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黄金比基数は、黄金比（無理数）を用いた非整数位取り記数法である。 約 1.61803399 を基数とし、ギリシャ文字φで表されます。基数 φ、黄金比基数、ファイ基数、または口語的にフィナリーと呼ばれることもあります。任意の非負の実数は、数字 0 と 1 のみを使用し、数字列「11」を避けて基数 φ 数として表すことができます。これは標準形式と呼ばれます。数字列「11」を含む基数 φ 数は、基数 φ の代数的性質、特に φ n + φ n − 1 = φ n + 1を使用することで、常に標準形式に書き直すことができます。たとえば、11 φ = 100 φです。
無理数基数を使用しているにもかかわらず、標準形式を使用すると、すべての非負整数は、有限基数φ展開として一意の表現を持ちます。有限基数φ表現を持つ数の集合は環Zです[] ; これは、この数体系において、 2進数における二進有理数と同じ役割を果たし、乗算の可能性を提供します。
その他の数は基数φで標準的な表現を持ち、有理数は循環表現を持ちます。これらの表現は一意ですが、有限展開を持つ数は無限展開も持ちます。たとえば、基数φでは1 = 0.1010101…ですが、10進数では1 = 0.99999…となります。
以下の非標準形式から標準形式への変換例では、符号付き数字の-1を表すために表記1が使用されています。
211.0 1 φ は、標準的な基数 φ の数字ではありません。なぜなら、この数字には「11」と、さらに「2」と「1」= −1 が含まれており、これらは「0」または「1」ではないからです。
数値を標準形式にするには、次の置換を使用できます。、、、置換はどのような順序で行っても結果は同じになります。以下では、前の行の数値に適用した置換が右側に、その結果の数値が左側に示されています。
非標準的な終端基数φ表現を持つ任意の正の数は、この方法で一意に標準化できます。最初の桁が負の数である場合を除き、すべての桁が「0」または「1」になる場合、その数は負の数です。（ただし、最初の桁が-1で、次の2桁が1の場合、例えば1 111.001=1.001 の場合は例外です。）これは、すべての桁を負にし、結果を標準化し、それを負の数としてマークすることで、基数φ表現の負の数に変換できます。たとえば、負の数を表すためにマイナス記号やその他の意味を使用します。
整数を非標準基数φの（唯一の）桁とみなして標準化するか、あるいは以下のいずれかの方法をとることができます。
1 × 1 = 1、φ × φ = 1 + φ、1 / φ = −1 + φ。したがって、計算できます。
そして
つまり、整数値のみを使用して、( a + b φ )の形式の数を加算、減算、乗算することができ、さらにφ の正負の整数乗を表すこともできます。
( a + b φ) > ( c + d φ) は、2( a − c ) − ( d − b ) > ( d − b ) × √ 5の場合に限り成り立ちます。片側が負で、もう片側が正の場合、比較は自明です。そうでない場合は、両辺を二乗して整数比較を行い、両辺が負の場合は比較方向を反転させます。両辺を二乗すると、整数5に置き換えられます。
したがって、整数値のみを使用して、（ a + b φ）の形式の数値を比較することもできます。
上記の手順では、11 φ = 100 φであるため、シーケンス「11」が得られることはありません。つまり、シーケンス「11」の前に「1」が欠落していることになります。
例えば、整数 = 5 から始め、これまでの結果は ...00000.00000... φとなります。
φ ≤ 5 の最高べき乗は φ 3 = 1 + 2φ ≈ 4.236067977です。
これを5から引くと、5 − (1 + 2φ) = 4 − 2φ ≈ 0.763932023...となり、これまでの結果は1000.00000... φとなります。
φ ≤ 4 − 2φ ≈ 0.763932023... の最高次数は φ −1 = −1 + 1φ ≈ 0.618033989...です。
これを 4 − 2φ ≈ 0.763932023... から引くと、4 − 2φ − (−1 + 1φ) = 5 − 3φ ≈ 0.145898034... となり、これまでの結果は 1000.10000... φとなります。
