大数の法則

確率論において、大数の法則（LLN）は、多数の独立したランダムサンプルから得られた結果の平均は、真の値が存在する場合、その真の値に収束するという数学的法則です。 ^[1]より正式には、LLNは、独立した同一に分布する値のサンプルが与えられた場合、サンプル平均は真の平均に収束すると述べています。

LLN が重要なのは、いくつかのランダムな イベントの平均について安定した長期的結果を保証するためです。^{[1] [2]}たとえば、カジノはルーレットを 1 回回すだけでお金を失う可能性がありますが、多数のスピンを回すと収益は予測可能な割合に近づく傾向があります。プレーヤーの連勝は、最終的にはゲームのパラメータによって打ち負かされます。重要なのは、この法則が (名前が示すように)多数の観測が考慮される場合にのみ適用されることです。少数の観測が期待値と一致する、または 1 つの値の連勝が他の連勝によってすぐに「バランスが取れる」という原則はありません (ギャンブラーの誤謬を参照)。

LLN は、繰り返し試行して得られた結果の平均にのみ適用され、この平均が期待値に収束すると主張します。n 個の結果の合計が、 n が増加するにつれて期待値のn倍に近づくとは主張しません。

歴史を通じて、多くの数学者がこの法則を改良してきました。今日、LLNは統計学、確率論、経済学、保険など多くの分野で使用されています。^[3]

たとえば、公平な 6 面サイコロを 1 回振ると、1、2、3、4、5、6 のいずれかの数字が、それぞれ等しい確率で出ます。したがって、サイコロを振った回数の平均の 期待値は次のようになります。

$${\displaystyle {\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5}$$

大数の法則によれば、6面サイコロを大量に振ると、その値の平均（標本平均と呼ばれることもある）は3.5に近づき、サイコロを振る回数が増えるにつれて精度が増します。

大数の法則から、一連のベルヌーイ試行における経験的成功確率は理論的な確率に収束することがわかります。ベルヌーイ乱数変数の場合、期待値は理論的な成功確率であり、そのような変数n個 (独立かつ同一に分布している (iid) と仮定)の平均は、まさに相対頻度です。

たとえば、公平なコイン投げはベルヌーイ試行です。公平なコインを 1 回投げた場合、結果が表になる理論上の確率は1 ⁄ 2です。したがって、大数の法則によれば、「多数」のコイン投げにおける表の割合は、およそ1 ⁄ 2になる「はずです」 。特に、n回投げた後の表の割合は、 n が無限大に近づくにつれて、ほぼ確実に1 ⁄ 2に収束します。

表（および裏）の割合は1 ⁄ 2に近づきますが、コイントスの回数が増えるにつれて、表と裏の数の絶対差はほぼ確実に大きくなります。つまり、コイントスの回数が増えるにつれて、絶対差が小さい数である確率は 0 に近づきます。また、コイントスの回数に対する絶対差の比率もほぼ確実に 0 に近づきます。直感的には、予想される差は大きくなりますが、コイントスの回数よりも遅い速度で大きくなります。

LLNのもう一つの良い例はモンテカルロ法です。これらの方法は、数値結果を得るために繰り返しランダムサンプリングに依存する計算 アルゴリズムの広範なクラスです。繰り返し回数が多いほど、近似値が良くなる傾向があります。この方法が重要な主な理由は、他のアプローチを使用することが困難または不可能な場合があるためです。^[4]

多数の試行から得られた結果の平均は、場合によっては収束しないことがあります。たとえば、コーシー分布または一部のパレート分布(α<1)から取得したn個の結果の平均は、 n が大きくなっても収束しません。その理由は、裾が重いためです。^[5]コーシー分布とパレート分布は 2 つのケースを表します。コーシー分布には期待値がありませんが、^{[6]パレート分布 (} α <1)の期待値は無限大です。 ^[7]コーシー分布の例を生成する 1 つの方法は、乱数が-90° から +90° の間に均一に分布する角度の正接に等しい場合です。 ^[8]中央値は0 ですが、期待値は存在せず、実際、そのような変数n個の平均は、そのような変数 1 個と同じ分布を持ちます。nが無限大になって も、確率的に 0 (または他の値) に収束することはありません。

そして、人間の経済的/合理的行動に典型的な選択バイアスが試行に埋め込まれている場合、大数の法則はバイアスの解決に役立ちません。試行回数を増やしても、選択バイアスは残ります。

