黄金比

黄金比は無理数です。以下に、無理数であることの簡単な証明を2つ示します。

最も簡単な表現からの矛盾

これは無限降下法による証明です。次のことを思い出してください。

全体は長い部分と短い部分の合計であり、 全体と長い部分の関係は、長い部分と短い部分の関係に等しい。

全体を と呼ぶ場合${\displaystyle n}$そして長い部分${\displaystyle m}$⁠、すると上記の2番目の文は次のようになります

⁠${\displaystyle n}$⁠は⁠${\displaystyle m}$⁠として⁠${\displaystyle m}$⁠は⁠${\displaystyle nm}$⁠ .

黄金比とは${\displaystyle \varphi }$合理的とは、${\displaystyle \varphi }$分数です​${\displaystyle n/m}$どこで​${\displaystyle n}$そして​​${\displaystyle m}$は整数です。${\displaystyle n/m}$最低限の条件で、${\displaystyle n}$そして​​${\displaystyle m}$ポジティブに。しかし、もし${\displaystyle n/m}$は最小単位で表され、次に同等の価値を持つ⁠${\displaystyle m/(nm)}$は、さらに低い用語で表されます。これは、次の仮定から導かれる矛盾です。${\displaystyle \varphi }$合理的である。

黄金比は有理係数多項式の根であるため、代数的数です。その最小多項式、つまり黄金比を根とする整数係数多項式の次数が最小のものは、$${\displaystyle x^{2}-x-1.}$$この二次多項式には2つの根があります。${\displaystyle \varphi }$そして​​${\displaystyle \textstyle -\varphi ^{-1}}$この多項式の最高次係数は 1なので、両方の根は代数的整数です。黄金比もこの多項式と密接に関係しています。${\displaystyle \textstyle x^{2}+x-1}$⁠、それはルーツを持つ⁠${\displaystyle -\varphi }$そして​​${\displaystyle \textstyle \varphi ^{-1}}$⁠ .

黄金比${\displaystyle \varphi }$は二次体の基本単位である${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$⁠、時には黄金領域とも呼ばれる。この領域では、任意の要素を の形式で記述することができる。${\displaystyle r+s\varphi }$⁠、有理係数付き⁠${\displaystyle r}$そして​​${\displaystyle s}$⁠ ; このような数はノルムを持ちます⁠${\displaystyle \textstyle r^{2}+rs-s^{2}}$⁠ .その他の単位、標準付き⁠${\displaystyle \pm 1}$⁠ 、は⁠の正と負の力です${\displaystyle \varphi }$この体における二次整数は環を形成し、すべて次の形式の数である。${\displaystyle a+b\varphi }$どこで​${\displaystyle a}$そして​​${\displaystyle b}$は整数です。 ^{[ 38 ]}

黄金比は二次多項式の根として、構成可能な数である。^{[ 39 ]}

最小多項式の共役根${\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1}$⁠は

$${\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.618033\dots .}$$

この量の絶対値（${\displaystyle 0.618\ldots }$⁠ ) は、逆順で取った長さの比率 (短いセグメントの長さ / 長いセグメントの長さ、 ⁠${\displaystyle b/a}$⁠ )

これは、正の数の中で黄金比が持つ独特の性質を示しています。 $${\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1,}$$

またはその逆、 $${\displaystyle {\frac {1}{1/\varphi }}={\frac {1}{\varphi }}+1.}$$

共役と定義二次多項式の関係により、小数値が得られ、その小数部分は と共通している。${\displaystyle \varphi }$⁠ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{2}&=\varphi +1=2.618033\dots ,\\[5mu]{\frac {1}{\varphi }}&=\varphi -1=0.618033\dots .\end{aligned}}}$$

のべき乗の列${\displaystyle \varphi }$これらの値が含まれています${\displaystyle 0.618033\ldots }$⁠、 ⁠${\displaystyle 1.0}$⁠、 ⁠${\displaystyle 1.618033\ldots }$⁠、 ⁠${\displaystyle 2.618033\ldots }$⁠ ; より一般的には、任意のべき乗⁠${\displaystyle \varphi }$は、直前の2つのべき乗の合計に等しい。 $${\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}=\varphi \cdot \operatorname {F} _{n}+\operatorname {F} _{n-1}。}$$

その結果、任意のべき乗を簡単に分解することができる。${\displaystyle \varphi }$の倍数に${\displaystyle \varphi }$そして定数。倍数と定数は常に隣接するフィボナッチ数である。これは、の正のべき乗の別の性質につながる。${\displaystyle \varphi }$⁠ :

