べき乗則

統計学において、べき乗法則とは、2つの量の間の関数関係を表すもので、一方の量の相対的な変化が、他方の量の相対的な変化を定数乗した値に比例させる関係を指します。つまり、一方の量が他方の量のべき乗として変化するということです。この変化は、それぞれの量の初期値には依存しません。

例えば、正方形の面積は辺の長さに比例し、辺の長さが2倍になると面積は2²倍になり^、辺の長さが3倍になると面積は3²倍になる^、といった具合です。^{[ 1 ]}

さまざまな物理的、生物学的、および人為的な現象の分布は、広範囲の規模にわたっておおよそべき乗則に従います。これには、月のクレーターや太陽フレアの大きさ^{[ 2 ]}、雲の大きさ^[ 3]、さまざまな種の採餌パターン^{[ 4 ]} 、神経細胞集団の活動パターンの大きさ^{[ 5 ]}、ほとんどの言語の単語の頻度、姓の頻度、生物の系統群の種の豊富さ^{[ 6 ]} 、停電や火山噴火の規模^{[ 7 ]} 、刺激強度の人間の判断^{[ 8 ] [ 9 ]}、その他多くの量^{[ 10 ]が含まれます。経験的分布は、限られた範囲の値に対してのみべき乗則に適合できます。}なぜなら、純粋なべき乗則では、任意の大小の値を許容してしまうからです。 音響減衰は、^多くの複雑な媒体の広い周波数帯域内で周波数べき乗則に従います。生物学的変数間の関係を表すアロメトリースケーリング法則は、自然界で最もよく知られているべき乗法則関数の一つである。

べき乗則関係に対する科学的関心は、特定の一般的なメカニズムクラスがそれらを容易に生成できることに一部起因している。^{[ 15 ]}あるデータにおけるべき乗則関係の実証は、問題となっている自然現象の根底にある可能性のある特定の種類のメカニズムを指し示すことができ、他の一見無関係なシステムとの深いつながりを示すことができる。^{[ 16 ]}上記の普遍性も参照。物理学におけるべき乗則関係の遍在性は、次元制約に一部起因しているが、複雑系では、べき乗則は階層構造または特定の確率過程の兆候であると考えられることが多い。べき乗則の注目すべき例としては、所得分布のパレートの法則、フラクタルの構造的自己相似性、生物システムのスケーリング法則、都市のスケーリング法則などがある。べき乗則関係の起源に関する研究、および現実世界でそれらを観察・検証する取り組みは、物理学、コンピュータ科学、言語学、地球物理学、神経科学、系統学、社会学、経済学など、多くの科学分野で活発に研究されているテーマである。

しかし、近年のべき乗則への関心の多くは、確率分布の研究に由来しています。様々な量の分布は、少なくともその上側（大きな事象）においては、べき乗則の形に従うように見えます。これらの大きな事象の挙動は、これらの量を大偏差理論（極値理論とも呼ばれる）の研究と結びつけます。大偏差理論は、株式市場の暴落や大規模な自然災害といった極めてまれな事象の頻度を考察するものです。「べき乗則」という名称は、主に統計分布の研究において用いられています。

経験的な文脈では、べき乗則の近似${\displaystyle o(x^{k})}$多くの場合、偏差項が含まれる${\displaystyle \varepsilon }$これは、観測値の不確実性（おそらく測定誤差やサンプリング誤差）を表すか、観測値がべき乗則関数から逸脱する簡単な方法（おそらく確率的な理由による）を提供する可能性がある。

$$\displaystyle y=ax^{k}+\varepsilon .}$$

数学的には、厳密なべき乗則は確率分布にはなり得ないが、切り捨てられたべき乗関数である分布は可能である。${\displaystyle p(x)=Cx^{-\alpha }}$のために${\displaystyle x>x_{\text{min}}}$指数${\displaystyle \alpha }$（ギリシャ文字のアルファ。スケーリング係数と混同しないように。）${\displaystyle a}$（上記で使用）が 1 より大きい場合（そうでない場合、尾部の面積は無限大になる）、最小値${\displaystyle x_{\text{min}}}$そうでなければ、 x が0 に近づくにつれて分布の面積が無限大になるため、 が必要です。定数Cは、確率分布で要求されるように、総面積が 1 になるようにするためのスケーリング係数です。より一般的には、漸近べき乗則（極限でのみ成り立つ法則）が使用されます。詳細については、以下のべき乗則確率分布を参照してください。通常、指数は の範囲に収まります。${\displaystyle 2<\alpha <3}$ただし、常にそうとは限らない。^{[ 10 ]}