イタリアの数学者ジェロラモ・カルダーノ（1501–1576）は、経験的統計の精度は試行回数が増えるにつれて向上する傾向があることを、証明なしに述べた。^{[9] [3]}これはその後、大数の法則として形式化された。LLN の特別な形式（バイナリランダム変数用）は、ヤコブ・ベルヌーイによって初めて証明された。^{[10] [3]}十分に厳密な数学的証明を開発するのに彼は20年以上を要し、それは1713年に彼の著書「推測の技術」で発表された。彼はこれを「黄金定理」と名付けたが、一般的には「ベルヌーイの定理」として知られるようになった。これは、ヤコブ・ベルヌーイの甥ダニエル・ベルヌーイにちなんで名付けられたベルヌーイの原理と混同してはならない。 1837年、SDポアソンはこれを「大数の法則」という名前でさらに説明しました。^{[11] [12] [3]}その後、両方の名前で知られるようになりましたが、「大数の法則」が最も頻繁に使用されています。

ベルヌーイとポアソンが成果を発表した後、チェビシェフ、^[13]、 マルコフ、ボレル、カンテリ、コルモゴロフ、ヒンチンなど他の数学者もこの法則の改良に貢献した。^[3]マルコフは、この法則が、他のより弱い仮定の下では有限分散を持たないランダム変数に適用できることを示し、ヒンチンは1929年に、系列が独立かつ同一に分布するランダム変数で構成されている場合、大数の弱法則が成り立つためには期待値が存在するだけで十分であることを示した。 ^{[14] [15]}これらのさらなる研究により、LLNの2つの主要な形式が生まれた。1つは「弱い」法則、もう1つは「強い」法則と呼ばれ、累積サンプル平均が期待値に収束する2つの異なるモードを指している。特に、以下で説明するように、強い形式は弱い法則を意味する。^[14]

大数の法則には、以下で説明する2つの異なるバージョンがあります。これらは、大数の強い法則と大数の弱い法則と呼ばれています。^{[16] [1]} X ₁、X ₂ 、...が、期待値E( X ₁ ) = E( X ₂ ) = ... = μを持つ、独立かつ同一分布（iid）のルベーグ積分可能ランダム変数の無限列である場合に述べられる法則のどちらのバージョンも、サンプル平均は

$${\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})}$$

期待値に収束します。

（X _jのルベーグ積分可能性は、期待値 E( X _j ) がルベーグ積分に従って存在し、有限であることを意味します。関連する確率測度がルベーグ測度に関して絶対連続であることを意味するものではありません。）

確率論の入門書では、さらに、すべての に対して同一の有限分散 と、ランダム変数間の相関がないことを仮定することが多い。その場合、n 個のランダム変数の平均の分散は、 ${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}}$${\displaystyle i}$

$${\displaystyle \operatorname {Var} ({\overline {X}}_{n})=\operatorname {Var} ({\tfrac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n}))={\frac {1}{n^{2}}}\operatorname {Var} (X_{1}+\cdots +X_{n})={\frac {n\sigma ^{2}}{n^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.}$$

これは証明を短縮し、簡素化するために使用できる。この有限分散の仮定は必須ではない。大きな分散や無限分散は収束を遅くするが、いずれにしてもLLNは成立する。^[17]

確率変数の相互独立性は、両方の法則のバージョンにおいて、 ペアワイズ独立性^[18]または交換可能性^{[19]に置き換えることができる。}

強いバージョンと弱いバージョンの違いは、主張される収束のモードに関係しています。これらのモードの解釈については、「ランダム変数の収束」を参照してください。

大数の弱い法則（キンチンの法則とも呼ばれる）は、有限平均を持つランダム変数から独立かつ同一分布（iid）のサンプルの集合が与えられた場合、サンプル平均は確率的に期待値に収束することを述べている^[20]

つまり、任意の正の数εに対して、

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\overline {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}$$

この結果を解釈すると、弱い法則は、指定された非ゼロのマージン ( ε ) がどれだけ小さくても、十分に大きなサンプルがあれば、観測値の平均が期待値に近くなる可能性、つまりマージン内になる可能性が非常に高いことを示しています。

