対数-対数プロット

科学および工学において、対数グラフまたは対数プロットは、水平軸と垂直軸の両方に対数スケールを使用する数値データの2次元グラフです。べき関数– 形式の関係$\displaystyle y=ax^{k}}$対数グラフでは直線として表され、指数は傾き、係数は切片に対応します。したがって、これらのグラフはこれらの関係を認識し、パラメータを推定するのに非常に役立ちます。対数には任意の底を使用できますが、最も一般的には底10（常用対数）が使用されます。

単項式方程式が与えられた場合${\displaystyle y=ax^{k},}$この方程式の対数（底は任意）を取ると、次のようになります。 $${\displaystyle \log y=k\log x+\log a.}$$

設定${\displaystyle X=\log x}$そして${\displaystyle Y=\log y,}$これは対数-対数グラフの使用に対応し、次の式が得られる。 $${\displaystyle Y=mX+b}$$

ここで、m  = kは直線の傾き (勾配) であり、b = log aは (log y ) 軸上の切片、つまり log x = 0 のときの値です。したがって、対数を反転すると、a はx = 1に対応するy値になります。 ^{[ 1 ]}          

対数-対数スケール上の直線の式は次のようになります。 $${\displaystyle \log _{10}F(x)=m\log _{10}x+b,}$$$${\displaystyle F(x)=x^{m}\cdot 10^{b},}$$ ここで、 mは傾き、bは対数グラフ上の切片である。

対数-対数グラフの傾き

グラフの傾きを求めるには、x軸上の2点（例えばx1とx2 _）を選択します。以下の式を使用します _。$${\displaystyle \log[F(x_{1})]=m\log(x_{1})+b,}$$ そして $${\displaystyle \log[F(x_{2})]=m\log(x_{2})+b.}$$ 傾きmは、差分を取ることで求められます。 $${\displaystyle m={\frac {\log(F_{2})-\log(F_{1})}{\log(x_{2})-\log(x_{1})}}={\frac {\log(F_{2}/F_{1})}{\log(x_{2}/x_{1})}},}$$ ここで、F _1はF ( x ₁ )の略記、 F _2はF ( x ₂ )の略記です。右の図は、この式を示しています。図の例では傾きが負になっていることに注目してください。この式も負の傾きを示します。これは、対数の次の性質からもわかります。 $${\displaystyle \log(x_{1}/x_{2})=-\log(x_{2}/x_{1}).}$$

対数-対数プロットは、（おおよそ）対数正規分布または対数ロジスティック分布に従う誤差を持つ対数-対数線形回帰モデルを視覚化するためによく使用されます。このようなモデルでは、従属変数と独立変数を対数変換した後、単純な線形回帰モデルを当てはめることができ、誤差は等分散になります。このモデルは、指数関数的な増加または減少を示すデータを扱う場合に役立ちますが、独立変数の値が増加するにつれて誤差も増加し続けます（つまり、異分散誤差）。

上記のように、対数-対数線形モデルでは、変数間の関係はべき乗則で表されます。独立変数が1単位変化するごとに、従属変数は一定のパーセント変化を示します。このモデルは次のように表されます。

${\displaystyle y=a\cdot x^{b}\cdot e^{\epsilon }}$

両辺の対数を取ると、次の式が得られます。

${\displaystyle \log(y)=\log(a)+b\cdot \log(x)+\epsilon }$

これは対数に関する線形方程式です${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$、 と${\displaystyle \log(a)}$切片として、${\displaystyle b}$傾斜として。${\displaystyle \epsilon \sim {\textrm {Normal}}(\mu ,\sigma ^{2})}$、 そして${\displaystyle e^{\epsilon }\sim {\textrm {Log-Normal}}(\mu ,\sigma ^{2})}$。

図1は、この様子を示しています。10,000個のシミュレーションデータを用いて生成された2つのグラフを示しています。左側のグラフは「対数正規ノイズを伴う凹線」と題され、観測データ（y）と独立変数（x）の散布図を示しています。赤い線は「中央値線」、青い線は「平均値線」を表しています。このグラフは、変数間にべき乗則の関係があるデータセットを示しており、凹線で表されています。

図1の右側のグラフ「正規ノイズを伴う対数-対数線形線」に示すように、両方の変数を対数変換すると、関係は線形になります。このグラフは、観測データと独立変数の散布図も表示していますが、両方の軸が対数スケールになっています。ここでは、平均値と中央値の線は同じ（赤色の）線です。この変換により、単純な線形回帰モデルを当てはめることができます（その後、中央値の線のように元のスケールに戻すことができます）。

