ビリンスキー十二面体

ビリンスキー十二面体
ビリンスキー十二面体
タイプ	平行面体; 空間充填多面体; ゾノヘドロン
顔	12
エッジ	24
頂点	14
対称グループ	2時間
プロパティ	凸状の

幾何学において、ビリンスキー十二面体は、 12 個の合同な黄金菱形の面を持つ凸多面体です。面推移菱形十二面体と同じ位相を持ちますが、幾何学が異なります。ビリンスキー十二面体は平行面体です。

歴史

この形状は、ジョン・ロッジ・カウリーの1752年の本に、十二面体として登場します。^[1]^[2]これは、1960年に再発見したスタンコ・ビリンスキーにちなんで名付けられました。 ^[3]ビリンスキー自身は、これを第二種の菱形十二面体と呼びました。^{[4]ビリンスキーの発見は、}エフグラフ・フェドロフによる、合同な菱形面を持つ凸多面体の分類における75年前の欠落を修正しました。^[5]

定義と特性

意味

ビリンスキー十二面体は、12 個の合同な黄金菱形を貼り合わせて形成されます。これらは、対角線が黄金比になっている菱形です。

\varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}\approx 1.618~034.

結果として得られる多面体のグラフは、菱形十二面体のグラフと同型ですが、面の向きが異なります。つまり、向かい合う菱形の 1 組は、菱形十二面体の対応する菱形の向きに対して、長対角線と短対角線が逆になっています。

対称

ビリンスキーの十二面体は反転しているため、対称性の次数が低く、その対称群は直方体の対称群、すなわち $D 2h 、[2,2]、(*222)、$ 次数 8 です。これは八面体対称性のサブグループであり、その要素は 3 つの 2 回対称軸、3 つの対称面 (この立体の軸面でもある)、および反転対称中心です。ビリンスキーの十二面体の回転群は $D 2 、[2,2] + 、(222)、$ 次数 4 です。

頂点

菱形十二面体と同様に、ビリンスキー十二面体には次数3 の頂点が 8 つ、次数 4 の頂点が 6 つあります。垂直軸上に 2 つの頂点があり、各軸平面上に 4 つの頂点があります。ただし、反転しているため、頂点以外の頂点は 2 つの正方形 (赤と緑) と 1 つの長方形 (青) を形成し、合計 14 の頂点は 4 つの異なる種類になります。

4 つの鋭角な面角に囲まれた 2 つの 4 度頂点 (垂直軸頂点、最初の図では黒色)。
3 つの鋭角と 1 つの鈍角に囲まれた 4 つの次数 4 の頂点 (水平面の頂点、最初の図では青色)。
3 つの鈍角に囲まれた 4 つの 3 次頂点 (最初の図では赤色の 1 つの垂直軸面頂点)。
2 つの鈍角と 1 つの鋭角に囲まれた 4 つの 3 次頂点 (その他の垂直軸面頂点、最初の図の緑色)。

顔

黄金菱形の補角は以下の通りである: ^[6]

鋭角：

\alpha =\arctan 2\approx 63.434~949^{\circ };

鈍角：

\beta =\pi -\arctan 2\approx 116.565~051^{\circ }.

ビリンスキー十二面体の面は 12 個の合同な黄金菱形ですが、反転しているため、次の 3 つの異なる種類があります。

4種類の頂点すべてを持つ8つの頂点面、
青と赤の頂点が交互に並ぶ2つの側面（最初の図では前面と背面）
青と緑の頂点が交互に並ぶ 2 つの側面 (最初の図の左と右)。

（エッジと前面が色分けされた図も参照してください。）

エッジ

ビリンスキー十二面体の 24 辺の長さは同じですが、反転しているため、次の 4 つの異なる種類があります。

黒と赤の頂点を持つ4つの頂点エッジ（最初の図）、
黒と緑の頂点を持つ4つの頂点エッジ（最初の図）、
青と赤の頂点を持つ8つの辺（最初の図）、
青と緑の頂点を持つ 8 つの側面エッジ (最初の図)。

（エッジと前面が色分けされた図も参照してください。）

直交座標

厚さ 2 のビリンスキー十二面体の頂点は次の直交座標を持ちます。ここで $φ は$ 黄金比です。

多面体のファミリー

ビリンスキー十二面体は平行面体であり、したがって空間充填多面体であり、ゾノヘドロンでもあります。

菱形十二面体との関係

1962年の論文で、HSMコクセターはビリンスキー十二面体は菱形十二面体からアフィン変換によって得られると主張したが、これは誤りである。 ^[7]

菱形十二面体では、すべての長い対角線（つまり、反対側の次数 4 の頂点にあるもの）は、4 つの面の短い対角線と平行です。

ビリンスキー十二面体では、最も長い対角線（すなわち、反対側の黒い次数4の頂点にあるもの）は、2つの面の短い対角線と、他の2つの面の長い対角線に平行です。より短い対角線（すなわち、反対側の青い次数4の頂点にあるもの）は、どの面の対角線とも平行ではありません。^[5]