バリエーション

破れたべき乗則

分割べき乗則は、2 つ以上のべき乗則と閾値を組み合わせた区分的関数です。たとえば、2 つのべき乗則の場合：^{[ 49 ]}

$${\displaystyle f(x)\propto x^{\alpha _{1}}}$$のために${\displaystyle x<x_{\text{th}}}$、 $${\displaystyle f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}{\text{ for }}x>x_{\text{th}}.}$$

滑らかに破れたべき乗則

不完全なべき乗則の断片を滑らかにつなぎ合わせることで、滑らかに不完全なべき乗則を構築することができる。

べき乗則を組み合わせる方法はいくつかあります。一例として、次の方法があります。^{[ 50 ]}$${\displaystyle \ln \left({\frac {y}{y_{0}}}+a\right)=c_{0}\ln \left({\frac {x}{x_{0}}}\right)+\sum _{i=1}^{n}{\frac {c_{i}-c_{i-1}}{f_{i}}}\ln \left(1+\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{f_{i}}\right)}$$どこ${\displaystyle 0<x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}}$。

関数を横軸が の対数-対数グラフとしてプロットすると、${\displaystyle \ln x}$垂直軸は${\displaystyle \ln(y/y_{0}+a)}$プロットは以下で構成されています${\displaystyle n+1}$傾斜のある直線セグメント${\displaystyle c_{0},c_{1},\dots ,c_{n}}$分離${\displaystyle x=x_{1},\dots ,x_{n}}$滑らかに接合されています。${\displaystyle f_{i}}$セグメント間の接合の鮮明さを決定する${\displaystyle i-1,i}$。

指数関数的カットオフを持つべき乗則（切断べき乗則）

指数関数カットオフを持つべき乗則は、単純にべき乗則に指数関数を掛けたものです。^{[ 10 ]}

$${\displaystyle f(x)\propto x^{-\alpha }e^{-\beta x}.}$$

曲線べき乗則

$${\displaystyle f(x)\propto x^{\alpha +\beta x}}$$^{[ 51 ]}

より広い意味では、べき乗則確率分布とは、密度関数（または離散的な場合は質量関数）が、大きな値に対して次の形式をとる分布のことである。${\displaystyle x}$[ ^{52 ]​}

$${\displaystyle P(X>x)\sim L(x)x^{-(\alpha -1)}}$$

どこ${\displaystyle \alpha >1}$、 そして${\displaystyle L(x)}$は緩やかに変化する関数であり、これは以下の条件を満たす任意の関数である。${\textstyle \lim _{x\to \infty }L(rx)/L(x)=1}$あらゆる肯定的な要因${\displaystyle r}$この特性は${\displaystyle L(x)}$次の要件から直接導かれる${\displaystyle p(x)}$漸近的にスケール不変である。したがって、${\displaystyle L(x)}$下側の尾部の形状と有限の範囲のみを制御します。たとえば、${\displaystyle L(x)}$が定数関数である場合、 のすべての値に対して成り立つべき乗則が得られます。${\displaystyle x}$多くの場合、下限を仮定すると都合が良い。${\displaystyle x_{\mathrm {分} }}$そこから法律が成り立つ。これら2つの事例を組み合わせると、${\displaystyle x}$は連続変数であり、べき乗則はパレート分布の形をとる。

$${\displaystyle p(x)={\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha },}$$

前因子が${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}}$は正規化定数です。ここで、この分布のいくつかの性質を考察してみましょう。例えば、そのモーメントは次のように与えられます。

$${\displaystyle \mathbb {E} \left(X^{m}\right)=\int _{x_{\min }}^{\infty }x^{m}p(x)\,\mathrm {d} x={\frac {\alpha -1}{\alpha -1-m}}x_{\min }^{m}}$$

これは、${\displaystyle m<\alpha -1}$つまり、すべての瞬間${\displaystyle m\geq \alpha -1}$分岐する:${\displaystyle \alpha \leq 2}$平均およびすべての高次モーメントは無限大です。${\displaystyle 2<\alpha <3}$平均は存在するが、分散や高次のモーメントは無限大になる、など。このような分布から抽出された有限サイズのサンプルでは、​​この挙動は、発散するモーメントの中心モーメント推定値（平均や分散など）が決して収束しないことを意味します。つまり、データが増えるにつれて、それらは増え続けます。このようなべき乗則確率分布は、パレート型分布、パレート裾を持つ分布、または規則的に変化する裾を持つ分布とも呼ばれます。

上記の一般形式を満たさない指数カットオフによる修正^{[ 10 ]}は

$${\displaystyle p(x)\propto L(x)x^{-\alpha }\mathrm {e} ^{-\lambda x}.}$$

この分布では、指数関数的減衰項${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\lambda x}}$最終的には、非常に大きな値でべき乗則の挙動を圧倒します${\displaystyle x}$この分布はスケーリングしないため、漸近的にはべき乗則にはならない。ただし、カットオフ前の有限領域では近似的にスケーリングする。上記の純粋な形式はこの族のサブセットであり、${\displaystyle \lambda =0}$この分布は、有限サイズ効果を自然に捉えることができるため、漸近べき乗則分布の一般的な代替手段となっている。