もし​${\displaystyle {\bigl \lfloor }{\tfrac {1}{2}}n-1{\bigr \rfloor }=m}$そして： $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-3}+\cdots +\varphi ^{n-1-2m}+\varphi ^{n-2-2m}\\[5mu]\varphi ^{n}-\varphi ^{n-1}&=\varphi ^{n-2}.\end{aligned}}}$$

式​${\displaystyle \varphi =1+1/\varphi }$⁠は再帰的に展開して黄金比の単純な連分数を得ることができます^{: [ 40 ]}$${\displaystyle \varphi =[1;1,1,1,\dots ]=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}}}}$$

これは実際、連分数の最も単純な形であり、その逆数も同様である。 $${\displaystyle \varphi ^{-1}=[0;1,1,1,\dots ]=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}}}}$$

これらの連分数の収束分数は、$\displaystyle {\tfrac {1}{1}}}$⁠、 ⁠$\displaystyle {\tfrac {2}{1}}}$⁠、 ⁠$\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$⁠、 ⁠$\displaystyle {\tfrac {5}{3}}}$⁠、 ⁠$\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}$⁠、 ⁠$\displaystyle {\tfrac {13}{8}}}$⁠、...または⁠$\displaystyle {\tfrac {1}{1}}}$⁠、 ⁠$\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$⁠、 ⁠$\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$⁠、 ⁠$\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$⁠、 ⁠$\displaystyle {\tfrac {5}{8}}}$⁠、 ⁠$\displaystyle {\tfrac {8}{13}}}$⁠、 ... はフィボナッチ数の比ですディオファントス近似に対するフルヴィッツの不等式の極端なケースとなり、すべての無理数に対して ⁠ が成り立つことを示しています。${\displaystyle \xi }$異なる分数は無限に存在する${\displaystyle p/q}$つまり 、$${\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}.}$$

これは定数⁠$\displaystyle {\sqrt {5}}}$黄金比を除外せずに改善することはできません。実際、このようなラグランジュ数のより近似値を生成するために除外しなければならない最小の数は黄金比です。 ^{[ 41 ]}

の平方根の連続形式${\displaystyle \varphi }$⁠は以下から入手できます${\displaystyle \textstyle \varphi ^{2}=1+\varphi }$⁠、結果として： ^{[ 42 ]}$${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {\textstyle 1+{\sqrt {1+\cdots {\vphantom {)}}}}}}}.}$$

フィボナッチ数列の正方形のサイズを最大21まで用いて黄金螺旋を近似したフィボナッチ螺旋（上）。ルーカス数列に属する辺の長さを持つ正方形を積み重ねることで、黄金螺旋の別の近似が生成されます（下）。ここでは最大76までです。

フィボナッチ数列とルーカス数は黄金比と複雑な関係にある。フィボナッチ数列では、各項は${\displaystyle F_{n}}$前の2項の合計に等しい${\displaystyle F_{n-1}}$そして${\displaystyle F_{n-2}}$基本配列から始める${\displaystyle 0,1}$0番目と1番目の項として${\displaystyle F_{0}}$そして${\displaystyle F_{1}}$:

⁠${\displaystyle 0,}$⁠ ⁠${\displaystyle 1,}$⁠ ⁠${\displaystyle 1,}$⁠ ⁠${\displaystyle 2,}$⁠ ⁠${\displaystyle 3,}$⁠ ⁠${\displaystyle 5,}$⁠ ⁠${\displaystyle 8,}$⁠ ⁠${\displaystyle 13,}$⁠ ⁠${\displaystyle 21,}$⁠ ⁠${\displaystyle 34,}$⁠ ⁠${\displaystyle 55,}$⁠ ⁠${\displaystyle 89,}$⁠ ⁠$\displaystyle \ldots }$（OEIS：A000045 ）​

ルーカス数列（これは一般化ルーカス数列の一部であるが、これと混同しないように）は、各項がフィボナッチ数列に似ている。${\displaystyle L_{n}}$前の2項の合計です${\displaystyle L_{n-1}}$そして${\displaystyle L_{n-2}}$しかし、代わりに から始まる⁠${\displaystyle 2,1}$0番目と1番目の項として${\displaystyle L_{0}}$そして${\displaystyle L_{1}}$:

⁠${\displaystyle 2,}$⁠ ⁠${\displaystyle 1,}$⁠ ⁠${\displaystyle 3,}$⁠ ⁠${\displaystyle 4,}$⁠ ⁠${\displaystyle 7,}$⁠ ⁠${\displaystyle 11,}$⁠ ⁠${\displaystyle 18,}$⁠ ⁠${\displaystyle 29,}$⁠ ⁠${\displaystyle 47,}$⁠ ⁠${\displaystyle 76,}$⁠ ⁠${\displaystyle 123,}$⁠ ⁠${\displaystyle 199,}$⁠ ⁠$\displaystyle \ldots }$（OEIS：A000032 ）​

