フィールドノルム

数学において、（体の）ノルムは、体理論で定義される特定のマッピングであり、より大きな体の要素を部分体にマッピングします。

K を体とし、 LをK の有限拡大（したがって代数 拡大）とします。

このとき、体L はK上の有限次元 ベクトル空間になります。

Lの元αを乗算すると、

${\displaystyle m_{\alpha }\colon L\to L}$

${\displaystyle m_{\alpha }(x)=\alpha x}$、

このベクトル空間をそれ自身に 変換するK線型変換です。

ノルムN _{L / K} ( α )は、この線形変換の行列式として定義されます。 ^[1]

L / Kがガロア拡大である場合、 α ∈ Lのノルムをαのすべてのガロア共役の積として計算できます。

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha ),}$

ここで Gal( L / K ) はL / Kのガロア群を表す。^[2]（積の項に重複がある場合があることに注意。）

一般体拡大L / KとL内の非ゼロαに対して、σ ₁ ( α ), ..., σ _n ( α ) をK上のαの最小多項式の根（重複度とともにリストされ、 L の拡大体に存在する根）とすると、

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\left(\prod _{j=1}^{n}\sigma _{j}(\alpha )\right)^{[L:K(\alpha )]}}$。

L / Kが分離可能な 場合、各根は積の中に 1 回だけ現れます (ただし、指数、次数[ L : K ( α )] は 1 より大きい場合があります)。

ノルムの基本的な例の 1 つは、平方のない整数で ある二次体拡張から得られます。${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }$${\displaystyle a}$

そして、要素上の乗算写像は ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$${\displaystyle x+y\cdot {\sqrt {a}}}$

${\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot (x+y\cdot {\sqrt {a}})=y\cdot a+x\cdot {\sqrt {a}}.}$

要素はベクトルで表すことができる ${\displaystyle x+y\cdot {\sqrt {a}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$

-ベクトル空間として直和分解が存在するためである。 ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {a}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

の行列は​ ${\displaystyle m_{\sqrt {a}}}$

${\displaystyle m_{\sqrt {a}}={\begin{bmatrix}0&a\\1&0\end{bmatrix}}}$

そしてノルムは です。これはこの行列の行列式だからです。 ${\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {a}})=-a}$

数体 を考えてみましょう。 ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

上のガロア群は順序を持ち、を に送信する元によって生成されます。したがって、 のノルムは次のようになります。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle d=2}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})(1-{\sqrt {2}})=-1.}$

体ノルムはガロア群なしでも得ることができます。

の -基底を固定して、次のようにします。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

${\displaystyle \{1,{\sqrt {2}}\}}$。

次に、その数を掛け合わせる と${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

1 からおよび${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$に。${\displaystyle 2+{\sqrt {2}}}$

したがって、「」を掛ける行列式は、ベクトルを送る行列の行列式である。 ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$（最初の基底要素、すなわち1に対応）から、${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$（第２基底要素、すなわち に対応）から、${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}}$

すなわち：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}}.}$

この行列の行列式は -1 です。

別の簡単な例のクラスは、固定された奇数の素数 に対して、の素因数分解に- 乗が含まれない形式の体拡張から得られます。${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }$${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

要素 の乗算写像は${\displaystyle {\sqrt[{p}]{a}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\sqrt[{p}]{a}}(x)&={\sqrt[{p}]{a}}\cdot (a_{0}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+\cdots +a_{p-1}{\sqrt[{p}]{a^{p-1}}})\\&=a_{0}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{3}}}+\cdots +a_{p-1}a\end{aligned}}}$

マトリックスを与える

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&a\\1&0&\cdots &0&0\\0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}$

行列式はノルムを与える

${\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt[{p}]{a}})=(-1)^{p-1}a=a.}$