前述のように、弱い法則は iid ランダム変数の場合に適用されますが、他の場合にも適用されます。たとえば、分散は系列内の各ランダム変数で異なり、期待値は一定に保たれます。分散が有界であれば、 1867 年にチェビシェフによって示されたように、法則が適用されます。(系列の途中で期待値が変化する場合は、それぞれの期待値からの平均偏差に法則を単純に適用できます。法則は、これが確率的にゼロに収束することを述べています。) 実際、チェビシェフの証明は、最初のn値の平均の分散がn が無限大になるにつれてゼロになる限り有効です。^[15]例として、系列内の各ランダム変数が平均がゼロで分散が に等しく、有界ではないガウス分布(正規分布) に従うと仮定します。各段階で、平均は正規分布します (正規分布する変数のセットの平均として)。和の分散は分散の和に等しく、に漸近します。したがって、平均の分散は に漸近し、ゼロに近づきます。 ${\displaystyle 2n/\log(n+1)}$${\displaystyle n^{2}/\log n}$${\displaystyle 1/\log n}$

期待値が存在しない場合でも弱い法則が適用される例もあります。

大数の強い法則（コルモゴロフの法則とも呼ばれる）は、サンプル平均がほぼ確実に期待値に収束することを述べている^[21]

つまり、

$${\displaystyle \Pr \!\left(\lim _{n\to \infty }{\overline {X}}_{n}=\mu \right)=1.}$$

これは、試行回数nが無限大に近づくにつれて、観測値の平均が期待値に収束する確率が1に等しいことを意味します。強い法則の現代の証明は弱い法則の証明よりも複雑であり、適切な部分列への移行に依存しています。^[17]

大数の強い法則は、それ自体が点ごとのエルゴード定理の特殊なケースと見ることができます。この見方は、繰り返しサンプリングされたランダム変数の期待値（ルベーグ積分のみ）を「長期平均」として直感的に解釈することを正当化します。

法則 3 は、強く収束する (ほぼ確実に) ランダム変数は弱く収束することが保証されているため、強い法則と呼ばれます。ただし、強い法則が成立しない特定の条件では弱い法則が成立することが知られており、その場合、収束は弱いものになります (確率的に)。弱い法則と強い法則の違いを参照してください。

強い法則は、期待値を持つ独立した同一分布のランダム変数に適用されます（弱い法則と同様）。これは1930年にコルモゴロフによって証明されました。他のケースにも適用できます。コルモゴロフは1933年に、変数が独立かつ同一分布している場合、平均がほぼ確実に何かに収束するためには（これは強い法則の別のステートメントと考えることができます）、変数が期待値を持っていることが必要であること（そしてもちろん平均はその期待値にほぼ確実に収束する）を示しました。^[22]

加数が独立だが同一分布でない場合、

ただし、各X _kは有限の2次モーメントを持ち、

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\operatorname {Var} [X_{k}]<\infty .}$$

この命題はコルモゴロフの強い法則として知られています。例えば、Sen & Singer (1993、定理 2.3.10) を参照してください。

弱い法則は、指定された大きなnに対して、平均はμに近くなる可能性が高いことを述べています。^[23]したがって、まれな間隔ではありますが、無限回発生する可能性が残されています。（必ずしもすべてのnに対してそうであるとは限りません）。 ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$${\displaystyle |{\overline {X}}_{n}-\mu |>\varepsilon }$${\displaystyle |{\overline {X}}_{n}-\mu |\neq 0}$

強法則は、これがほぼ確実に起こらないことを示しています。これは、確率1で、任意のε >0に対して不等式が十分に大きいすべてのnに対して成立することを意味しません。なぜなら、収束は必ずしもそれが成立する集合上で一様ではないからです。^[24]${\displaystyle |{\overline {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon }$

以下の場合には強い法則は成立しないが、弱い法則は成立する。^{[25] [26]}

大数の法則には、推定量の集合への拡張があり、その場合、収束は集合全体にわたって均一になります。そのため、大数の均一法則と呼ばれます。

f ( x , θ ) がθ ∈ Θに対して定義され、θで連続する関数であるとします。すると、任意の固定θに対して、シーケンス { f ( X ₁ , θ ), f ( X ₂ , θ ), ...} は、独立した同一分布のランダム変数のシーケンスとなり、このシーケンスのサンプル平均は確率的に E[ f ( X , θ )] に収束します。これが点ごとの収束 ( θ内)です。

