共役（平方根）

数学では、aとbに現れない形式の式の共役が与えられます。また、 2 つの式は共役であるとも言われます。 ${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}}$${\displaystyle ab{\sqrt {d}},}$${\displaystyle {\sqrt {d}}}$

特に、二次方程式の 2 つの解は、二次方程式の公式 のとおり共役です。 ${\displaystyle \pm}$ ${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

複素共役は、平方根が虚数単位となる特殊なケースです。 ${\displaystyle i={\sqrt {-1}},}$

共役式の和 と積 に は平方根は含まれません。 $${\displaystyle (a+b{\sqrt {d}})(ab{\sqrt {d}})=a^{2}-b^{2}d}$$$${\displaystyle (a+b{\sqrt {d}})+(ab{\sqrt {d}})=2a,}$$

この特性は、分数の分子と分母に分母の共役を掛け合わせることで、分母から平方根を取り除くために使用されます( 「有理化」を参照)。この使用法の例は次のとおりです 。したがって、 $${\displaystyle {\frac {a+b{\sqrt {d}}}{x+y{\sqrt {d}}}}={\frac {(a+b{\sqrt {d}})(xy {\sqrt {d}})}{(x+y{\sqrt {d}})(xy{\sqrt {d}})}}={\frac {ax-dby+(xb-ay){\sqrt {d}}}{x^{2}-y^{2}d}}.}$$$${\displaystyle {\frac {1}{a+b{\sqrt {d}}}}={\frac {ab{\sqrt {d}}}{a^{2}-db^{2}}}.}$$

当然の性質として、減算は次のようになります。

$${\displaystyle (a+b{\sqrt {d}})-(ab{\sqrt {d}})=2b{\sqrt {d}},}$$

ルートを含む用語のみが残ります。

• 共役元（場の理論）、任意の次数の多項式の根への一般化