例外的に、黄金比はフィボナッチ数列とルーカス数列の連続する項の比の極限に等しい。 ^{[ 43 ]}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n+1}}{L_{n}}}=\varphi .}$$

言い換えれば、フィボナッチ数列とルーカス数をその数列の直前の数で割ると、商は に近似する。${\displaystyle \varphi }$例えば、

$\displaystyle {\frac {F_{16}}{F_{15}}}={\frac {987}{610}}=1.6180327\ldots \ }$そして${\displaystyle \ {\frac {L_{16}}{L_{15}}}={\frac {2207}{1364}}=1.6180351\ldots .}$

これらの近似値は、以下よりも低い場合と高い場合が交互にあります。${\displaystyle \varphi }$⁠、そして⁠に収束する${\displaystyle \varphi }$フィボナッチ数とルーカス数が増加するにつれて。

黄金比を含むフィボナッチ数列とルーカス数列の閉形式表現は次のとおりです。

$${\displaystyle F\left(n\right)={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}-\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\right],}$$$${\displaystyle L\left(n\right)=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}.}$$

上記の2つの式を組み合わせると、次の式が得られます。${\displaystyle \textstyle \varphi ^{n}}$フィボナッチ数列とルーカス数列の両方を含むもの ：$${\displaystyle \varphi ^{n}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}.}$$

フィボナッチ数列とルーカス数列の間には、${\displaystyle \textstyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}}$⁠、これは、ルーカス数をフィボナッチ数で割った商の極限を5の平方根に等しいと表現するように簡略化されます。 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}.}$$

実際、もっと強い主張も真実である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl \vert }L_{n}-{\sqrt {5}}F_{n}{\bigr \vert }={\frac {2}{\varphi ^{n}}}\to 0,\\[5mu]&{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}L_{3n}{\bigr )}^{2}=5{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}F_{3n}{\bigr )}^{2}+(-1)^{n}.\end{aligned}}}$$

黄金比の次数にはフィボナッチ数列の繰り返しが成り立つ。${\displaystyle \textstyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}}$⁠ .

線形式への変換は、以下の方法を用いることで1ステップで完了できます。 $${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}.}$$

この恒等式により、任意の多項式が⁠${\displaystyle \varphi }$線形式に簡約する、例：

$${\displaystyle {\begin{aligned}3\varphi ^{3}-5\varphi ^{2}+4&=3(\varphi ^{2}+\varphi )-5\varphi ^{2}+4\\[5mu]&=3{\bigl (}(\varphi +1)+\varphi {\bigr )}-5(\varphi +1)+4\\[5mu]&=\varphi +2\approx 3.618033.\end{aligned}}}$$

連続するフィボナッチ数列を用いることで、黄金比についても同様の公式を無限和によって得ることができる。 $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl |}F_{n}\varphi -F_{n+1}{\bigr |}=\varphi .}$$

特に、${\displaystyle \varphi }$自身をルーカス数に丸める（最初の 2 乗を除いて、順番に、${\displaystyle \textstyle \varphi ^{0}}$そして​​${\displaystyle \varphi }$⁠、逆順です^{[ 44 ]} ):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{0}&=1,\\[5mu]\varphi ^{1}&=1.618033989\ldots \approx 2,\\[5mu]\varphi ^{2}&=2.618033989\ldots \approx 3,\\[5mu]\varphi ^{3}&=4.236067978\ldots \approx 4,\\[5mu]\varphi ^{4}&=6.854101967\ldots \approx 7,\end{aligned}}}$$

など。^{[ 45 ]}ルーカス数も黄金比のべき乗を直接生成します。${\displaystyle n\geq 2}$⁠ : $${\displaystyle \varphi ^{n}=L_{n}-(-\varphi )^{-n}.}$$

黄金比との相互関係に根ざしているのは、 3連続するフィボナッチ数の和がルーカス数に等しいという考え方である。つまり、${\displaystyle \textstyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}\!}$⁠ ; そして、重要なことに、${\displaystyle \textstyle L_{n}F_{n}=F_{2n}\!}$⁠ .