大数の一様法則の特定の例は、θにおいて一様に収束する条件を述べている。^{[29] [30]}

1. Θはコンパクトであり、
2. f ( x , θ ) は、ほぼすべてのxに対して各θ ∈ Θで連続であり、各θでxの測定可能な関数です。
3. 支配関数d ( x )が存在し、E[ d ( X )]<∞であり、$${\displaystyle \left\|f(x,\theta )\right\|\leq d(x)\quad {\text{for all}}\ \theta \in \Theta .}$$

このときE[ f ( X , θ )]はθに関して連続であり、

$${\displaystyle \sup _{\theta \in \Theta }\left\|{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(X_{i},\theta )-\operatorname {E} [f(X,\theta )]\right\|{\overset {\mathrm {P} }{\rightarrow }}\ 0.}$$

この結果は、大規模なクラスの推定値の一貫性を導き出すのに役立ちます (極値推定値を参照)。

エミール・ボレルにちなんで名付けられたボレルの大数の法則は、ある実験が同一条件下で独立に多数回繰り返された場合、特定のイベントが発生すると予想される回数の割合は、特定の試行でイベントが発生する確率にほぼ等しくなることを述べています。繰り返し回数が多いほど、近似値が良くなる傾向があります。より正確には、Eが問題のイベント、pがその発生確率、N _n ( E )が最初のn回の試行でEが発生する回数を表す場合、確率1で、^[31] $${\displaystyle {\frac {N_{n}(E)}{n}}\to p{\text{ as }}n\to \infty .}$$

この定理は、確率を、ある事象の発生の長期的な相対頻度の予測値として直感的に理解できる概念を厳密化したものです。これは、確率論における大数のより一般的な法則の特殊なケースです。

チェビシェフの不等式。Xを有限の期待値μと有限の非ゼロ分散σ2^を持つランダム変数とする。すると、任意の実数k > 0に対して、

$${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}.}$$

X ₁、X _{2 、... が有限の期待値を持つ}iidランダム変数の無限シーケンスである場合、サンプル平均の収束に興味があります。 ${\displaystyle E(X_{1})=E(X_{2})=\cdots =\mu <\infty }$

$${\displaystyle {\overline {X}}_{n}={\tfrac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n}).}$$

大数の弱い法則は次のように述べます。

この証明では有限分散 の仮定を用いる（すべての に対して）。ランダム変数の独立性はそれらの間に相関がないことを示唆しており、 ${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}}$${\displaystyle i}$

$${\displaystyle \operatorname {Var} ({\overline {X}}_{n})=\operatorname {Var} ({\tfrac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n}))={\frac {1}{n^{2}}}\operatorname {Var} (X_{1}+\cdots +X_{n})={\frac {n\sigma ^{2}}{n^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.}$$

シーケンスの共通平均 μ はサンプル平均の平均です。

$${\displaystyle E({\overline {X}}_{n})=\mu .}$$

チェビシェフの不等式を用いると、 ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$

$${\displaystyle \operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|\geq \varepsilon )\leq {\frac {\sigma ^{2}}{n\varepsilon ^{2}}}.}$$

これを使用して、次のものを取得できます。

$${\displaystyle \operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|<\varepsilon )=1-\operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|\geq \varepsilon )\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}}{n\varepsilon ^{2}}}.}$$

nが無限大に近づくと、式は1に近づく。そして確率収束の定義により、次の式が得られる。

複素関数に対するテイラーの定理によれば、有限平均μを持つ任意の確率変数Xの特性関数は次のように表される。

$${\displaystyle \varphi _{X}(t)=1+it\mu +o(t),\quad t\rightarrow 0.}$$

X ₁、X ₂ 、 ... はすべて同じ特性関数を持つため、これを単にφ _Xと表記します。

特性関数の基本的な性質には、

$${\displaystyle \varphi _{{\frac {1}{n}}X}(t)=\varphi _{X}({\tfrac {t}{n}})\quad {\text{and}}\quad \varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)\quad }$$XとYが独立している場合。

これらの規則は、 φ _Xに関して の特性関数を計算するために使用できます。 ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$

$${\displaystyle \varphi _{{\overline {X}}_{n}}(t)=\left[\varphi _{X}\left({t \over n}\right)\right]^{n}=\left[1+i\mu {t \over n}+o\left({t \over n}\right)\right]^{n}\,\rightarrow \,e^{it\mu },\quad {\text{as}}\quad n\to \infty .}$$