トゥイーディー分布は、加法的畳み込みと再帰的畳み込み、およびスケール変換の下で閉包性を持つ統計モデルのファミリーです。したがって、これらのモデルはすべて、分散と平均の間にべき乗則の関係を表します。これらのモデルは、中心極限定理における正規分布の役割と同様に、数学的収束の焦点として基本的な役割を果たします。この収束効果は、生態学におけるテイラーの法則や物理学におけるゆらぎスケーリング^{[ 53 ]}のように、分散と平均のべき乗則が自然界のプロセスで広く現れる理由を説明します。また、ビンを拡張する方法によって示されるこの分散と平均のべき乗則は、 1/ fノイズの存在を意味し、1/ fノイズはこのトゥイーディー収束効果の結果として発生する可能性があることも示せます。^{[ 54 ]}

識別のための図解法

より洗練された堅牢な方法が提案されているが、ランダムサンプルを使用してべき乗則確率分布を識別するために最も頻繁に使用されるグラフ的方法は、パレート分位点-分位点プロット（またはパレートQ-Qプロット） ^{[ 55 ]}、平均残存寿命プロット^{[ 56 ] [ 57 ]}、および対数-対数プロットである。別のより堅牢なグラフ的方法は、残差分位関数のバンドルを使用する。^{[ 58 ]} （べき乗則分布はパレート型分布とも呼ばれることに留意してください。）ここでは、確率分布からランダムサンプルが得られ、分布の裾がべき乗則に従うかどうか（言い換えれば、分布が「パレート裾」を持つかどうか）を知りたいと仮定する。ここで、ランダムサンプルは「データ」と呼ばれる。

パレートQ-Qプロット

パレートQ-Qプロットは、対数変換したデータの分位点を、平均1の指数分布の対応する分位点（または標準パレート分布の分位点）と比較し、前者を後者に対してプロットします。結果として得られる散布図が、プロットされた点が漸近的に直線に収束することを示唆する場合、べき乗則分布が疑われます。パレートQ-Qプロットの限界は、裾指数が小さい場合に挙動が悪くなることです。${\displaystyle \alpha }$（パレート指数とも呼ばれる）は0に近い値になります。これは、パレートQ-Qプロットが裾野が緩やかに変化する分布を識別するように設計されていないためです。^{[ 58 ]}

平均残存寿命プロット

一方、べき乗則確率分布を識別するための平均残存寿命プロットでは、まずデータを対数変換し、次にi番目の順序統計量よりも高い対数変換されたデータの平均をi番目の順序統計量に対してプロットします（i  =  1,  ..., n、nはランダムサンプルのサイズ）。結果として得られる散布図が、プロットされた点が水平な直線の周りに安定する傾向があることを示唆する場合、べき乗則分布が疑われます。平均残存寿命プロットは外れ値に非常に敏感であるため（頑健ではない）、通常は解釈が難しいプロットが生成されます。このため、このようなプロットは通常、ヒルホラープロットと呼ばれます。^{[ 59 ]} 

対数-対数プロット

対数-対数プロットは、ランダムサンプルを使用して分布の裾をグラフで調べる別の方法です。${\displaystyle f(x)=ax^{k}}$結果: ^{[ 60 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\log(f(x))&=\log(ax^{k})\\&=\log(a)+\log(x^{k})\\&=\log(a)+k\cdot \log(x),\end{aligned}}}$$

傾きのある直線を形成する${\displaystyle k}$対数-対数スケールで。ただし、対数-対数プロットは必要ではあるが、べき乗則関係の十分な証拠にはならないため、注意が必要です。多くの非べき乗則分布は対数-対数プロット上で直線として現れるからです。^{[ 10 ] [ 61 ]}この方法は、分布の特定の数値が発生する確率の推定量の対数を、その特定の数値の対数に対してプロットすることから成ります。通常、この推定量は、データセットでその数値が発生する割合です。プロットの点が x 軸の大きな数値に対して直線に収束する傾向がある場合、研究者は分布がべき乗則の裾を持っていると結論付けます。これらのタイプのプロットの適用例が発表されています。^{[ 62 ]}これらのプロットの欠点は、信頼できる結果を得るためには、膨大な量のデータが必要であることです。さらに、離散的（またはグループ化された）データにのみ適しています。

