基本単位（数論）

代数的整数論において、基本単位とは、数体の整数環の単位群が階数1であるとき（つまり、単位群を法としてその捩れ部分群が無限巡回であるとき）の、その単位群の生成元（単位の根を法として）である。ディリクレの単位定理によれば、数体 が実二次体、複素三次体、または全虚四次体のとき、単位群は階数 1 になる。単位群が階数 ≥ 1 であるとき、その捩れを法としてその基底は基本単位系と呼ばれる。^{[1]著者によっては、階数 1 の場合に限らず、}基本単位という用語を基本単位系の任意の要素の意味で使用している（例えば、Neukirch 1999、p. 42）。

実数二次体（dは平方自由）の場合、基本単位εは一般にε > 1（実数として）となるように正規化される。すると、1より大きい単位の中で最小の単位として一意に特徴付けられる。ΔがKの判別式を表す場合、基本単位は ${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {a+b{\sqrt {\Delta }}}{2}}}$

ここで（a ,  b ）は^[2]の最小解である。

${\displaystyle x^{2}-\Delta y^{2}=\pm 4}$

正の整数の場合。この方程式は基本的にペル方程式または負のペル方程式であり、その解は の連分数展開を使用して同様に得ることができます。 ${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$

x ²  − Δ y ²  = −4 が解を持つかどうかは、Kの類群がその狭い類群と同じかどうか、または同等に、 Kにノルムの単位 −1 があるかどうかを決定します。 この方程式は、 の連分数展開の周期が奇数の場合に限り、解を持つことが知られています。 合同法を使用して、より単純な関係を得ることができます。 Δ が 4 を法として 3 と合同な素数で割り切れる場合、Kにはノルムの単位 −1 はありません。 ただし、例d  = 34で示されているように、逆は成り立ちません。 ^[3] 1990 年代初頭、ピーター・スティーブンハーゲンは、逆がどのくらいの頻度で失敗するかについての推測につながる確率モデルを提案しました。具体的には、判別式Δ < Xが4を法として3と合同な素数で割り切れない実二次体の数をD ( X )とし、ノルムの単位が-1であるものをD ⁻ ( X )とすると、 ^[4]${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$

${\displaystyle \lim _{X\rightarrow \infty}{\frac {D^{-}(X)}{D(X)}}=1-\prod _{j\geq 1{\text{ odd}}}\left(1-2^{-j}\right).}$

言い換えれば、逆は約42%の確率で失敗する。2012年3月現在、この予想に対する最近の結果は、エティエンヌ・フーヴリーとユルゲン・クリューナーズ^[5]によって提供されており、彼らは逆が33%から59%の確率で失敗することを示しています。2022年には、ピーター・コイマンスとカルロ・パガーノ^[6]がスティーブンハーゲンの予想の完全な証明を主張した。

Kが複素三次体であれば、一意の実埋め込みを持ち、この埋め込みにおいて|ε| > 1となるような基本単位εを一意に選ぶことができる。Kの判別式Δが|Δ| ≥ 33を満たす場合、^[7]

${\displaystyle \epsilon ^{3}>{\frac {|\Delta |-27}{4}}.}$

例えば、 の基本単位はであり、この体 の判別式は −108 なので、 ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$${\displaystyle \epsilon =1+{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{2^{2}}},}$${\displaystyle \epsilon ^{3}\approx 56.9}$

${\displaystyle {\frac {|\Delta |-27}{4}}=20.25}$

それで。 ${\displaystyle \epsilon ^{3}\approx 56.9>20.25}$

• アラカ、シャバン、ウィリアムズ、ケネス S. (2004)、代数的数論入門、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-54011-7
• ダンカン・ビューエル（1989）、バイナリ二次形式：古典理論と現代計算、シュプリンガー・フェアラーク、pp. 92-93、ISBN 978-0-387-97037-0
• Fouvry, Étienne; Klüners, Jürgen (2010)、「負のペル方程式について」、Annals of Mathematics、2 (3): 2035–2104、doi : 10.4007/annals.2010.172.2035、MR  2726105
• Neukirch、Jürgen (1999)、代数的整数論、Grundlehren der mathematischen Wissenschaften、vol. 322、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-65399-8、MR  1697859、Zbl  0956.11021
• スティーブンハーゲン、ピーター (1993)、「負のノルムの単位を持つ実二次体の数」、実験数学、2 (2): 121–136、CiteSeerX  10.1.1.27.3512、doi :10.1080/10586458.1993.10504272、MR  1259426

• ワイスタイン、エリック・W.「基本ユニット」。マスワールド。