白銀比

白銀比

銀色の長方形
表現
小数点	2.41421 35623 73095 0488...
代数形式	1 + √ 2
連分数	${\displaystyle \textstyle 2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}} }}$

数学において、2つの量が白銀比（または白銀平均）^{[1] [2]}にあるとするのは、 2つの量のうち大きい方の量と小さい方の量の比が、小さい方の量と大きい方の量の2倍の合計と大きい方の量の比に等しい場合です（下記参照）。これにより、白銀比は無理 数定数として定義され、1の平方根に 2 を加えた値はおよそ 2.4142135623 です。その名前は黄金比を暗示しています。黄金比が連続するフィボナッチ数列の極限比であるのと同様に、白銀比は連続するペル数列の極限比です。白銀比はδ _Sと表記されることもありますが、 λからσまで変化します。黄金比のさらなる一般化については、金属平均を参照してください。

数学者は、 2 の平方根、その収束、二乗三角数、ペル数、八角形などとの関連性から、ギリシャ時代から白銀比を研究してきました (ただし、最近まで特別な名前は付けられていなかったようです)。

上記の関係は、a > b の場合に代数的に表現できます。

${\displaystyle {\frac {2a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\equiv \delta _{S}}$

または同等に、

${\displaystyle 2+{\frac {b}{a}}={\frac {a}{b}}\equiv \delta _{S}}$

白銀比は単純な連分数[2; 2, 2, 2, ...]で定義することもできます。

${\displaystyle 2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}=\delta _{S}}$

この連分数の収束関数（⁠2/1⁠、⁠5/2⁠、⁠12/5⁠、⁠29/12⁠、⁠70/29⁠、...）は連続するペル数の比です。これらの分数は、連続するフィボナッチ数の比による黄金比の近似と同様に、白銀比の 正確な有理近似値を提供します。

銀色の長方形は正八角形とつながっている。正八角形を2つの二等辺台形と長方形に分けると、長方形はアスペクト比が1: δ _Sの銀色の長方形となり、台形の4辺の比は1:1:1: δ _Sとなる。正八角形の辺の長さをtとすると、八角形のスパン（対辺間の距離）はδ _S t、八角形の面積は2 δ _S t ²となる。^[3]

比較すると、a  >  b > 0となる2 つの量a、bは、次の場合に黄金比φ にあるという。

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi }$

しかし、白銀比 δS_となるのは、

${\displaystyle {\frac {2a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\delta _{S}.}$

同様に、

${\displaystyle 2+{\frac {b}{a}}={\frac {a}{b}}=\delta _{S}}$

したがって、

${\displaystyle 2+{\frac {1}{\delta _{S}}}=\delta _{S}.}$

δ _Sを掛けて整理すると、

${\displaystyle {\delta _{S}}^{2}-2\delta _{S}-1=0.}$

二次方程式の公式を使うと、2つの解が得られる。δ S は正の量の比なので、_必然的に正となり、

${\displaystyle \delta_{S}=1+{\sqrt{2}}=2.41421356237\dots }$

白銀比は、白銀長方形以外にも、正八角形や次の 3D 形状にも関連しています。

1.切り取られた立方体

2.三角錐二十四面体

3.菱形立方八面体

白銀比はピソット・ヴィジャヤラガヴァン数（PV数）であり、その共役数1 − √ 2 = ⁠−1/δS_​⁠ ≈ −0.41421 の絶対値は 1 未満です。実際、これは黄金比に次いで 2 番目に小さい二次 PV 数です。これは、 δからの距離を意味します。 ^nS
_​最も近い整数は⁠1/δ ^nS
_​⁠ ≈ 0.41421 ⁿ 。したがって、 δの小数部の数列は ^nS
_​, n = 1, 2, 3, ... (トーラスの要素として取られる) は収束します。特に、このシーケンスはmod 1 で等分布ではありません。

白銀比の低いべき乗は

${\displaystyle \delta _{S}^{-1}=1\delta _{S}-2=[0;2,2,2,2,2,\dots ]\approx 0.41421}$

${\displaystyle \delta_{S}^{0}=0\delta_{S}+1=[1]=1}$

${\displaystyle \delta _{S}^{1}=1\delta _{S}+0=[2;2,2,2,2,2,\dots ]\approx 2.41421}$

${\displaystyle \delta _{S}^{2}=2\delta _{S}+1=[5;1,4,1,4,1,\dots ]\approx 5.82842}$

${\displaystyle \delta _{S}^{3}=5\delta _{S}+2=[14;14,14,14,\dots ]\approx 14.07107}$

${\displaystyle \delta _{S}^{4}=12\delta _{S}+5=[33;1,32,1,32,\dots ]\approx 33.97056}$

権力はパターンを続けている

${\displaystyle \delta_{S}^{n}=K_{n}\delta_{S}+K_{n-1}}$

どこ

${\displaystyle K_{n}=2K_{n-1}+K_{n-2}}$

たとえば、次のプロパティを使用します。

${\displaystyle \delta _{S}^{5}=29\delta _{S}+12=[82;82,82,82,\dots ]\approx 82.01219}$

K ₀ = 1およびK ₁ = 2を初期条件として、再帰関係を解くことで ビネのような式が得られる。

${\displaystyle K_{n}=2K_{n-1}+K_{n-2}}$

これは

${\displaystyle K_{n}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\left(\delta _{S}^{n+1}-{(2-\delta _{S})}^{n+1}\right)}$

白銀比は三角比と密接に関係しており、π/8⁠ = 22.5° .

${\displaystyle \tan {\frac {\pi }{8}}={\sqrt {2}}-1={\frac {1}{\delta _{s}}}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\pi }{8}}=\tan {\frac {3\pi }{8}}={\sqrt {2}}+1=\delta _{s}}$

したがって、辺の長さがaの正八角形の面積は次のように表される。

${\displaystyle A=2a^{2}\cot {\frac {\pi }{8}}=2\delta _{s}a^{2}\simeq 4.828427a^{2}.}$

関数内: 関数の範囲は次のとおりです: ${\displaystyle y=sinx+cosx}$

cos (2tan ^-1 δ _S ) - sin (2tan ^-1 δ _S ) ≤ y ≤ cos (2tan ^-1 ⁠−1/δS_​⁠ ) - sin (2 tan ^-1 ⁠−1/δS_​⁠ )

すべての実数に対して、x です。

• 金属とは
• 黄金比
• スーパーシルバー比率
• アマン・ベーンカータイル

• Buitrago, Antonia Redondo (2008)。「多角形、対角線、および青銅平均」、Nexus Network Journal 9,2: Architecture and Mathematics、p.321-2。Springer Science & Business Media。ISBN 9783764386993。 

• Weisstein、Eric W.「白銀比」。MathWorld。
• 「連分数入門：銀の法則」は、2018 年 12 月 8 日にWayback Machineにアーカイブされました」、フィボナッチ数列と黄金分割。
• ジョルジョ・ピエトロコラ作「タルタペラゴ」の「銀色の長方形とその連続」