \lambda t.}$

質量がないという名前は、場の方程式に項がないことを意味します。そのような項はしばしば「質量」項と呼ばれ、上記の変換の下で不変性を破ります。相対論的な場の理論では、質量スケールmは、 物理的には固定長スケールと等価です 。${\displaystyle \propto m^{2}\varphi }$

${\displaystyle L={\frac {\hbar }{mc}},}$

したがって、質量を持つスカラー場の理論がスケール不変で はないことは驚くべきことではありません。

上記の例の場の方程式はすべて場に対して線形であるため、スケーリング次元Δ はそれほど重要ではありません。ただし、通常はスカラー場の作用が無次元であることが要求され、これによりφのスケーリング次元が固定されます。特に、

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2}{2}},}$

ここで、D は空間次元と時間次元の合計数です。

φのこのスケーリング次元を考えると、スケール不変でもある質量ゼロのスカラー場理論の非線形修正がいくつかある。1つの例は、D = 4の質量ゼロのφ ⁴理論である。 場の方程式は

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\varphi +g\varphi ^{3}=0.}$

( φ ⁴という名前は、 φの 4 乗を含むラグランジアンの形式に由来していることに注意してください。)

D = 4（例えば、空間次元が3つ、時間次元が1つ）のとき 、スカラー場のスケーリング次元はΔ = 1である。場の方程式は変換に対して不変である。

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \lambda t,}$

${\displaystyle \varphi (x)\rightarrow \lambda ^{-1}\varphi (x).}$

重要な点は、パラメータg は無次元でなければならないということです。そうでない場合、理論に固定の長さのスケールが導入されます。φ ^{4理論の場合、これは}D = 4 の場合のみです。これらの変換では、関数φ の引数は変更されないことに注意してください。

量子場理論(QFT)のスケール依存性は、結合パラメータが特定の物理プロセスのエネルギースケールに依存することによって特徴付けられます。このエネルギー依存性は、繰り込み群によって記述され、理論の ベータ関数にエンコードされます。

QFTがスケール不変であるためには、その結合パラメータはエネルギースケールに依存しない必要があり、これは理論のベータ関数が消失することによって示される。このような理論は、対応する繰り込み群フローの固定点としても知られている。^[6]

スケール不変な QFT の簡単な例は、荷電粒子のない量子化された電磁場です。この理論には実際には結合パラメータがなく (光子は質量がなく相互作用しないため)、したがって古典理論と同様にスケール不変です。

しかし、自然界では、電磁場は電子などの荷電粒子と結合しています。光子と荷電粒子の相互作用を記述する QFT は量子電気力学(QED) であり、この理論はスケール不変ではありません。これは、QED のベータ関数からわかります。これは、電荷(理論の結合パラメータ) がエネルギーの増加とともに増加することを示しています。したがって、荷電粒子のない量子化された電磁場はスケール不変ですが、QED はスケール不変で はありません。

自由で質量のない量子化されたスカラー場理論には結合パラメータがありません。したがって、古典的なバージョンと同様に、スケール不変です。繰り込み群の言語では、この理論はガウス不動点として知られています。

しかし、古典的な質量ゼロのφ ^4理論はD = 4でスケール不変ですが 、量子化されたバージョンはスケール不変ではありません。これは、結合パラメータgのベータ関数からわかります。

量子化された質量ゼロのφ ⁴はスケール不変ではありませんが、ガウス不動点以外のスケール不変の量子化されたスカラー場理論は存在します。1つの例は、以下のウィルソン-フィッシャー不動点です。

スケール不変な QFT は、完全な共形対称性の下ではほぼ常に不変であり、そのような QFT の研究は共形場理論(CFT) です。CFTの演算子は、上で説明した古典場のスケーリング次元∆に類似した、明確に定義されたスケーリング次元 を持ちます。ただし、CFT の演算子のスケーリング次元は、通常、対応する古典理論の場のスケーリング次元とは異なります。CFT に現れる追加の寄与は、異常スケーリング次元として知られています。

上記のφ ⁴理論の例は、対応する古典的な場の理論がスケール不変（または共形不変）であっても、量子場の理論の結合パラメータがスケールに依存する可能性があることを示している。この場合、古典的なスケール（または共形）不変性は異常であると言われる。スケール不変性が量子効果によって破れる古典的なスケール不変の場の理論は、摂動論を通じて理論を研究できる限り、宇宙インフレーションと呼ばれる初期宇宙のほぼ指数関数的な膨張の説明を提供する。^[7]