バンドルプロット

ランダムサンプルを使用してべき乗則確率分布を識別するための別のグラフィカルな方法が提案されています。^{[ 58 ]}この方法は、対数変換されたサンプルのバンドルをプロットすることから成ります。もともとランダムサンプルを使用してモーメントの存在とモーメント生成関数を探索するためのツールとして提案されたバンドル方法は、残差分位関数（RQF）、または残差パーセンタイル関数と呼ばれるものに基づいています。^{[ 63 ] [ 64 ] [ 65 ] [ 66 ] [ 67 ] [ 68 ] [ 69 ]}これは、べき乗則分布、他のタイプの重い裾を持つ分布、さらには重い裾を持たない分布を含む、多くのよく知られた確率分布の裾の挙動を完全に特徴付けます。バンドルプロットには、上記のパレートQ-Qプロット、平均残存寿命プロット、およびlog-logプロットの欠点はありません（外れ値に対して頑健であり、小さな値を持つべき乗則を視覚的に識別できます）。${\displaystyle \alpha }$また、多くのデータ収集を必要としません。さらに、バンドルプロットを使用すると、他のタイプのテール挙動を特定できます。

べき乗則の関係は多くの理論的な理由から魅力的ですが、データが実際にべき乗則の関係に従うことを示すには、特定のモデルをデータに当てはめるだけでは不十分です。^{[ 34 ]}これは、分布を生み出すメカニズムを理解する上で重要です。表面上は類似した分布でも、大きく異なる理由で発生する可能性があり、異なるモデルは外挿などの異なる予測をもたらします。

例えば、対数正規分布はべき乗則分布と間違われることが多いです。^{[ 72 ]}。確率密度関数の対数を取ると、対数正規分布には定数、対数、対数二乗の項があります。平均が小さく分散が大きい場合、対数二乗の項の前の定数は非常に小さくなります。その場合、分布の大部分では、対数-対数プロット上で線形になります。対数二乗の項が顕著になり、べき乗則ではないことを示すのは、極端な値の場合のみです。

例えば、比例成長過程に関するジブラの法則は、対数正規分布を生成しますが、その対数-対数プロットは限られた範囲で直線に見えます。これを説明すると、対数正規密度関数の対数はlog( x ) の二次式であるため、対数-対数プロットでは「弓形」になりますが、二次項が線形項に比べて小さい場合、結果はほぼ直線に見えることがあります。対数正規分布の挙動は、二次項が支配的な場合にのみ確認でき、そのためにはかなり多くのデータが必要になる場合があります。したがって、わずかに下向きに「弓形」になっている対数-対数プロットは、べき乗則ではなく、対数正規分布を反映している可能性があります。

一般的に、多くの代替関数形式は、ある程度べき乗則形式に従うように見えることがあります。^{[ 73 ]} Stumpf & Porter (2012)は、経験累積分布関数を log-log 領域でプロットすることを提案し、候補となるべき乗則は少なくとも 2 桁の範囲をカバーする必要があると主張しました。^{[ 74 ]}また、研究者は通常、現実世界の確率分布がべき乗則に従うかどうかを判断するという問題に直面しなければなりません。この問題の解決策として、Diaz ^{[ 58 ]}は、さまざまなタイプの裾の挙動を視覚的に区別できるランダムサンプルに基づくグラフィカルな方法論を提案しました。この方法論は、残差分位関数の束、つまりパーセンタイル残余寿命関数と呼ばれるものを使用し、重い裾と重くない裾の両方を含む、さまざまなタイプの分布の裾を特徴付けます。しかし、Stumpf & Porter (2012) は、データ生成プロセスを駆動する基礎的なメカニズムでべき乗則を支持するためには、統計的および理論的な背景の両方が必要であると主張しました。^{[ 74 ]}

べき乗則関係を検証する一つの方法は、特定の生成メカニズムの多くの直交予測をデータに対してテストすることです。単に特定の種類のデータにべき乗則関係を当てはめることは、合理的なアプローチとは考えられていません。そのため、べき乗則の主張の検証は、現代科学の多くの分野で非常に活発な研究分野であり続けています。^{[ 10 ]}

注記

参考文献

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• 「金融の専門家はいかにリスクを完全に誤解しているか」ブノワ・マンデルブロ＆ナシーム・ニコラス・タレブ著。『フォーチュン』誌、2005年7月11日号。
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• ブノワ・マンデルブロ＆リチャード・ハドソン：市場の不規則な振る舞い（2004年）
• フィリップ・ボール著『クリティカル・マス：一つのことが次のことにつながる仕組み』（2005年）
• エコノフィジックスブログからの「べき乗法則の暴政」
• パワー法則が成り立つと思っているなら、それは特別なことではないでしょうか？これは、カーネギーメロン大学の統計学教授であるコスマ・シャリジのブログ「スリー・トゥ・ナマケモノ」からの抜粋です。
• データにべき乗則分布（存在する場合）が存在するかどうかを視覚的に示すためにデータをビン分割するシンプルなMATLABスクリプト。
• Erdős Webgraph Server は、ダウンロード ページでウェブグラフの次数分布を視覚化します。