φ ≤ 5 − 3φ ≈ 0.145898034... の最高次数は φ −4 = 5 − 3φ ≈ 0.145898034...です。
これを 5 − 3φ ≈ 0.145898034... から引くと、5 − 3φ − (5 − 3φ) = 0 + 0φ = 0 となり、最終結果は1000.1001 φとなります。
他のn進数システムと同様に、有限小数には循環小数という別の表現方法があります。10進数では、これは0.999... = 1という観察に基づいています。φ進数では、0.1010101...という数字は、いくつかの方法で1に等しいことがわかります。
この一意性の欠如は、1.0000 と 0.101010... の両方が標準形式であるため、番号付けシステムの特徴です。
一般的に、φ基数における任意の数の末尾の1は、その数の値を変えることなく、循環小数01に置き換えることができる。
すべての非負の有理数は、循環する基底φ展開として表すことができ、有理数とによって生成される体Q [ √ 5 ] = Q + √ 5 Qの非負の要素も同様である。逆に、循環小数（または有限小数）の基数φ展開は、 Q [ √5 ]の非負の要素です。循環小数の場合、循環部分は上線で示されています。
有理数が循環展開を与えるという正当化は、n進数体系 ( n = 2,3,4,...) の同等の証明と類似しています。本質的に、φ 進数の長除法では可能な剰余の数は有限個しかないため、必ず循環パターンが存在します。例えば、1 / 2 = 1 / 10.01 φ = 100 φ / 1001 φ の場合、長除法は次のようになります( φ進数の減算は最初は理解しにくいかもしれません)。
.0 1 0 0 1 ________________________ 1 0 0 1 ) 1 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 取引: 10000 = 1100 = 1011 ------- つまり 10000 − 1001 = 1011 − 1001 = 10 1 0 0 0 0 1 0 0 1 ------- 等
逆もまた真であり、循環する基数φ;表現を持つ数は体Q [ √5 ]の要素である。これは、周期kの循環表現が比φ -kの等比級数を含み、その和がQ [ √5 ]の要素になるという観察から導かれる。
いくつかの興味深い数の基数φ表現：
10進数演算の標準アルゴリズムはすべてφ進数演算に適用可能です。これには2つのアプローチがあります。
2つのφ基数の加算では、桁のペアごとに繰り上がりなしで加算し、その後、数値を標準形式に変換します。減算では、桁のペアごとに繰り下がりなしで減算し（繰り下がりとは負の繰り上がりのことです）、その後、数値を標準形式に変換します。乗算では、通常の10進法で繰り上がりなしで乗算し、その後、数値を標準形式に変換します。
例えば、
より「ネイティブ」なアプローチは、1 + 1 のように数字を足したり、0 − 1 のように引き算したりすることを避けることです。これは、オペランドを非標準形式に再編成して、これらの組み合わせが発生しないようにすることで実現されます。たとえば、
ここで示されている減算は、標準的な「トレーディング」アルゴリズムを改良した減算方法を使用しています。
整数でない有理数は、有限基数φの数として表現することはできません。言い換えれば、有限に表現可能な基数φの数はすべて、整数か（より可能性が高いのは）二次体Q [ √5 ]の無理数です。長除法では可能な剰余が有限個しかないため、2つの整数（または有限基数φ表現を持つ他の数）の除算は、上記のように循環展開になります。
フィボナッチ符号化は、整数に使用される密接に関連した記数法です。このシステムでは、数字の 0 と 1 のみが使用され、数字の位の値はフィボナッチ数になります。基数 φ と同様に、数字の並び「11」は、フィボナッチ漸化式F k +1 = F k + F k −1を使用して標準形式に並べ替えることで回避されます。たとえば、
基数φの算術とフィボナッチ数列を組み合わせることが可能です。基数φの数のゼロ以外の桁に対応する一般フィボナッチ数列の数の合計は、基数φの数と数列のゼロ位置の要素の積になります。例：
