行列の対数

数学において、行列の対数とは、後者の行列の行列指数が元の行列と等しい別の行列のことです。したがって、これはスカラー対数の一般化であり、ある意味では行列指数の逆関数です。すべての行列が対数を持つわけではなく、対数を持つ行列は複数の対数を持つ場合があります。行列の対数の研究はリー理論につながります。これは、行列が対数を持つ場合、それはリー群の要素にあり、対数はリー代数のベクトル空間の対応する要素であるためです。

行列 Aの指数は 次のように定義される 。

${\displaystyle e^{A}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}}$。

行列Bが与えられたとき、 e ^A = Bならば、別の行列A はBの行列対数であると言われます。

指数関数は複素数（例えば）に対しては一対一ではないため、数は複数の複素対数を持つことができ、その結果、いくつかの行列は複数の対数を持つことがあります（以下で説明します）。 の行列対数が存在し、それが一意である場合、それは と書き表されます。${\displaystyle e^{\pi i}=e^{3\pi i}=-1}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \log B,}$${\displaystyle e^{\log B}=B.}$

Bが単位行列に十分近い場合、 Bの対数はべき級数によって計算できる。

${\displaystyle \log(B)=\log(I+(BI))=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}} (BI)^{k}=(BI)-{\frac {(BI)^{2}}{2}}+{\frac {(BI)^{3}}{3}}-\cdots }$、

これは次のように書き直すことができる。

${\displaystyle \log(B)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(IB)^{k}}{k}}=-(IB)-{\frac {(IB)^{2}}{2}}-{\frac {(IB)^{3}}{3}}-\cdots }$。

具体的には、の場合、前の級数は収束し、 となる。^[1]${\displaystyle \left\|IB\right\|<1}$${\displaystyle e^{\log(B)}=B}$

平面上の回転は簡単な例である。原点の周りの 角度αの回転は2×2行列で表される。

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cos(\alpha )&-\sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\\\end{pmatrix}}.}$

任意の整数nに対して、行列

${\displaystyle B_{n}=(\alpha +2\pi n){\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}},}$

はAの対数です。

したがって、行列A には無限の対数が存在します。これは、回転角度が 2 πの倍数までしか決定されないという事実に対応しています。

リー理論の言語では、回転行列Aはリー群SO(2)の要素です。対応する対数B は、すべての歪対称行列からなるリー代数 so(2) の要素です。行列

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix}}}$

はリー代数so(2) の生成元である。

行列が対数を持つかどうかという疑問は、複素数の設定で考えると最も簡単に答えられます。複素行列が対数を持つのは、それが逆行列である場合のみです。^[2]対数は一意ではありませんが、行列に負の実数固有値がない場合、すべての固有値がストリップ 内にある一意の対数が存在します。この対数は主対数として知られています。^[3]${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \ \vert \ -\pi <{\textit {Im}}\ z<\pi \}}$

答えは実数設定でより複雑になります。実数行列が実対数を持つのは、それが逆行列で、負の固有値に属する各ジョルダン ブロックが偶数回出現する場合のみです。^[4]逆行列がジョルダン ブロックの条件を満たさない場合、実数でない対数しか持たなくなります。これはスカラーの場合にすでに確認できます。対数のどの枝も -1 で実数になることはできません。実数 2×2 行列の実数行列対数の存在については、後のセクションで説明します。

AとBが両方とも正定値行列である場合、

${\displaystyle \operatorname {tr} {\log {(AB)}}=\operatorname {tr} {\log {(A)}}+\operatorname {tr} {\log {(B)}}.}$

AとBが可換であると仮定すると、 AB = BAとなります。

${\displaystyle \log {(AB)}=\log {(A)}+\log {(B)}}$

であるとき、かつその場合に限り、 はの固有値であり、はの対応する固有値である。^[5]特に、AとBが可換であり、両方とも正定値である場合。この式で B = A ^{−1とすると、}${\displaystyle \operatorname {arg} (\mu _{j})+\operatorname {arg} (\nu _{j})\in (-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle \mu _{j}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \nu _{j}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \log(AB)=\log(A)+\log(B)}$

${\displaystyle \log {(A^{-1})}=-\log {(A)}.}$

同様に、非可換なおよびについては、^[6]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \log {(A+tB)}=\log {(A)}+t\int _{0}^{\infty }dz~{\frac {I}{A+zI}}B{\frac {I}{A+zI}}+O(t^{2}).}$