統計力学では、システムが相転移を起こすと、その変動はスケール不変の統計場理論によって記述されます。 D空間次元で平衡状態にある（つまり時間に依存しない）システムの場合、対応する統計場理論は形式的にはD次元 CFT に類似しています。このような問題におけるスケーリング次元は通常、臨界指数と呼ばれ、原理的には適切な CFT でこれらの指数を計算できます。

この記事の多くのアイデアを結び付ける例として、強磁性体の単純なモデルであるイジングモデルの相転移が挙げられます。これは統計力学モデルであり、共形場理論による説明もあります。このシステムは、D次元の周期格子を形成する格子サイトの配列で構成されています。各格子サイトには磁気モーメント、つまりスピンが関連付けられており、このスピンは +1 または -1 のいずれかの値を取ることができます。(これらの状態はそれぞれアップとダウンとも呼ばれます。)

重要な点は、イジング モデルにはスピン間相互作用があり、2 つの隣接するスピンがエネルギー的に整列しやすいということです。一方、熱変動は通常、スピンの整列にランダム性をもたらします。ある臨界温度T _cでは、自発磁化が発生すると言われています。これは、T _c未満ではスピン間相互作用が優勢になり始め、2 つの方向のいずれかにスピンが正味で整列することを意味します。

この臨界温度で計算したい物理量の例としては、距離r離れたスピン間の相関関係が挙げられます。これは一般的に次のような動作をします。

${\displaystyle G(r)\propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}},}$

の特定の値に対して、これは臨界指数の一例です。 ${\displaystyle \eta}$

温度T _cでの揺らぎはスケール不変であるため、この相転移におけるイジング模型はスケール不変の統計場理論によって記述されると予想される。実際、この理論はウィルソン・フィッシャーの不動点、つまり特定のスケール不変スカラー場理論である。

この文脈では、G ( r ) はスカラー場の 相関関数として理解され、

${\displaystyle \langle \phi (0)\phi (r)\rangle \propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}}.}$

これで、すでに見てきたアイデアのいくつかを組み合わせることができます。

以上のことから、この相転移の臨界指数ηも異常次元であることがわかる。これは、スカラー場の古典次元である

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2}{2}}}$

次のように変更されます

${\displaystyle \Delta ={\frac {D-2+\eta }{2}},}$

ここで、D はイジングモデル格子の次元数です。

したがって、共形場理論におけるこの異常次元は、イジングモデルの相転移の特定の臨界指数と 同じです。

次元D ≡ 4− εの場合、ηはイプシロン展開を用いて近似的に計算することができ、次の式が得られる。

${\displaystyle \eta ={\frac {\epsilon ^{2}}{54}}+O(\epsilon ^{3})}$。

物理的に興味深い 3 次元空間の場合、ε =1 となるため、この展開は厳密には信頼できません。ただし、半定量的な予測では、ηは 3 次元では数値的に小さくなります。

一方、2次元の場合、イジングモデルは正確に解ける。特に、これはよく理解されているCFTの族である極小モデルの1つに相当し、 η（およびその他の臨界指数）を正確に 計算することが可能である。

${\displaystyle \eta _{_{D=2}}={\frac {1}{4}}}$。

特定の 2 次元 CFT の異常次元は、ランダム ウォークの一般的なフラクタル次元に関連付けることができます。ランダム ウォークは、シュラム - ローナー進化(SLE) によって定義されます。上で見たように、CFT は相転移の物理を記述するため、特定の相転移の臨界指数をこれらのフラクタル次元に関連付けることができます。例としては、2 d臨界イジング モデルや、より一般的な 2 d臨界ポッツ モデルなどがあります。他の 2 d CFT を SLE に関連付けることは、研究が活発に行われている分野です。

普遍性と呼ばれる現象は、さまざまな物理システムで見られます。これは、異なる微視的物理が相転移で同じスケーリング挙動を引き起こす可能性があるという考えを表しています。普遍性の標準的な例としては、次の 2 つのシステムがあります。

• 上で説明したイジングモデルの相転移。
• 古典流体における液体-気体転移。

これら 2 つのシステムの微視的物理は完全に異なりますが、それらの臨界指数は同じであることがわかります。さらに、同じ統計場理論を使用してこれらの指数を計算することができます。重要な観察は、相転移または臨界点では、すべての長さスケールで変動が発生するため、現象を説明するにはスケール不変の統計場理論を探す必要があるということです。ある意味で、普遍性とは、そのようなスケール不変の理論が比較的少ないという観察です。