複素数から実数への体ノルムは

x + iy

に

x ² + y ²、

のガロア群には2つの元があるため、 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

• アイデンティティ要素と
• 複雑な活用、

積をとると( x + iy )( x − iy )= x2 + y2^となる。

L = GF( q ⁿ )を有限体 K = GF( q )の有限拡大とする。

L / Kはガロア拡大なので、 αがLに含まれる場合、 αのノルムはαのすべてのガロア共役の積、つまり^{[3]となる。}

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdot \alpha ^{q^{2}}\cdots \alpha ^{q^{n-1}}=\alpha ^{(q^{n}-1)/(q-1)}.}$

この設定では、追加のプロパティがあります。^[4]

• ${\displaystyle \forall \alpha \in L,\quad \operatorname {N} _{L/K}(\alpha ^{q})=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )}$
• ${\displaystyle \forall a\in K,\quad \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{n}.}$

ノルム関数のいくつかの性質は任意の有限拡張に対して成り立つ。^{[5] [6]}

ノルムN _{L / K}  : L * → K * は、Lの乗法群からKの乗法群への群準同型であり、

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha \beta )=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )\operatorname {N} _{L/K}(\beta ){\text{ for all }}\alpha ,\beta \in L^{*}.}$

さらに、Kにa がある場合:

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a\alpha )=a^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(\alpha ){\text{ for all }}\alpha \in L.}$

a ∈ Kならば​${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{[L:K]}.}$

さらに、このノルムはフィールドのタワーでも適切に動作します。

M がLの有限拡張である場合、 MからKへのノルムはMからLへのノルムとLからKへのノルムの合成に過ぎず、つまり

${\displaystyle \operatorname {N} _{M/K}=\operatorname {N} _{L/K}\circ \operatorname {N} _{M/L}.}$

任意の体拡大の要素のノルムは、体拡大の次数が既に分かっている場合は、より簡単な計算に還元することができる。これは

${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )=N_{K(\alpha )/K}(\alpha )^{[L:K(\alpha )]}}$^[6]

例えば、体拡大 においてのノルムは${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}}$${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}),K=\mathbb {Q} }$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})&=N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})^{[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}):\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})]}\\&=(-2)^{2}\\&=4\end{aligned}}}$

体の拡大の次数はであるためです。 ${\displaystyle L/K(\alpha )}$${\displaystyle 2}$

代数体の整数環では、 のときのみ、元は単位となる。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle N_{K/\mathbb {Q} }(\alpha )=\pm 1}$

例えば

${\displaystyle N_{\mathbb {Q} (\zeta _{3})/\mathbb {Q} }(\zeta _{3})=1}$

どこ

${\displaystyle \zeta _{3}^{3}=1}$。

したがって、整数環に含まれる任意の数体はそれを単位として持ちます。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$${\displaystyle \zeta _{3}}$

代数的整数のノルムは、特性多項式の定数項と等しい（符号を除く）ため、やはり整数です。

代数的整数論では、イデアルのノルムも定義されます。これは、I がO _Kの非ゼロイデアルである場合、数体Kの整数環、N ( I ) が の留数類の数 、つまりこの有限環の濃度になるように行われます。したがって、このイデアルノルムは常に正の整数です。 ${\displaystyle O_{K}/I}$

I が主イデアル αO _Kのとき、N ( I ) は代数的整数αのQに対するノルムの絶対値に等しくなります。

• フィールドトレース
• 理想的な規範
• 標準形式

• リドル、ルドルフ;ニーダーライター、ハラルド(1997) [1983]、有限体、数学とその応用百科事典、第20巻（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-39231-4、ZBL  0866.11069
• マレン、ゲイリー L.; パナリオ、ダニエル (2013)、有限体ハンドブック、CRC プレス、ISBN 978-1-4398-7378-6
• ローマン、スティーブン（2006）、場の理論、Graduate Texts in Mathematics、第158巻（第2版）、Springer、第8章、ISBN 978-0-387-27677-9、Zbl  1172.12001
• ロットマン、ジョセフ J. (2002)、Advanced Modern Algebra、Prentice Hall、ISBN 978-0-13-087868-7