フィボナッチ数列とルーカス数列はどちらも、これらの数列から半径を取った四分円を用いて、黄金螺旋（対数螺旋の特殊な形態）の近似形状を生成するために使用できます。これは、真の黄金対数螺旋とわずかに異なるだけです。フィボナッチ螺旋とは、一般的に、フィボナッチ数列の正方形と四分円を用いて黄金螺旋を近似する螺旋を指す用語です。

黄金比は幾何学において重要な位置を占めています。例えば、五角形の内部対称性に本質的に関わっており、正十二面体や正二十面体の頂点の座標の一部を形成するように拡張されています。^{[ 46 ]}また、ケプラー三角形やペンローズタイリング、その他さまざまな多面体にも見られます。

工事

黄金比に基づいて線分を内側分割（上）と外側分割（下）で分割する

内分割による分割

1. 線分を持つ${\displaystyle AB}$垂直線を構築する${\displaystyle BC}$⁠その地点で⁠${\displaystyle B}$⁠、と⁠${\displaystyle BC}$長さの半分${\displaystyle AB}$斜辺を描く​${\displaystyle AC}$⁠ .
2. 中心から弧を描く${\displaystyle C}$⁠と半径⁠${\displaystyle BC}$この弧は斜辺と交わる。${\displaystyle AC}$⁠その地点で⁠${\displaystyle D}$⁠ .
3. 中心から弧を描く${\displaystyle A}$⁠と半径⁠${\displaystyle AD}$この円弧は元の線分と交差する。${\displaystyle AB}$⁠その地点で⁠${\displaystyle S}$⁠ . ポイント⁠${\displaystyle S}$元の線分を分割します${\displaystyle AB}$線分に分割する${\displaystyle AS}$そして​​${\displaystyle SB}$長さが黄金比になっている。

外側の分割で割る

1. 線分を描く${\displaystyle AS}$そしてその点から構築する${\displaystyle S}$セグメント​​${\displaystyle SC}$垂直に​${\displaystyle AS}$⁠そして同じ長さで⁠${\displaystyle AS}$⁠ .
2. 線分を二等分してください${\displaystyle AS}$⁠と共に⁠${\displaystyle M}$⁠ .
3. 円弧の周り${\displaystyle M}$半径付き​${\displaystyle MC}$点において交差する${\displaystyle B}$点を通る直線${\displaystyle A}$そして​​${\displaystyle S}$（拡張とも呼ばれる）${\displaystyle AS}$（ ）の比率${\displaystyle AS}$構築されたセグメントへ${\displaystyle SB}$は黄金比です。

応用例は、「辺の長さが指定された五角形」 、「外接円が指定された十角形」、「辺の長さが指定された十角形」の記事で見ることができます。

上記で示した2つの異なるアルゴリズムは、いずれも幾何学的構造を生成し、長い線分と短い線分の比率が黄金比となるような、2つの整列した線分を決定します。

黄金角

円を構成する2つの角の大きさが黄金比である場合、小さい方の角を黄金角と呼び、その大きさは 1/2 である。${\displaystyle g}$⁠ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2\pi -g}{g}}&={\frac {2\pi }{2\pi -g}}=\varphi ,\\[8mu]2\pi -g&={\frac {2\pi }{\varphi }}\approx 222.5^{\circ }\!,\\[8mu]g&={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}\approx 137.5^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

この角度は、植物の成長パターンにおいて、植物の茎の周りの葉芽の最適な間隔として現れ、連続する葉が下の葉への日光を遮らないようにする。^{[ 47 ]}

五角形対称系

五角形と五芒星

正五角形では、対角線と辺の比は黄金比であり、交差する対角線同士も黄金比で分割されます。正五角形の黄金比の性質は、その頂点の1つを取り除いてできる四角形にプトレマイオスの定理を適用することで確認できます。四角形の長い辺と対角線が⁠${\displaystyle a}$⁠、そして短い辺は⁠${\displaystyle b}$⁠するとプトレマイオスの定理は⁠${\displaystyle \textstyle a^{2}=b^{2}+ab}$両辺を で割ると${\displaystyle ab}$（上記の§ 計算を参照） $${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}=\varphi .}$$

正五角形の対角線は五芒星、つまり五角形の多角形を形成し、その幾何学は本質的に次のように記述される。${\displaystyle \varphi }$⁠。基本的に、各辺の交点は他の辺を黄金比で切断します。短い方の辺の長さと、交差する2つの辺で囲まれた辺の長さ（つまり、五芒星の中心にある逆五角形の辺）の比は、${\displaystyle \varphi }$⁠、4色刷りのイラストが示すとおりです。

五角形と五芒星の幾何学により、以下の値を計算できます。${\displaystyle \varphi }$⁠ : $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }\!,\\[5mu]\varphi &={\tfrac {1}{2}}\csc(\pi /10)={\tfrac {1}{2}}\csc 18^{\circ }\!,\\[5mu]\varphi &=2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }\!,\\[5mu]\varphi &=2\sin(3\pi /10)=2\sin 54^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