同じスケール不変理論によって記述される異なるミクロ理論の集合は、普遍性クラスとして知られています。普遍性クラスに属するシステムの他の例は次のとおりです。

• 砂の山での雪崩。雪崩の発生確率は雪崩の規模に比例し、あらゆる規模の雪崩が発生することが分かっています。
• インターネット上のネットワーク停止の頻度（規模と期間の関数として）。
• すべての論文におけるすべての引用のネットワークで考慮されるジャーナル記事の引用頻度。特定の論文の引用数の関数として。^{[引用が必要]}
• 鋼鉄から岩石、紙に至るまでのさまざまな材料における亀裂や裂け目の形成と伝播。裂け目の方向の変化、または破断面の粗さは、サイズスケールのべき乗法則に比例します。
• 誘電体の電気的破壊。亀裂や裂け目に似ています。
• 流体が無秩序な媒体を透過すること。たとえば、石油が岩盤の亀裂を通過するときや、水がクロマトグラフィーなどで濾紙を通過するときなど。べき乗法則は、流量と亀裂の分布を結び付けます。
• 溶液中の分子の拡散、および拡散制限凝集現象。
• 振動している集合混合物（岩石に重力が作用している）内の異なるサイズの岩石の分布。

重要な観察は、これらすべての異なるシステムについて、その動作が相転移に似ており、統計力学の言語とスケール不変の統計場理論がそれらを記述するために適用できる可能性があるということです。

特定の状況下では、流体力学はスケール不変の古典場理論である。場とは、流体の流れの速度、流体の密度、流体の圧力である。これらの場は、ナビエ・ストークス方程式と連続方程式の両方を満たさなければならない。ニュートン流体の場合、これらはそれぞれ次の形式をとる 。${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t)}$

$${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\rho \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =-\nabla P+\mu \left( \nabla ^{2}\mathbf {u} +{\frac {1}{3}}\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \右)\右)}$$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)=0}$

ここで、動粘度は です。 ${\displaystyle \mu }$

これらの方程式のスケール不変性を導くために、流体の圧力と流体の密度を関係付ける状態方程式を指定します。状態方程式は、流体の種類と流体が受ける条件によって異なります。たとえば、等温 理想気体を考えます。これは 、

${\displaystyle P=c_{s}^{2}\rho ,}$

ここで、は流体中の音速である。この状態方程式が与えられた場合、ナビエ・ストークス方程式と連続方程式は変換に対して不変である。 ${\displaystyle c_{s}}$

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \lambda ^{2}t,}$

${\displaystyle \rho \rightarrow \lambda ^{-1}\rho ,}$

${\displaystyle \mathbf {u} \rightarrow \lambda ^{-1}\mathbf {u} .}$

解とが与えられれば、とも解であることが自動的に分かります 。 ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \lambda \mathbf {u} (\lambda \mathbf {x} ,\lambda ^{2}t)}$${\displaystyle \lambda \rho (\lambda \mathbf {x} ,\lambda ^{2}t)}$

コンピュータビジョンと生物学的視覚では、透視画像マッピングと、世界の中で物理的に異なる大きさの物体が存在するために、スケーリング変換が生じる。これらの分野では、スケール不変性とは、画像領域内の局所スケールが変更されても不変なままである局所画像記述子または画像データの視覚表現を指す。^[8] 正規化された微分応答のスケール上で局所最大値を検出することで、画像データからスケール不変性を取得するための一般的な枠組みが提供される。^{[9] [10]} 応用例としては、ブロブ検出、コーナー検出、リッジ検出、スケール不変特徴変換による物体認識などがある。

• 不変量（数学）
• 逆二乗ポテンシャル
• べき乗則
• スケールフリーネットワーク

• ジン・ジャスティン、ジーン（2002）。『量子場の理論と臨界現象』オックスフォード大学出版局。量子および統計場の理論におけるスケール不変性、臨界現象への応用、イプシロン展開、および関連するトピックに関する広範な議論。
• DiFrancesco, P.; Mathieu, P.; Senechal, D. (1997).共形場理論. Springer-Verlag.
• Mussardo, G. (2010).統計場理論. 統計物理学の厳密に解かれたモデルの紹介. オックスフォード大学出版局.