より一般的には、の累乗の級数展開は、対数の積分定義を使用して得られる。 ${\displaystyle \log {(A+tB)}}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \log {(X+\lambda I)}-\log {(X)}=\int _{0}^{\lambda }dz{\frac {I}{X+zI}},}$

との限界の両方に適用されます。 ${\displaystyle X=A}$${\displaystyle X=A+tB}$${\displaystyle \lambda \rightarrow \infty }$

³における回転 R∈SO (3)は3×3直交行列で与えられる。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

このような回転行列Rの対数は、軸角度で明示的に、 ロドリゲスの回転公式の反対称部分から簡単に計算できます。これは、最小フロベニウスノルムの対数を生成しますが、Rの固有値が -1 に等しく、これが一意でない場合は失敗します。

さらに、回転行列AとBが与えられている場合、

${\displaystyle d_{g}(A,B):=\|\log(A^{\text{T}}B)\|_{F}}$

回転行列の 3D 多様体上の測地線距離です。

対角化可能な行列Aのlog A を求める方法は次のとおりです。

Aの固有ベクトルの行列Vを求めます ( Vの各列はAの固有ベクトルです)。

Vの逆関数 V ^{−1 を}求めます。

させて

${\displaystyle A'=V^{-1}AV.}$

すると、A ′ は対角要素がAの固有値である対角行列になります。

A ′の各対角要素をその（自然）対数に置き換えて を取得します。${\displaystyle \log A'}$

それから

${\displaystyle \log A=V(\log A')V^{-1}.}$

Aが実数であってもAの対数が複素行列になる可能性があるということは、実数と正の要素を持つ行列が負の固有値や複素固有値を持つ可能性があるという事実から導かれます (これは、たとえば回転行列に当てはまります)。行列の対数が一意でないことは、複素数の対数が一意でないことから導かれます。

上で示したアルゴリズムは、次のような対角化不可能な行列には機能しません。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$

このような行列の場合、ジョルダン分解を見つける必要があり、上記のように対角要素の対数を計算するのではなく、ジョルダンブロックの対数を計算します。

後者は、ジョルダンブロックを次のように書けることに気づくことで達成される。

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&0&\cdots &0\\0&0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&0&\lambda \\\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}1&\lambda ^{-1}&0&0&\cdots &0\\0&1&\lambda ^{-1}&0&\cdots &0\\0&0&1&\lambda ^{-1}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&1&\lambda ^{-1}\\0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}=\lambda (I+K)}$

ここで、K は主対角線上と主対角線下にゼロを持つ行列です。(対数を取る行列が逆行列であるという仮定により、数 λ はゼロ以外になります。)

そして、メルカトル級数によって

${\displaystyle \log(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }$

一つは

${\displaystyle \log B=\log {\big (}\lambda (I+K){\big )}=\log(\lambda I)+\log(I+K)=(\log \lambda )I+K-{\frac {K^{2}}{2}}+{\frac {K^{3}}{3}}-{\frac {K^{4}}{4}}+\cdots }$

この級数には有限個の項（m がKの次元以上の場合はK ^mはゼロ）があるため、その和は明確に定義されます。

例：このアプローチを使用すると、

${\displaystyle \log {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},}$

これは、右辺を行列指数に代入することで確認できます。 $${\displaystyle \exp {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}=I+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{\frac {1}{2}}\underbrace {{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}^{2}} _{=0}+\cdots ={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$$

正方行列はユークリッド空間R ⁿ上の線形演算子を表します。ここでn は行列の次元です。このような空間は有限次元なので、この演算子は実際には有界です。

正則関数計算のツールを使用すると、複素平面上の開集合上で定義された正則関数 fと有界線形演算子Tが与えられると、f がTのスペクトル上で定義されている限り、f ( T ) を計算できます。

関数f ( z ) = log zは、原点を含まない複素平面上の任意の単連結開集合上で定義でき、そのような領域上で正則です。これは、 Tのスペクトルが原点を含まず、原点から無限大に向かう経路がTのスペクトルを横切らない限り、ln T を定義できることを意味します (たとえば、 Tのスペクトルが原点を内部に含む円である場合、ln T を定義することは不可能です)。

R ⁿ上の線形演算子のスペクトルは、その行列の固有値の集合であり、有限集合です。原点がスペクトル内にない限り (行列は可逆)、前の段落のパス条件は満たされ、ln T は明確に定義されます。行列の対数が一意でないことは、行列の固有値の集合で定義される対数の複数の枝を選択できるという事実から生じます。