黄金の三角形と黄金の日時計

正五角形の2本の対角線と1辺で形成される三角形は、黄金三角形または崇高な三角形と呼ばれます。これは、頂点角が1 の鋭角二等辺三角形です。${\displaystyle 36^{\circ }}$⁠および底角⁠${\displaystyle 72^{\circ }\!}$[ ^{48 ]その2つの等しい辺は、}底辺に対して黄金比になっている。 ^{[ 49 ]}正五角形の2辺と対角線で形成される三角形は、黄金グノモンと呼ばれる。これは、頂角が鈍角の二等辺三角形である。${\displaystyle 108^{\circ }}$⁠そして底角⁠${\displaystyle 36^{\circ }\!}$底辺は2つの等しい辺に対して黄金比になっています。 ^[ 49 ^{]したがって、}五角形は2つの黄金のグノモンと中央の黄金の三角形に分割できます。正五芒星の5つの頂点は黄金の三角形であり、 ^{[ 49 ]}正十角形の頂点をその中心点に結んでできる10個の三角形も同様です。 ^{[ 50 ]}

黄金三角形の底角の1つを二等分すると、より小さな黄金三角形と黄金グノモンに分割されます。同様に、鋭角二等辺三角形は相似な三角形と鈍角二等辺三角形に分割できますが、黄金三角形は底角が頂角の2倍である唯一の二等辺三角形であるため、角の二等分線によって分割される唯一の三角形です。黄金三角形の角の二等分線は、交わる辺を黄金比で分割し、分割された2つの部分の面積も黄金比になります。^{[ 49 ]}

黄金グノモンの頂角を三等分すると、三等分線によってさらに小さな黄金グノモンと黄金三角形に分割されます。三等分線は底辺を黄金比で分割し、2つの部分の面積は黄金比になります。同様に、鈍角三角形は相似三角形と鋭角二等辺三角形に分割できますが、黄金グノモンは頂角が底角の3倍である唯一の二等辺三角形であるため、この分割が角度の三等分線によって行われる唯一のものです。^{[ 49 ]}

ペンローズタイル

黄金比は、ロジャー・ペンローズが開発した平面の非周期的なタイリングの一種であるペンローズ・タイリングに顕著に現れる。これは、ヨハネス・ケプラーが、五角形だけを並べて敷き詰めた場合に生じる隙間を、五芒星、十角形、その他の形状で埋めることができると述べたことに触発されたものである。^{[ 51 ]}このタイリングのいくつかのバリエーションが研究されており、その原型タイルはすべて黄金比を示している。

• ペンローズのこのタイル張りのオリジナル版では、正五角形と五芒星、五芒星の3つの頂点を持つ「ボート」形、そして「ダイヤモンド」形の菱形の4つの形状が使用されました。^{[ 52 ]}
• ペンローズの凧と矢のタイル張りでは、3つの内角が⁠の凧を使用します。${\displaystyle 72^{\circ }}$⁠そして1つの内角は$144°$⁠、ダーツ、2 つの内角が⁠の凹四角形$36°$⁠、そのうちの1つ⁠${\displaystyle 72^{\circ }\!}$⁠、そして1つの非凸角は⁠$216°$⁠。特別なマッチングルールにより、タイルがどの辺でどのように接するかが制限され、結果としてどの頂点でもタイルの組み合わせは 7 通りになります。凧形とダーツ形はどちらも辺の長さが 2 で、互いに黄金比になっています。これら 2 つのタイル形状の面積も互いに黄金比になっています。 ^{[ 51 ]}
• 凧とダーツはそれぞれ対称軸で切断すると、それぞれ一対の黄金三角形と黄金グノモンになります。適切なマッチングルールを用いると、この文脈ではロビンソン三角形と呼ばれるこれらの三角形は、ペンローズタイリングの一種のプロトタイルとして使用できます。^{[ 51 ] [ 53 ]}
• 菱形のペンローズタイルには、2 種類の菱形が含まれています。1 つの菱形は角度が⁠の細長い菱形です。$36 度$そして​​$144°$⁠ 、そして角度が⁠の太い菱形$72度$そして​​$108°$すべての辺の長さは等しいが、細いひし形の辺の長さと短い対角線の比は に等しい。${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$⁠、太い菱形の長い対角線に対する辺の比率も同様です。凧形やダーツ形のタイル張りと同様に、2 つの菱形の面積は互いに黄金比になっています。また、これらの菱形はロビンソン三角形のペアに分解できます。 ^{[ 51 ]}

オリジナルのペンローズタイル（4枚組）

菱形ペンローズタイル

三角形と四角形において

オドムの建設

ジョージ・オドムは、${\displaystyle \varphi }$正三角形の場合：2辺の中点を結ぶ線分を延長して外接円と交わらせると、2つの中点と円との交点は黄金比になる。 ^{[ 54 ]}