極限e ^{itμ は}定数確率変数 μ の特性関数であり、したがってレヴィ連続定理により、分布的にμ に収束します。 ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$

$${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\,{\overset {\mathcal {D}}{\rightarrow }}\,\mu \qquad {\text{for}}\qquad n\to \infty .}$$

μは定数であり、分布のμへの収束と確率のμへの収束は同等であることを意味する（ランダム変数の収束を参照）。したがって、

これは、原点が存在する限り、標本平均が原点における特性関数の導関数に確率的に収束することを示しています。

がiid、、、およびであるという仮定の下で、強法則の比較的簡単な証明を示します。 ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle {\mathbb {E} }[X_{i}]=:\mu <\infty }$${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}<\infty }$${\displaystyle {\mathbb {E} }[X_{i}^{4}]=:\tau <\infty }$

まず、一般性を失うことなく、中心化によって仮定できることに注目しましょう。この場合、強い法則は次のように言います。 ${\displaystyle \mu =0}$

$${\displaystyle \Pr \!\left(\lim _{n\to \infty }{\overline {X}}_{n}=0\right)=1,}$$ または を示すことと同等です 。 であることに留意してください。 したがって、強法則を証明するには、任意の に対して を示す必要があります。 イベント を定義し、 を示すことができれば、 ボレル-カンテリの補題から結果が導かれます。 を推定してみましょう。 $${\displaystyle \Pr \left(\omega :\lim _{n\to \infty }{\frac {S_{n}(\omega )}{n}}=0\right)=1.}$$$${\displaystyle \Pr \left(\omega :\lim _{n\to \infty }{\frac {S_{n}(\omega )}{n}}\neq 0\right)=0,}$$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {S_{n}(\omega )}{n}}\neq 0\iff \exists \epsilon >0,\left|{\frac {S_{n}(\omega )}{n}}\right|\geq \epsilon \ {\mbox{infinitely often}},}$$${\displaystyle \epsilon >0}$$${\displaystyle \Pr \left(\omega :|S_{n}(\omega )|\geq n\epsilon {\mbox{ infinitely often}}\right)=0.}$$${\displaystyle A_{n}=\{\omega :|S_{n}|\geq n\epsilon \}}$$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pr(A_{n})<\infty ,}$$${\displaystyle \Pr(A_{n})}$

を計算します。 まず、すべての下付き文字が異なる 形式の各項の期待値は必ずゼロになると主張します。これは、独立性により、および最後の項がゼロになるためです。他の項についても同様です。したがって、合計で期待値がゼロでない項は、およびのみです。は同一に分布しているので、これらはすべて同じであり、さらに です。 $${\displaystyle {\mathbb {E} }[S_{n}^{4}]={\mathbb {E} }\left[\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)^{4}\right]={\mathbb {E} }\left[\sum _{1\leq i,j,k,l\leq n}X_{i}X_{j}X_{k}X_{l}\right].}$$${\displaystyle X_{i}^{3}X_{j},X_{i}^{2}X_{j}X_{k},X_{i}X_{j}X_{k}X_{l}}$${\displaystyle {\mathbb {E} }[X_{i}^{3}X_{j}]={\mathbb {E} }[X_{i}^{3}]{\mathbb {E} }[X_{j}]}$${\displaystyle {\mathbb {E} }[X_{i}^{4}]}$${\displaystyle {\mathbb {E} }[X_{i}^{2}X_{j}^{2}]}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle {\mathbb {E} }[X_{i}^{2}X_{j}^{2}]=({\mathbb {E} }[X_{i}^{2}])^{2}}$

形式の項と形式の項があり、したがって 右辺は の2次多項式であり、したがって が十分に大きい場合に となるような が存在することに注意してください。マルコフによれば、 が十分に大きい 場合に となり、したがってこの級数は加算可能です。これは任意の に対して成り立つため、強い LLN を確立しました。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathbb {E} }[X_{i}^{4}]}$${\displaystyle 3n(n-1)}$${\displaystyle ({\mathbb {E} }[X_{i}^{2}])^{2}}$$${\displaystyle {\mathbb {E} }[S_{n}^{4}]=n\tau +3n(n-1)\sigma ^{4}.}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle C>0}$${\displaystyle {\mathbb {E} }[S_{n}^{4}]\leq Cn^{2}}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \Pr(|S_{n}|\geq n\epsilon )\leq {\frac {1}{(n\epsilon )^{4}}}{\mathbb {E} }[S_{n}^{4}]\leq {\frac {C}{\epsilon ^{4}n^{2}}},}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle \epsilon >0}$