リー群の理論では、リー代数から対応するリー群Gへの指数写像が存在する。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\rightarrow G.}$

行列リー群では、およびGの元は正方行列であり、指数写像は行列指数によって与えられる。逆写像は多値であり、ここで議論されている行列対数と一致する。対数はリー群Gからリー代数 に写像する。指数写像は、零行列の近傍Uと単位行列 の近傍Vの間の局所微分同相写像であることに注意する。^[7] したがって、（行列）対数は写像として明確に定義される。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \log =\exp ^{-1}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\underline {0}}\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\underline {1}}\in G}$

${\displaystyle \log :G\supset V\rightarrow U\subset {\mathfrak {g}}.}$

ヤコビの公式の重要な帰結は

${\displaystyle \log(\det(A))=\mathrm {tr} (\log A)~.}$

2 × 2 実行行列が負の行列式を持つ場合、実対数は存在しません。まず、任意の 2 × 2 実行行列は、複素数z = x + y εの 3 つのタイプのいずれかと見なすことができることに注意してください。ここで、 ε ² ∈ { −1, 0, +1 }。このz は、行列環の複素部分平面上の点です。^[8]

行列式が負になるケースは、ε ² =+1 の平面、つまり分割複素数平面でのみ発生します。この平面の 1 つの 4 分の 1 だけが指数写像の像であるため、対数はその 4 分の 1 (象限) でのみ定義されます。他の 3 つの象限は、ε と -1 によって生成されるクラインの 4 元群の下でのこの象限の像です。

例えば、a = log 2とすると、cosh a = 5/4、sinh a = 3/4となる。行列の場合、これは次のことを意味する。

${\displaystyle A=\exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh a&\sinh a\\\sinh a&\cosh a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.25&0.75\\0.75&1.25\end{pmatrix}}}$。

この最後の行列は対数である

${\displaystyle \log A={\begin{pmatrix}0&\log 2\\\log 2&0\end{pmatrix}}}$。

ただし、これらの行列には対数がありません。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3/4&5/4\\5/4&3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-3/4&-5/4\\-5/4&-3/4\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}-5/4&-3/4\\-3/4&-5/4\end{pmatrix}}}$。

これらは、対数を持つ上記の行列の 4 群によって他の 3 つの共役を表します。

特異でない 2 × 2 行列は必ずしも対数を持つわけではありませんが、4 元群によって対数を持つ行列と共役になります。

また、例えば、この行列Aの平方根は、 (log A )/2 を累乗することで直接得られる。

${\displaystyle {\sqrt {A}}={\begin{pmatrix}\cosh((\log 2)/2)&\sinh((\log 2)/2)\\\sinh((\log 2)/2)&\cosh((\log 2)/2)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1.06&0.35\\0.35&1.06\end{pmatrix}}~.}$

より豊富な例として、ピタゴラス数列( p,q,r ) から始めて、a = log( p + r ) − log qとします。すると、

${\displaystyle e^{a}={\frac {p+r}{q}}=\cosh a+\sinh a}$。

今

${\displaystyle \exp {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r/q&p/q\\p/q&r/q\end{pmatrix}}}$。

したがって

${\displaystyle {\tfrac {1}{q}}{\begin{pmatrix}r&p\\p&r\end{pmatrix}}}$

対数行列を持つ

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a\\a&0\end{pmatrix}}}$ 、

ここでa = log( p + r ) − log qです。

• 行列関数
• 行列の平方根
• 行列指数
• ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの式
• 指数写像の微分

• ガントマッハー、フェリックス・R.（1959）「行列の理論」第1巻、ニューヨーク：チェルシー、pp. 239-241。
• ホール、ブライアン C. (2015)、リー群、リー代数、および表現の初等入門、Graduate Texts in Mathematics、第 222 巻 (第 2 版)、Springer、ISBN 978-3319134666
• カルバー、ウォルター J. (1966)、「行列の実対数の存在と一意性について」、アメリカ数学会紀要、17 (5): 1146–1151、doi : 10.1090/S0002-9939-1966-0202740-6、ISSN  0002-9939。
• ハイアム、ニコラス（2008）、行列の関数。理論と計算、SIAM、ISBN 978-0-89871-646-7。
• Engø, Kenth (2001 年 6 月)、「so(3) における BCH 式について」、BIT Numerical Mathematics、41 (3): 629–632、doi :10.1023/A:1021979515229、ISSN  0006-3835、S2CID  126053191