ケプラーの三角形

ケプラー三角形の辺上の正方形の面積の等比数列

2つのケプラー三角形から形成される二等辺三角形は、内接円の半径と辺の長さの比率を最大化する。

ヨハネス・ケプラーにちなんで名付けられたケプラー三角形は、辺の長さが等比数列になっている唯一の直角三角形である。 $${\displaystyle 1\mathbin {:} {\sqrt {\varphi {\vphantom {+}}}}\mathbin {:} \varphi .}$$これらの辺の長さは、 2つの数のピタゴラス平均の 3つです。${\displaystyle \varphi \pm 1}$その側面にある3つの正方形の面積は、黄金比の等比数列をなしている。${\displaystyle \textstyle 1\mathbin {:} \varphi \mathbin {:} \varphi ^{2}}$⁠ .

二等辺三角形の中で、内接円の半径と辺の長さの比が最大になるのは、ケプラー三角形を左右反転させた2つの三角形で、2つの辺のうち長い方を共有する三角形である。 ^{[ 55 ]}同じ二等辺三角形は、底辺上の半円の半径と周長の比も最大にする。^{[ 56 ]}

辺の長さが最小のケプラー三角形の場合${\displaystyle s}$面積と鋭角は以下のとおりです 。$${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}s^{2}{\sqrt {\varphi {\vphantom {+}}}},\\[5mu]\theta &=\sin ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 38.1727^{\circ }\!,\\[5mu]\theta &=\cos ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 51.8273^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

黄金長方形

黄金比は、黄金長方形の隣接する辺の長さをで表します。${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$比率。 ^{[ 57 ]}黄金長方形から正方形を取り除いたり追加したりしても、長方形は依然として比率が維持されます。${\displaystyle \varphi }$比率。これらは、連続するフィボナッチ数とルーカス数サイズの正方形と四分円を通して、黄金螺旋によって生成できます。これらは正二十面体と正十二面体の両方で（詳細は以下のセクションを参照）。 ^{[ 46 ]}

黄金の菱形

黄金菱形とは、対角線が黄金比に比例する菱形のことで、最も一般的には${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$⁠ . ^{[ 58 ]}このような比率のひし形の場合、鋭角と鈍角は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=2\arctan {1 \over \varphi }\approx 63.43495^{\circ }\!,\\[5mu]\beta &=2\arctan \varphi =\pi -\arctan 2=\arctan 1+\arctan 3\approx 116.56505^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

その短対角線と長対角線の長さ${\displaystyle d}$そして​​${\displaystyle D}$辺の長さに関して言えば${\displaystyle a}$⁠です:

$${\displaystyle {\begin{aligned}d&={\frac {2a}{\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {\frac {3-\varphi }{5}}}a\approx 1.05146a,\\[5mu]D&=2{\sqrt {\frac {2+\varphi }{5}}}a\approx 1.70130a.\end{aligned}}}$$

その面積は、${\displaystyle a}$そして​​${\displaystyle d}$⁠ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\sin(\arctan 2)\cdot a^{2}={2 \over {\sqrt {5}}}~a^{2}\approx 0.89443a^{2},\\[5mu]A&={{\varphi } \over 2}d^{2}\approx 0.80902d^{2}.\end{aligned}}}$$

その内半径（辺の長さで表すと）${\displaystyle a}$⁠ :

$${\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {5}}}.}$$

金色の菱形は、菱形三十面体、2つの金色の菱面体、ビリンスキー十二面体^{[ 59 ]}、および菱形六十面体の面を形成します。^{[ 58 ]}

魚嚢

魚嚢を定義する2つの円がそれぞれ半径の2倍の2つの同心円に囲まれている場合、2つの外側の円は2つの内側の円に接している（点において）。${\displaystyle E}$そして${\displaystyle F}$図に示すように、外側の円も交差してレンズを形成しますが、その角度は魚嚢とは異なります。これらの円の場合、線分は${\displaystyle {\overline {XC}}}$交差点の1つから${\displaystyle C}$内側の円から反対側の交点へ${\displaystyle X}$外側の円は、点によって黄金比で分割される。${\displaystyle D}$2 つの内側の円の 2 番目の交点。^{[ 60 ] [ 61 ]}

黄金螺旋

対数螺旋は、 1回転あたりの移動距離が幾何級数的に増加する自己相似螺旋です。半径が4分の1回転ごとに黄金比の係数で増加する対数螺旋は、黄金螺旋と呼ばれます。これらの螺旋は、黄金比で増加する四分円^{[ 63 ]}、またはフィボナッチ数列から生成される近似値^{[ 64 ]}で近似することができ、多くの場合、同じ比率で増加する正方形の螺旋パターン内に内接するように描かれます。黄金螺旋の正確な対数螺旋形式は、次の極方程式で表すことができます。${\displaystyle (r,\theta )}$⁠ : $${\displaystyle r=\varphi ^{2\theta /\pi }.}$$

