二次場

代数的整数論において、二次体とは、体上の次数2の代数的数体である。${\displaystyle \mathbf {Q} }$有理数。​

すべての二次体は、$\displaystyle \mathbf {Q} (\sqrt {d}})$どこ${\displaystyle d}$は、(一意に定義された)平方因子を持たない整数であり、${\displaystyle 0}$そして${\displaystyle 1}$。 もし${\displaystyle d>0}$対応する二次体は実二次体と呼ばれ、$d<0$実数体の部分体であるかどうかに応じて、虚数二次体または複素二次体と呼ばれます。

二次体は、当初は二元二次形式の理論の一部として、非常に深く研究されてきた。しかし、未解決の問題がいくつか残っている。特に、類数問題は重要である。

ゼロでない平方自由整数の場合${\displaystyle d}$二次体の判別式${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$は${\displaystyle d}$もし${\displaystyle d}$は${\displaystyle 1}$モジュロ${\displaystyle 4}$、その他${\displaystyle 4d}$例えば、${\displaystyle d}$は${\displaystyle -1}$、 それから${\displaystyle K}$はガウス有理数の体であり、判別式は${\displaystyle -4}$このような区別の理由は、${\displaystyle K}$によって生成されます${\displaystyle (1+{\sqrt {d}})/2}$最初のケースでは、$\displaystyle {\sqrt {d}}}$2番目のケースでは。

二次体の判別式の集合は、基本判別式の集合と完全に一致する（ただし、${\displaystyle 1}$これは基本判別式ではあるが、二次体の判別式ではない。

任意の素数${\displaystyle p}$理想を生み出す${\displaystyle p{\mathcal {O}}_{K}}$整数環において${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$二次体の${\displaystyle K}$ガロア拡大における素イデアルの分割に関する一般理論に沿って、これは^{[ 1 ]である可能性がある。}

${\displaystyle p}$不活性である

${\displaystyle (p)}$それは最高の理想である。

商環は有限体であり、${\displaystyle p^{2}}$要素:${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbf {F} _{p^{2}}}$。

${\displaystyle p}$スプリット

${\displaystyle (p)}$は、2つの異なる素イデアルの産物である。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$。

商環は積です$\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbf {F} _{p}\times \mathbf {F} _{p}}$。

${\displaystyle p}$枝分かれしている

${\displaystyle (p)}$素イデアルの二乗は${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$。

商環には、零でない冪零元が含まれる。

3番目のケースは、以下の場合に限り発生します。${\displaystyle p}$判別式を分割する${\displaystyle D}$1番目と2番目のケースは、クロネッカーの記号が${\displaystyle (D/p)}$等しい${\displaystyle -1}$そして${\displaystyle +1}$それぞれ。例えば、${\displaystyle p}$割り切れない奇素数${\displaystyle D}$、 それから${\displaystyle p}$分割するのは、${\displaystyle D}$は平方数に合同である。${\displaystyle p}$最初の2つのケースは、ある意味では、同様に発生する可能性が高い。${\displaystyle p}$素数を通る。チェボタレフ密度定理を参照。^{[ 2 ]}

二次相互法則は、素数の分解挙動が${\displaystyle p}$二次フィールドでは、${\displaystyle p}$モジュロ${\displaystyle D}$、 どこ${\displaystyle D}$はフィールド判別式です。

二次体拡大の類群の決定は、類群が有限であるため、ミンコフスキーの限界とクロネッカーの括弧を用いて行うことができる。^{[ 3 ]}二次体${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$判別力がある$${\displaystyle \Delta _{K}={\begin{cases}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}};\end{cases}}}$$ したがってミンコフスキー限界は^{[ 4 ]}$${\displaystyle M_{K}={\begin{cases}2{\sqrt {|\Delta |}}/\pi &d<0\\{\sqrt {|\Delta |}}/2&d>0.\end{cases}}}$$

次に、ノルムが以下の素イデアルによってイデアル類群が生成される。${\displaystyle M_{K}}$これは、イデアルの分解を調べることによって行うことができます。${\displaystyle (p)}$のために${\displaystyle p\in \mathbf {Z} }$素数${\displaystyle |p|<M_{k}.}$^{[ 1 ] 72ページ}デデキント・クンマーの定理を用いて求めることができる。

次の表は、二次体の小さな判別式のいくつかの次数を示しています。代数体の最大次数はその整数環であり、最大次数の判別式は体の判別式です。最大次数でない判別式は、対応する最大次数の判別式と、最大次数の基底上の最大次数でない基底を表す行列の行列式の二乗との積です。これらの判別式はすべて、代数体の判別式§ 定義の式で定義できます。

実数二次整数環の場合、一意分解の失敗度合いを測る理想類数はOEIS A003649に記載されています。虚数環の場合はOEIS A000924に記載されています。

これらの例のいくつかは、Artin著『代数学』（第2版）、§13.8に記載されています。

• Buell, Duncan (1989), Binary quadratic forms: classical theory and modern computations , Springer-Verlag , ISBN 0-387-97037-1第6章
• サミュエル、ピエール（1972）、『数の代数論』（ハードカバー 版）、パリ／ボストン：ヘルマン／ホートン・ミフリン社、ISBN 978-0-901-66506-5
  • サミュエル、ピエール（2008）、『数の代数理論』（ペーパーバック 版）、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-46666-8
• Stewart, IN ; Tall, DO (1979)、代数的整数論、Chapman and Hall、ISBN 0-412-13840-9第3章1節

• ワイススタイン、エリック・W. 「二次体」 . MathWorld .
• 「二次体」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]