5の平方根

5の平方根

合理性	非合理的
表現
小数点	2.23606 79774 99789 69...
代数形式	${\displaystyle {\sqrt {5}}}$
連分数	${\displaystyle 2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+\ddots }}}}}}}}}$

5 の平方根は、それ自身を掛け合わせると素数5になる正の実数です。より正確には、同じ特性を持つ負の数と区別するために、 5 の主平方根と呼ばれます。この数は、黄金比の分数表現に現れます。無理数形式では と表すことができます。 ${\textstyle {\sqrt {5}}}$

これは無理 数である。^[1]その10進展開の最初の60桁の有効数字は次の通りである。

2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089...（OEISの配列A002163）、

これは99.99%の精度で2.236に切り捨てられる。近似値は161/72⁠ (≈ 2.23611) は 5 の平方根として使用できます。分母が 72 しかないにもかかわらず、正しい値との差は⁠未満です。1/10,000⁠ (約4.3 × 10 ⁻⁵）。2022年1月現在、5の平方根の10進数値は少なくとも2,250,000,000,000桁まで計算されている。^[2]

5の平方根は単純な連分数として表すことができます

${\displaystyle [2;4,4,4,4,4,\ldots ]=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{{} \atop \displaystyle \ddots }}}}}}}}}.}}$（OEISの配列A040002）

連分数の連続的な部分評価は、その収束と呼ばれ、次のように近づきます。 ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

${\displaystyle {\frac {2}{1}},{\frac {9}{4}},{\frac {38}{17}},{\frac {161}{72}},{\frac {682}{305}},{\frac {2889}{1292}},{\frac {12238}{5473}},{\frac {51841}{23184}},\dots }$

分子は2、9、38、161、…（OEISのシーケンスA001077）であり、分母は1、4、17、72、…（OEISのシーケンスA001076）です。

これらはそれぞれ の最良の有理近似値です。言い換えると、より小さい分母を持つ どの有理数よりも に近くなります。${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

収束関数は次のように表される⁠x/ええ⁠、交互にペル方程式を満たす^[3]

${\displaystyle x^{2}-5y^{2}=-1\quad {\text{and}}\quad x^{2}-5y^{2}=1}$

をバビロニア法で近似する場合、x ₀ = 2から始めてx _{n +1} = ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$1/2⁠ ( x _n + ⁠5/xn_の⁠ ）の場合、 n番目の近似値x _nは連分数の 2 ⁿ番目の収束値に等しくなります

${\displaystyle x_{0}=2.0,\quad x_{1}={\frac {9}{4}}=2.25,\quad x_{2}={\frac {161}{72}}=2.23611\dots ,\quad x_{3}={\frac {51841}{23184}}=2.2360679779\ldots ,\quad x_{4}={\frac {5374978561}{2403763488}}=2.23606797749979\ldots }$

バビロニア法は、多項式に適用されるニュートン法の根を求める方法と同等です。ニュートン法の更新 は、のときと等しくなります。したがって、この方法は2 次収束します。 ${\displaystyle x^{2}-5}$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})/f'(x_{n})}$${\displaystyle (x_{n}+5/x_{n})/2}$${\displaystyle f(x)=x^{2}-5}$

黄金比 φ は1 と の算術平均である。^[4]、黄金比、黄金比の共役( Φ = − ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$1/φ⁠ = 1 − φ ) は次の式で表されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {5}}&=\varphi -\Phi =2\varphi -1=1-2\Phi \\[5pt]\varphi &={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\\[5pt]\Phi &={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}.\end{aligned}}}$

(長方形の分解としての幾何学的解釈については、以下のセクションを参照してください。) ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

${\displaystyle {\sqrt {5}}}$すると、フィボナッチ数列の閉じた形式表現に自然に現れます。この式は通常、黄金比で表されます。

${\displaystyle F(n)={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}.}$

とφの商（またはとΦの積）とその逆数は、連分数の興味深いパターンを提供し、フィボナッチ数とルーカス数との比に関連している：^[5]${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sqrt {5}}{\varphi }}=\Phi \cdot {\sqrt {5}}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}&=1.3819660112501051518\dots \\&=[1;2,1,1,1,1,1,1,1,\ldots ]\\[5pt]{\frac {\varphi }{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\Phi \cdot {\sqrt {5}}}}={\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}&=0.72360679774997896964\ldots \\&=[0;1,2,1,1,1,1,1,1,\ldots ].\end{aligned}}}$

これらの値に収束する数列は、それぞれ分子と分母としてフィボナッチ数列とルーカス数列を持ち、その逆も同様です。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{1,{\frac {3}{2}},{\frac {4}{3}},{\frac {7}{5}},{\frac {11}{8}},{\frac {18}{13}},{\frac {29}{21}},{\frac {47}{34}},{\frac {76}{55}},{\frac {123}{89}}},\ldots \ldots [1;2,1,1,1,1,1,1,1,\ldots ]\\[8pt]&{1,{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{7}},{\frac {8}{11}},{\frac {13}{18}},{\frac {21}{29}},{\frac {34}{47}},{\frac {55}{76}},{\frac {89}{123}}},\dots \dots [0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].\end{aligned}}}$

実際、ルーカス数とフィボナッチ数の商の極限は、 の平方根に直接等しくなります。 ${\displaystyle n^{th}}$${\displaystyle L_{n}}$${\displaystyle n^{th}}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle 5}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}.}$

幾何学的には、ピタゴラスの定理から明らかなように、 は、各辺の長さが1および2である長方形の対角線に対応します。このような長方形は、正方形を半分にするか、2 つの等しい正方形を並べて配置することによって得られます。これを使用して、正方形グリッドを 5 倍の正方形を持つ傾斜した正方形グリッドに分割し、分割面の基礎を形成できます。^[6]とφの間の代数関係とともに、これは正方形から黄金長方形を幾何学的に構築するための基礎となり、また、辺が与えられた正五角形を構築するための基礎となります(正五角形の辺と対角線の比はφであるため)。 ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