すべての対数螺旋が黄金比と関連しているわけではなく、また、黄金比と関連している螺旋がすべて黄金螺旋と同じ形状をしているわけでもありません。例えば、入れ子になった黄金二等辺三角形の列を囲む別の対数螺旋は、各⁠に対して黄金比で成長します。$108°$⁠回転する代わりに⁠$90°$黄金螺旋の回転角度。 [ ^{62 ] 「}より良い黄金螺旋」と呼ばれる別のバリ​​エーションは、4分の1回転ごとではなく、半回転ごとに黄金比で成長します。 ^{[ 63 ]}

正十二面体と正二十面体

正十二面体とその双対多面体である正二十面体は、寸法が黄金比に関係するプラトン立体です。正十二面体は、${\displaystyle 12}$正五角形の面を持つ一方、正二十面体は${\displaystyle 20}$正三角形。両方とも${\displaystyle 30}$エッジ 。 ^{[ 65 ]}​

辺の長さが の十二面体の場合${\displaystyle a}$⁠、外接球と内接球の半径、および中心半径は（ ⁠$\displaystyle r_{u}}$⁠、 ⁠$\displaystyle r_{i}}$⁠、そして⁠$\displaystyle r_m}}$（それぞれ）：

${\displaystyle r_{u}=a\,{\frac {{\sqrt {3}}\varphi }{2}},}$${\displaystyle r_{i}=a\,{\frac {\varphi ^{2}}{2{\sqrt {3-\varphi }}}},}$そして${\displaystyle r_{m}=a\,{\frac {\varphi ^{2}}{2}}.}$

辺の長さが の正二十面体の場合、${\displaystyle a}$外接球と内接球の半径、および中心半径は次のとおりです。

${\displaystyle r_{u}=a{\frac {\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}{2}},}$${\displaystyle r_{i}=a{\frac {\varphi ^{2}}{2{\sqrt {3}}}},}$そして$\displaystyle r_{m}=a{\frac {\varphi }{2}}.}$

正十二面体の体積と表面積は、次のように表すことができます。${\displaystyle \varphi }$⁠ :

${\displaystyle A_{d}={\frac {15\varphi }{\sqrt {3-\varphi }}}}$そして${\displaystyle V_{d}={\frac {5\varphi ^{3}}{6-2\varphi }}.}$

正二十面体についても同様です。

${\displaystyle A_{i}=20{\frac {\varphi ^{2}}{2}}}$そして${\displaystyle V_{i}={\frac {5}{6}}(1+\varphi ).}$

これらの幾何学的値は、デカルト座標から計算できます。デカルト座標は、以下の式を用いて求めることもできます。${\displaystyle \varphi }$正十二面体の座標は右の図に示されており、正二十面体の座標は以下のとおりです。

$${\displaystyle (0,\pm 1,\pm \varphi ),\ (\pm 1,\pm \varphi ,0),\ (\pm \varphi ,0,\pm 1).}$$

3 つの黄金長方形のセットは、正十二面体と正二十面体の内部で垂直に交差し、ボロメオ環を形成します。^{[ 66 ] [ 46 ]}正十二面体では、黄金長方形の対向する頂点のペアが五角形の面の中心で交わり、正二十面体では、その頂点で交わります。3 つの黄金長方形は、すべて⁠${\displaystyle 12}$正二十面体の頂点、または同等に、すべての中心と交差する${\displaystyle 12}$十二面体の面のうち。^{[ 65 ]}

立方体は正十二面体に内接させることができ、正十二面体の五角形の面の対角線の一部が立方体の辺となるため、辺の長さは黄金比となる。立方体の体積は⁠${\displaystyle 2/(2+\varphi )}$12面体の10倍である。 ^{[ 67 ]}実際、12面体内部の黄金長方形は、内接する立方体と黄金比の関係にあり、立方体の辺と黄金長方形の長い辺はそれぞれ 10 倍である。${\displaystyle \textstyle \varphi \mathbin {:} \varphi ^{2}}$⁠比率。一方、立方体の双対多面体である正八面体は正二十面体を内接することができ、正二十面体の⁠${\displaystyle 12}$頂点が接する${\displaystyle 12}$正八面体の辺を黄金比で分割する点における辺。 ^{[ 68 ]}