菱形十二面体の任意のアフィン変換では、すべての長い体対角線 (つまり、反対の次数 4 の頂点にある) は 4 つの面対角線と平行のままであり、これらは同じ (新しい) 長さのままです。

金色の菱形面を持つゾノヘドラ

ビリンスキー十二面体は、菱形三十面体（別のゾノヘドロンで、30の合同な黄金菱形面を持つ）から、10面体と8面体の平行な辺を持つ黄金菱形面の2つのゾーンまたはベルトを削除または折りたたむことで形成されます。10面体のゾーンを1つだけ削除すると、菱形二十面体が生成されます。10面体、8面体、6面体のゾーンを3つ削除すると、黄金菱形面体が生成されます。^[4]^[5]したがって、ビリンスキー十二面体から6面体のゾーンを削除すると、黄金菱形面体が生成されます。ビリンスキー十二面体は、各タイプを2つずつ、合計4つの黄金菱形に分解できます。^[8]

黄金菱形面を持つゾノヘドラの頂点は、係数が0または1である2つから6つの生成辺ベクトルの線形結合によって計算できます。^[9]ベルト $mn$ $は$ 、 $n$ 方向ベクトルを表し、同じ長さの $m本$ の平行辺を含むベルトを意味します。ビリンスキー十二面体には、6つの平行辺を持つ4つのベルトがあります。

これらのゾノヘドラは、 $n$ 次元の射影基底と黄金比( $φ ) を持つ$ 超立方体の射影エンベロープです。 $n$ $= 6 の場合、$ 特定の基底は次のようになります。

x = (1, φ, 0,-1, φ, 0)、

y = (φ, 0, 1, φ, 0,-1),

z = (0, 1, φ, 0,-1, φ) です。

$n$ = 5の場合 $、$ 基底は 6 列目を削除したものと同じです。n $= 4 の場合、 5 列目と 6 列目が削除$ $さ$ れます。

参考文献

^ ハート、ジョージ W. (2000)、「菱形エネアコンタヘドロンの色合わせ解剖」、シンメトリー：文化と科学、11 (1–4): 183–199、MR 2001417。
^ カウリー、ジョン・ロッジ（1752）、幾何学を簡単にする、あるいは幾何学の要素の新しい方法論的説明、ロンドン、図版5、図16Hart (2000) より引用。
^ Bilinski, S. (1960)、「Über die Rhombenisoeder」、Glasnik Mat.フィズ。アストラ。、15 : 251–263、Zbl 0099.15506。
^ ab クロムウェル、ピーター R. (1997)、多面体: 幾何学の最も魅力的な章の 1 つ、ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局、p. 156、ISBN 0-521-55432-2、MR 1458063。
^ abc Grünbaum, Branko (2010)、「ビリンスキー十二面体と各種平行六面体、ゾノヘドラ、モノヘドラ、イソゾノヘドラ、その他の六面体」、数学インテリジェンサー、32 (4): 5–15、doi :10.1007/s00283-010-9138-7、hdl : 1773/15593、MR 2747698、S2CID 120403108。
^ 小川徹（1987年1月）「3次元準結晶の対称性」、Materials Science Forum、22–24: 187–200、doi :10.4028/www.scientific.net/msf.22-24.187、S2CID 137677876特に188ページの表1を参照。
^ Coxeter、HSM (1962)、「射影図によるゾノヘドラの分類」、Journal de Mathématiques Pures et Appliquées、41 : 137–156、MR 0141004. Coxeter, HSM (1968)『Twelve Geometry Essays』、Carbondale、Ill.: Southern Illinois University Press、MR 0310745に再録（幾何学の美。12のエッセイ、ドーバー、1999年、MR 1717154）。
^ 「Golden Rhombohedra」、CutOutFoldUp 、2016年5月26日閲覧
^ V を頂点の数、e _{k を}k番目の生成辺ベクトルとします。ここで 1 ≤ k ≤ nです。2 ≤ n ≤ 3 の場合、 V = card(𝒫 { e ₁ ,..., e _n }) = 2 ^{n です}。4 ≤ n ≤ 6 の場合、V < 2 ⁿです。これは、係数が 0 または 1 である 4 つから 6 つの生成辺ベクトルの線形結合の一部が、黄金菱形ゾノヘドロン内で厳密に終了するためです。
^ e _{k を}k番目の生成エッジベクトルとします( 1 ≤ k ≤ n)。例: e ₁とe _{n は、}向かい合う菱形のペアに対応し、...、e _n₋₁とe _{n は}、向かい合う菱形の異なるペアに対応します。全体として、e _{n は}、向かい合う菱形のn −1 つの異なるペアで表され、つまり 2( n −1) つの異なる菱形で表されます。これらはストリップを形成します。これは閉じています。そうでなければ無限大になります。したがって、e _{n は}このベルトの 2( n −1) つの異なる (平行な) エッジで表されます。
^黄金菱形ゾノヘドロンは、 n個の生成辺ベクトルのうち2つに対応する向かい合う菱形のペアを持つため、F = 2×( ⁿ₂ ) = n ( n −1) 個の面を持ちます。
^ 黄金菱形ゾノヘドロンは、各面が 4 つの辺上にあり、各辺が 2 つの面上にあるため、
E = 4 F /2 = 2 F = 2 n ( n −1) の辺を持ちます。
^ 黄金菱形ゾノヘドロンの頂点数は、
V = E − F +2 = 2 n ( n −1)− n ( n −1)+2 = n ( n −1)+2 です。

