黄金三角形（数学）

黄金三角形は崇高三角形とも呼ばれ、 [ ^1]複製された辺が底辺に対して黄金比になっている二等辺三角形 です。 ${\displaystyle \varphi}$

${\displaystyle {a \over b}=\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}\approx 1.618034~.}$

• 頂 角は[ ^2]

${\displaystyle \theta =2\arcsin {b \over 2a}=2\arcsin {1 \over 2\varphi }=2\arcsin {{{\sqrt {5}}-1} \over 4}={\円周率 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.}$

したがって、黄金三角形は鋭角（二等辺）三角形です。

• 三角形の角度の合計はラジアンなので、それぞれの底角 (CBX と CXB) は次のようになります。${\displaystyle \pi}$

${\displaystyle \beta ={{\pi -{\pi \over 5}} \over 2}~{\text{rad}}={2\pi \over 5}~{\text{rad}}=72^{\circ }.}$^[1]

注記：

${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)\,{\text{rad}}={2\pi \over 5}~{\text{rad}}=72^{\circ }.}$

• 黄金三角形は、3つの角度の比率が1 : 2 : 2（36°、72°、72°）である唯一の三角形として独自に識別されます。^[3]

• 黄金三角形は、正 五芒星の先端部分に見られます。
• 黄金三角形は、正十角形（等角かつ正十辺形）でも、隣接する2つの頂点を中心で結ぶことで見つけることができます。これは、180（10−2）/ 10 = 144°が内角であり、それを頂点で中心まで二等分すると、144/2 = 72°となるためです。 ^[1]
• また、黄金三角形は、十二面体と二十面体のいくつかの星型網目の中にも見られます。

黄金三角形は、対数螺旋のいくつかの点を形成するために使用されます。底角の 1 つを二等分すると、新しい点が作成され、今度は別の黄金三角形が作成されます。^[4]二等分プロセスは無限に続けることができ、無限の数の黄金三角形が作成されます。対数螺旋は頂点を通して描くことができます。この螺旋は、ルネ・デカルトによって造られた等角螺旋とも呼ばれます。「極から曲線上の任意の点まで直線を引くと、その直線は曲線を正確に同じ角度で切断します」。したがって、等角です。^{[5]この螺旋は}黄金螺旋とは異なります。黄金螺旋は 1/4 回転ごとに黄金比の係数で増加しますが、これらの黄金三角形を通る螺旋では、同じ係数で増加するのに 108° の角度が必要です。^[6]

黄金三角形と密接に関連しているのが黄金グノモンです。黄金グノモンは、等しい辺の長さと底辺の長さの比が黄金比の逆数 である二等辺三角形です。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{\varphi }}}$ ${\displaystyle \varphi}$

「黄金三角形の底辺の長さと辺の長さの比は黄金比φに等しく、黄金のグノモンの辺の長さと底辺の長さの比は黄金比φに等しい。」^[7]

${\displaystyle {a' \over b'}={1 \over \varphi }={{{\sqrt {5}}-1} \over 2}\approx 0.618034.}$

（図に示すように、距離 AX と CX は両方ともa ′ = a = φ であり、距離 AC はb ′ = φ² です。）

• 頂角AXCは次のとおりです。

${\displaystyle \theta '=2\arcsin {b' \over {2a'}}=2\arcsin {{\varphi ^{2}} \over {2\varphi }}=2\arcsin {{1+{ \sqrt {5}}} \over 4}={3\pi \over 5}~{\text{rad}}=108^{\circ }.}$

したがって、黄金のグノモンは鈍角（二等辺）三角形です。

${\displaystyle (}$注記：${\displaystyle \theta '=\arccos \left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{4}}\right)\,{\text{rad}}={3\pi \over 5}~{\text{rad}}=108^{\circ }.)}$

• 三角形 AXC の角度の合計はラジアンなので、底角 CAX と ACX はそれぞれ次のようになります。${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \beta '=\theta ={\pi -{3\pi \over 5} \over 2}~{\text{rad}}={\pi \over 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.}$

注記：${\displaystyle \beta '=\theta =\arccos \left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\right)\,{\text{rad}}={\pi \over 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.}$

• 黄金のグノモンは、3 つの角度の比率が 1 : 1 : 3 (36°、36°、108°) である三角形として一意に識別されます。その底角はそれぞれ 36° で、黄金三角形の頂点と同じです。

• 黄金三角形の底角の 1 つを二等分すると、黄金三角形と黄金のグノモンに分割できます。
• 黄金のグノモンは、その頂角を三等分することで、黄金の三角形と黄金のグノモンに細分化できます。
• 黄金のグノモンと黄金三角形は、等辺の長さが互いに一致しており、鈍角ロビンソン三角形と鋭角ロビンソン三角形とも呼ばれます。^[3]

• 黄金の三角形と2つの黄金のグノモンが正五角形を形作っている。 [ ^8]
• これらの二等辺三角形は、ペンローズ タイルを作成するために使用できます。ペンローズ タイルは凧とダーツで作られています。凧は 2 つの黄金三角形で作られ、ダーツは 2 つのグノモンで作られています。

• 黄金比
• 黄金菱形
• キンバーリングの黄金の三角形
• ケプラーの三角形
• ピタゴラスのリュート
• 五芒星
• 黄金の三角形（構成）

• ワイスタイン、エリック・W.「ゴールデン・トライアングル」。マスワールド。
• Weisstein、Eric W.「黄金のグノモン」。MathWorld。
• タイル百科事典のロビンソン三角形
• ユークリッドの黄金三角形
• ジョルジョ・ピエトロコラによるタルタペラゴの黄金の三角形の並外れた相互関係