理想的な三角形

双曲幾何学において、理想三角形とは、 3 つの頂点がすべて理想点である双曲三角形のことです。理想三角形は、三重漸近三角形または三重漸近三角形と呼ばれることもあります。頂点は理想頂点と呼ばれることもあります。すべての理想三角形は合同です。

理想的な三角形には次の特性があります。

• すべての理想的な三角形は互いに合同です。
• 理想的な三角形の内角はすべてゼロです。
• 理想的な三角形は周囲が無限です。
• 理想三角形は双曲幾何学で可能な最大の三角形です。

標準双曲面（一定のガウス曲率が -1 である表面）では、次の特性も得られます。

• 任意の理想的な三角形の面積はπである。^[1]

• 理想的な三角形に内接する円の半径は

${\displaystyle r=\ln {\sqrt {3}}={\frac {1}{2}}\ln 3=\operatorname {artanh} {\frac {1}{2}}=2\operatorname {artanh} (2-{\sqrt {3}})=}$ ${\displaystyle =\operatorname {arsinh} {\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}=\operatorname {arcosh} {\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\approx 0.549}$^[2 ]

三角形内の任意の点から三角形の最も近い辺までの距離は、上記の半径r以下であり、内接円の中心についてのみ等しくなります。

• 内接円は3点で三角形と接し、辺の長さが^[2]の正三角形を形成します。ここで、黄金比です。${\displaystyle d=\ln \left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{{\sqrt {5}}-1}}\right)=2\ln \varphi \approx 0.962}$${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

三角形の内側の点の周りの半径dの円は、三角形の少なくとも 2 辺と交わります。

• 三角形の 1 辺上の任意の点から三角形の別の辺までの距離は に等しいかそれ以下であり、等しくなるのは上記の接点についてのみです。${\displaystyle a=\ln \left(1+{\sqrt {2}}\right)\approx 0.881}$

a はシュバイカルト三角形の高度でもあります。

理想三角形は双曲幾何学で可能な最大の三角形であるため、上記の測定値は任意の 双曲三角形に対して可能な最大値です。この事実はδ 双曲空間の研究において重要です。

双曲面のポアンカレ円板モデルでは、理想的な三角形は境界円と直角に交差する 3 つの円で囲まれます。

ポアンカレ半平面モデルでは、理想的な三角形は、互いに接する 3 つの半円の間にある図形であるアルベロスによってモデル化されます。

双曲面のベルトラミ・クラインモデルでは、理想三角形は境界円で囲まれたユークリッド三角形によってモデル化されます。ベルトラミ・クラインモデルでは、理想三角形の頂点の角度はゼロではないことに注意してください。これは、ベルトラミ・クラインモデルがポアンカレ円板や半平面モデルとは異なり、共形ではない、つまり角度を保存しないためです。

実理想三角形群は、理想三角形の辺を通した双曲面の反射によって生成される反射群です。代数的には、3 つの位数 2 の群の自由積と同型です(Schwartz 2001)。

• シュワルツ、リチャード・エヴァン (2001)。「理想三角形群、へこんだトーラス、数値解析」。Annals of Mathematics。Ser。2。153 ( 3): 533–598。arXiv : math.DG/0105264。doi : 10.2307/2661362。JSTOR 2661362。MR  1836282  。