立方体の隣接する2つの面は1:2の長方形に展開されるため、立方体の表面を横切るときに、立方体の辺の長さと、その頂点の1つから反対側の頂点までの最短距離の比は、である。対照的に、立方体の内部を通過するときの最短距離は、立方体の対角線の長さに対応し、これは辺の3倍の平方根である。 ^[7]${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

辺の比率が 1: である長方形はルート 5 長方形と呼ばれ、ルート長方形のシリーズの一部です。ルート長方形は、動的長方形のサブセットで、 (= 1)、、、( = 2)、...に基づいており、正方形から始めて、前のルート長方形の対角線を使用して連続的に構築されます。[ ^8]ルート 5 長方形は、正方形と 2 つの等しい黄金長方形 (寸法Φ × 1 ) に分割することも、異なるサイズの 2 つの黄金長方形 (寸法Φ × 1と1 × φ ) に分割できるという点で特に注目に値します。^[9]また、交差すると正方形になる 2 つの等しい黄金長方形 (寸法1 × φ ) の和集合として分解することもできます。これはすべて、前述の、φ 、およびΦの間の代数的関係の幾何学的解釈として見ることができます。ルート 5 の長方形は、1:2 の長方形 (ルート 4 の長方形) から作成することも、図に示す黄金比長方形と同様の方法で正方形から直接作成することもできますが、長さの弧を両側に延長します。 ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle {\sqrt {4}}}$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle {\sqrt {5}}/2}$

やと同様に、5の平方根は、正確な三角関数定数の公式に広く登場し、度数で表した値が3で割り切れるが15で割り切れないあらゆる角度の正弦と余弦にも登場する。^[10]これらのうち最も単純なものは ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}-1)={\frac {1}{{\sqrt {5}}+1}},\\[5pt]\sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}},\\[5pt]\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}+1)={\frac {1}{{\sqrt {5}}-1}},\\[5pt]\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}\,.\end{aligned}}}$

そのため、その値の計算は三角関数表を作成する上で重要です。 は半正方形の長方形や五角形と幾何学的に関連しているため、正十二面体の体積の公式など、それらから導かれる図形の幾何学的性質の公式にも頻繁に登場します。^[7]${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

ディオファントス近似におけるフルヴィッツの定理は、あらゆる無理数 x は無限個の 有理数 で近似できるということを述べている⁠メートル/ん⁠最低の意味で、

${\displaystyle \left|x-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}}$

そして、より大きな定数に対して、そのような近似が有限個しか存在しない無理数xが存在するという意味で、これは最も可能である。 ^[11]${\displaystyle {\sqrt {5}}}$${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

これに密接に関連する定理^[12]は、任意の3つの連続する収束点について 、ピ_​/q_私⁠、 ⁠π _{i +1 です}/q _{i +1}⁠、 ⁠π _{i +2 です}/q _{i +2}⁠、数αについて、少なくとも 3 つの不等式のうち 1 つが成り立ちます。

${\displaystyle \left|\alpha -{p_{i} \over q_{i}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i}^{2}},\quad \left|\alpha -{p_{i+1} \over q_{i+1}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+1}^{2}},\quad \left|\alpha -{p_{i+2} \over q_{i+2}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+2}^{2}}.}$

そして、分母の は、黄金比の収束により左側の差が右側の値に任意に近づくため、可能な限り最良の境界です。特に、4つ以上の連続した収束のシーケンスを考慮しても、より厳密な境界を得ることはできません。^[12]${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

環に は という形式の数が含まれる。ここでaとbは整数で は虚数である。この環は、一意の因数分解領域ではない整域の例としてよく引用される。^[13]数 6 には、この環内に 2 つの同値でない因数分解がある。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$${\displaystyle {\sqrt {-5}}}$ ${\displaystyle i{\sqrt {5}}}$

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5}})(1+{\sqrt {-5}}).\,}$

一方、黄金比に隣接する実二次整数環はユークリッドであり、したがって一意の因数分解領域 であることがデデキントによって示されました。${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}]}$ ${\displaystyle \phi ={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$

体は 他の二次体と同様に有理数のアーベル拡張です。したがって、クロネッカー・ウェーバーの定理により、5 の平方根は 1 の根の有理線形結合として表すことができます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-5}}],}$

${\displaystyle {\sqrt {5}}=e^{{\frac {2\pi }{5}}i}-e^{{\frac {4\pi }{5}}i}-e^{{\frac {6\pi }{5}}i}+e^{{\frac {8\pi }{5}}i}.\,}$

5の平方根は、シュリニヴァーサ・ラマヌジャンが発見した連分数に関する様々な等式に現れる。^{[14] [15]}

例えば、ロジャース・ラマヌジャン連分数の場合には次のようになります。

${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+{{} \atop \displaystyle \ddots }}}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{\frac {2\pi }{5}}=e^{\frac {2\pi }{5}}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).}$

${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-6\pi {\sqrt {5}}}}{1+{{} \atop \displaystyle \ddots }}}}}}}}}=\left({{\sqrt {5}} \over 1+{\sqrt[{5}]{5^{\frac {3}{4}}(\varphi -1)^{\frac {5}{2}}-1}}}-\varphi \right)e^{\frac {2\pi }{\sqrt {5}}}.}$

${\displaystyle 4\int _{0}^{\infty }{\frac {xe^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{{} \atop \displaystyle \ddots }}}}}}}}}}}}}}}\,.}$

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