図1の左側のグラフから右側のグラフへの変換は、対数変換がデータ内のノイズの分布に及ぼす影響も示しています。左側のグラフでは、ノイズは対数正規分布に従っているように見えますが、これは右に歪んでおり、扱いが難しい場合があります。一方、右側のグラフでは、対数変換後、ノイズは正規分布に従っているように見え、これは理解しやすく、モデル化も容易です。

このノイズの正規化については、図2でさらに詳しく分析します。図2は、 x軸上のサイズ28のスライディングウィンドウ上で計算された3つの誤差指標（平均絶対誤差- MAE、二乗平均平方根誤差- RMSE、平均絶対対数誤差- MALE）の線グラフを示しています。y軸は、独立変数（x）に対してプロットされた誤差を表します。各誤差指標は異なる色で表され、対応する平滑化された線が元の線に重ねて表示されます（これはシミュレーションデータであるため、誤差推定値は多少変動します）。これらの誤差指標は、異なるx値間で変化するノイズの尺度を提供します。

対数-対数線形モデルは、経済学、生物学、物理学など、多くの現象がべき乗則に従う様々な分野で広く用いられています。また、対数変換によって分散を安定させることができるため、異分散性データを扱う回帰分析においても有用です。

これらのグラフは、数値データからパラメータaとbを推定する必要がある場合に役立ちます。このような仕様は経済学で頻繁に用いられます。

一例として、在庫理論に基づく貨幣需要関数の推定があり、その場合、時刻tにおける貨幣需要は次のように与えられる と仮定できる。$${\displaystyle M_{t}=AR_{t}^{b}Y_{t}^{c}U_{t},}$$ ここで、 Mは一般市民が保有する実質貨幣量、 Rは貨幣に対する利回りを上回る代替的な高利回り資産の利回り、 Yは一般市民の実質所得、Uは対数正規分布に従うと仮定される誤差項、Aは推定すべき尺度パラメータ、 bとcは推定すべき弾力性パラメータである。対数を取ると、 $${\displaystyle m_{t}=a+br_{t}+cy_{t}+u_{t},}$$ ここで、m = log M、a = log A、r = log R、y = log Y、u = log Uであり、 u は正規分布に従う。この方程式は、最小二乗法を用いて推定することができる。

もう一つの経済学的例としては、企業のコブ・ダグラス生産関数の推定が挙げられます。これは、方程式の右辺にあたります。 $${\displaystyle Q_{t}=AN_{t}^{\alpha }K_{t}^{\beta }U_{t},}$$ ここで、Qは 1 か月あたりに生産できる生産量、Nは 1 か月あたりに生産に投入される労働時間数、Kは 1 か月あたりに利用される物的資本時間数、Uは対数正規分布に従うと仮定される誤差項、A は、${\displaystyle \alpha }$、 そして${\displaystyle \beta }$これらは推定すべきパラメータです。対数を取ると線形回帰方程式が得られます。 $${\displaystyle q_{t}=a+\alpha n_{t}+\beta k_{t}+u_{t}}$$ ここで、 q = log Q、a = log A、n = log N、k = log K、u = log Uである。

対数-対数回帰は、自然界に存在するフラクタルのフラクタル次元を推定するためにも使用できます。

しかし、逆の方向、つまりデータが対数-対数スケール上で近似的な直線として現れることを観察し、データがべき乗則に従うと結論付けることは、常に妥当とは限らない。^{[ 2 ]}

実際、他の多くの関数形式は対数-対数スケールでほぼ線形に見えるため、対数データに対する線形回帰の適合度を決定係数（R ²）で単純に評価することは、ガウス誤差などの線形回帰モデルの仮定が満たされない可能性があるため、無効となる可能性があります。さらに、対数-対数形式の適合テストは、他の真の関数形式が存在する場合にべき乗則を棄却する可能性が低いため、統計的検出力が低い可能性があります。単純な対数-対数プロットは、可能性のあるべき乗則を検出するのに役立つ可能性があり、 1890年代のパレート以来使用されてきましたが、べき乗則としての検証には、より高度な統計が必要です。^{[ 2 ]}

これらのグラフは、制御変数を指数関数に沿って変化させてデータを収集する場合にも非常に役立ちます。この場合、制御変数x は対数スケールで表現する方が自然であり、データポイントが低端で圧縮されるのではなく、均等な間隔で配置されます。出力変数y は、線形に表現してlin–log グラフ(log x , y ) を得ることも、その対数を取って log–log グラフ (log x , log y ) を得ることもできます。   

ボード線図（システムの周波数応答を示すグラフ）もまた、対数-対数線図である。

化学反応速度論において、反応速度の濃度依存性の一般的な形式はべき乗則（質量作用の法則）の形をとるため、実験から反応パラメータを推定するには対数-対数プロットが有用である。

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