外部リンク

VRMLモデル、George W. Hart : www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/rhombic_dodecahedron_of_second_kind.wrl
アニメーションと座標、David I. McCooey: dmccooey.com/polyhedra/BilinskiDodecahedron.html
クロアチアから新しい菱形十二面体が登場！、Matt Parkerによる YouTube 動画

[1] ハート、ジョージ W. (2000)、「菱形エネアコンタヘドロンの色合わせ解剖」、シンメトリー：文化と科学、11 (1–4): 183–199、MR 2001417。

[2] カウリー、ジョン・ロッジ（1752）、幾何学を簡単にする、あるいは幾何学の要素の新しい方法論的説明、ロンドン、図版5、図16Hart (2000) より引用。

[3] Bilinski, S. (1960)、「Über die Rhombenisoeder」、Glasnik Mat.フィズ。アストラ。、15 : 251–263、Zbl 0099.15506。

[crom-4] クロムウェル、ピーター R. (1997)、多面体: 幾何学の最も魅力的な章の 1 つ、ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局、p. 156、ISBN 0-521-55432-2、MR 1458063。

[grun-5] Grünbaum, Branko (2010)、「ビリンスキー十二面体と各種平行六面体、ゾノヘドラ、モノヘドラ、イソゾノヘドラ、その他の六面体」、数学インテリジェンサー、32 (4): 5–15、doi :10.1007/s00283-010-9138-7、hdl : 1773/15593、MR 2747698、S2CID 120403108。

[ogawa-6] 小川徹（1987年1月）「3次元準結晶の対称性」、Materials Science Forum、22–24: 187–200、doi :10.4028/www.scientific.net/msf.22-24.187、S2CID 137677876特に188ページの表1を参照。

[7] Coxeter、HSM (1962)、「射影図によるゾノヘドラの分類」、Journal de Mathématiques Pures et Appliquées、41 : 137–156、MR 0141004. Coxeter, HSM (1968)『Twelve Geometry Essays』、Carbondale、Ill.: Southern Illinois University Press、MR 0310745に再録（幾何学の美。12のエッセイ、ドーバー、1999年、MR 1717154）。

[8] 「Golden Rhombohedra」、CutOutFoldUp 、2016年5月26日閲覧

[9] V を頂点の数、e _{k を}k番目の生成辺ベクトルとします。ここで 1 ≤ k ≤ nです。2 ≤ n ≤ 3 の場合、 V = card(𝒫 { e ₁ ,..., e _n }) = 2 ^{n です}。4 ≤ n ≤ 6 の場合、V < 2 ⁿです。これは、係数が 0 または 1 である 4 つから 6 つの生成辺ベクトルの線形結合の一部が、黄金菱形ゾノヘドロン内で厳密に終了するためです。

[10] _{k を}k番目の生成エッジベクトルとします( 1 ≤ k ≤ n)。例: e ₁とe _{n は、}向かい合う菱形のペアに対応し、...、e _n₋₁とe _{n は}、向かい合う菱形の異なるペアに対応します。全体として、e _{n は}、向かい合う菱形のn −1 つの異なるペアで表され、つまり 2( n −1) つの異なる菱形で表されます。これらはストリップを形成します。これは閉じています。そうでなければ無限大になります。したがって、e _{n は}このベルトの 2( n −1) つの異なる (平行な) エッジで表されます。

[11] ^黄金菱形ゾノヘドロンは、 n個の生成辺ベクトルのうち2つに対応する向かい合う菱形のペアを持つため、F = 2×( ⁿ₂ ) = n ( n −1) 個の面を持ちます。

[12] 黄金菱形ゾノヘドロンは、各面が 4 つの辺上にあり、各辺が 2 つの面上にあるため、
E = 4 F /2 = 2 F = 2 n ( n −1) の辺を持ちます。

[13] 黄金菱形ゾノヘドロンの頂点数は、
V = E − F +2 = 2 n ( n −1)− n ( n −1)+2 = n ( n −1)+2 です。