黄金比の小数展開は、ニュートン法やハレー法などの根を求める方法を用いて、次の式で計算できます。${\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1=0}$または​​${\displaystyle \textstyle x^{2}-5=0}$（計算する）$\displaystyle {\sqrt {5}}}$（まず）計算に必要な時間${\displaystyle n}$ニュートン法を用いた黄金比の桁数は本質的に${\displaystyle O(M(n))}$⁠、そこで⁠${\displaystyle M(n)}$は、 2つのを乗算する時間計算量です。${\displaystyle n}$⁠ -桁の数。 ^{[ 69 ]}これは、 πとeの既知のアルゴリズムよりもかなり高速です。整数演算のみを使用した簡単にプログラムできる代替方法は、2つの大きな連続するフィボナッチ数を計算して割り算することです。フィボナッチ数の比率は、${\displaystyle F_{25001}}$そして​​${\displaystyle F_{25000}}$⁠、それぞれ以上⁠${\displaystyle 5000}$桁数、収益は を上回る$10,000$黄金比の有効数字。黄金比の小数展開${\displaystyle \varphi }$[ ^{1 ]は}20兆の精度で計算されている（${\displaystyle \textstyle 2\times 10^{13}=20{,}000{,}000{,}000{,}000}$⁠ ) 桁。 ^{[ 70 ]}

複素平面において、1の5乗根は${\displaystyle \textstyle z=e^{2\pi ki/5}}$（整数の場合）${\displaystyle k}$満足できる​${\displaystyle \textstyle z^{5}=1}$は五角形の頂点です。これらは二次整数の環を形成しませんが、1の任意の5乗根とその複素共役の和は、${\displaystyle z+{\bar {z}}}$は二次整数であり、 の要素。${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$具体的には、

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{0}+e^{-0}&=2,\\[5mu]e^{2\pi i/5}+e^{-2\pi i/5}&=\varphi ^{-1}=-1+\varphi ,\\[5mu]e^{4\pi i/5}+e^{-4\pi i/5}&=-\varphi .\end{整列}}}$$

これは、以下の条件を満たす残りの10乗根にも当てはまります。${\displaystyle \textstyle z^{10}=1}$⁠、

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi i}+e^{-\pi i}&=-2,\\[5mu]e^{\pi i/5}+e^{-\pi i/5}&=\varphi ,\\[5mu]e^{3\pi i/5}+e^{-3\pi i/5}&=-\varphi ^{-1}=1-\varphi .\end{整列}}}$$

ガンマ関数 の場合${\displaystyle \Gamma }$⁠、方程式の唯一の解は${\displaystyle \ガンマ (z-1)=\ガンマ (z+1)}$⁠は⁠${\displaystyle z=\varphi }$そして​​${\displaystyle \textstyle z=-\varphi ^{-1}}$⁠ .

黄金比が数体系の基数として使用されるとき（黄金比基数、時にはフィナリーまたは と呼ばれる）${\displaystyle \varphi }$⁠ -nary )、環内の二次整数⁠${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$⁠ – つまり、次の形式の数⁠${\displaystyle a+b\varphi }$⁠のために⁠${\displaystyle a}$そして​​${\displaystyle b}$⁠で⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠ –有限小数には有限小数表現がありますが、有理分数には有限小数表現がありません。

黄金比は双曲幾何学にも現れ、理想三角形の一辺上の点から他の二辺のうち近い方の辺までの最大距離として表されます。この距離は、理想三角形に内接する円の接点によって形成される正三角形の一辺の長さであり、次のようになります。${\displaystyle 4\log(\varphi )}$⁠ . ^{[ 71 ]}

黄金比はモジュラー関数の理論にも現れる。${\displaystyle |q|<1,}$させて $${\displaystyle R(q)={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+{{\vphantom {1}} \atop \ddots }}}}}}}}}.}$$ それから $${\displaystyle R(e^{-2\pi })={\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi ,\quad R(-e^{-\pi })=\varphi ^{-1}-{\sqrt {2-\varphi ^{-1}}}}$$ そして $${\displaystyle R(e^{-2\pi i/\tau })={\frac {1-\varphi R(e^{2\pi i\tau })}{\varphi +R(e^{2\pi i\tau })}}}$$ どこで${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$そして​​${\displaystyle \textstyle (e^{z})^{1/5}}$連分数では、次のように評価する必要があります。${\displaystyle \textstyle e^{z/5}}$⁠。関数⁠${\displaystyle \textstyle \tau \mapsto R(e^{2\pi i\tau })}$はの下で不変である${\displaystyle \Gamma (5)}$⁠、モジュラー群の合同部分群。また、正の実数に対しても⁠${\displaystyle a}$そして​​${\displaystyle b}$⁠そのため⁠${\displaystyle \textstyle ab=\pi ^{2},}$[ ^{72 ]​}