もう一つの証明はエテマディによって示された。^[32]

有限の第4モーメントという仮定を加えない証明については、ビリングスリーの第22節を参照のこと。^[33]

大数の法則は、数列の実現から未知の分布の期待値を提供するだけでなく、確率分布の任意の特徴も提供します。^[1]ボレルの大数の法則を適用することで、確率質量関数を簡単に得ることができます。客観的な確率質量関数の各イベントについて、イベントの発生確率を、指定されたイベントが発生する回数の割合で近似することができます。繰り返し回数が多いほど、近似値は高くなります。連続的なケースについては、小さい正のhに対して です。したがって、nが大きい場合は次のようになります。 ${\displaystyle C=(a-h,a+h]}$

$${\displaystyle {\frac {N_{n}(C)}{n}}\thickapprox p=P(X\in C)=\int _{a-h}^{a+h}f(x)\,dx\thickapprox 2hf(a)}$$

この方法を使用すると、x軸全体をグリッド（グリッドサイズ2h）で覆い、ヒストグラムと呼ばれる棒グラフを取得できます。

LLNの応用例の1つは、モンテカルロ法と呼ばれる重要な近似法である^[3]。これは、数値のランダムサンプリングを使用して数値結果を近似する。区間[a,b]上のf(x)の積分を計算するアルゴリズムは次の通りである。^[3]

1. ソフトウェアを使用して実行できる一様乱数変数 X ₁、X ₂、...、X _nをシミュレートし、[0,1]上の独立した同一分布（iid）乱数変数U ₁、U ₂、...、U _nを与える乱数表を使用します。次に、i = 1、2、...、nに対してX _i = a+(b - a)U _{iとします。すると、X 1}、X ₂、...、X _{n は}、[a、b]上の独立した同一分布の一様乱数変数になります。
2. f(X ₁ )、f(X ₂ )、...、f(X _n )を評価する
3. _{f(X 1} )、f(X ₂ )、...、f(X _n )の平均を計算し、大数の強い法則により、これは= =に収束します。${\displaystyle (b-a){\tfrac {f(X_{1})+f(X_{2})+...+f(X_{n})}{n}}}$${\displaystyle (b-a)E(f(X_{1}))}$${\displaystyle (b-a)\int _{a}^{b}f(x){\tfrac {1}{b-a}}{dx}}$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x){dx}}$

[-1,2]の積分を求めることができます。この積分を従来の方法で計算するのは非常に難しいため、ここではモンテカルロ法を使用することができます。^[3]上記のアルゴリズムを使用すると、 ${\displaystyle f(x)=cos^{2}(x){\sqrt {x^{3}+1}}}$

${\displaystyle \int _{-1}^{2}f(x){dx}}$ = n=25のとき0.905

そして

${\displaystyle \int _{-1}^{2}f(x){dx}}$ = n=250のとき1.028

nが増加すると数値も増加することがわかります。積分の実際の結果を得ると、次のようになります。

${\displaystyle \int _{-1}^{2}f(x){dx}}$= 1.000194

LLNを使用すると、積分の近似値は真の値に近くなり、より正確になりました。^[3]

もう一つの例は、[0,1]におけるf(x) = の積分である。 ^[34]モンテカルロ法とLLNを使用すると、サンプル数が増えるにつれて数値が0.4180233に近づくことがわかる。^[34]${\displaystyle {\frac {e^{x}-1}{e-1}}}$

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• 「大数の法則」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Weisstein、Eric W.「大数の弱い法則」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「大数の強い法則」。MathWorld。
• Yihui Xie によるRパッケージ animation を使用した大数の法則のアニメーション
• アップルのCEOティム・クックは、統計学者がうんざりするような発言をした。「我々は大数の法則のような法則を信じていません。これは、誰かがでっち上げた、古い教義のようなものだと思います」とティム・クックは言い、次のように続けた。「しかし、大数の法則は、大企業、大収益、大成長率とは何の関係もありません。大数の法則は、確率論と統計学の基本的な概念であり、計算できる理論上の確率と、経験的に行う実験の実際の結果を結び付けます」とBusiness Insiderは説明した。