菱形三十面体

菱形三十面体
タイプ	カタルーニャの堅実さ
顔	30
エッジ	60
頂点	32
対称グループ	二十面体対称性 ${\displaystyle \mathrm {I} _{\mathrm {h} }}$
二面角（度）	144°
二重多面体	二十面体
プロパティ	凸面体、面推移等 面体、等軸等角体、帯面体
ネット

菱形三十面体は、最も一般的な三十面体であるため単に三十面体と呼ばれることもあり、 30 の菱面体面を持つ凸多面体です。2 種類の 60 の辺と 32 の頂点を持ちます。これはカタラン立体であり、二十四面体の双対多面体です。これはゾノヘドロンです。

各面の長い対角線と短い対角線の比は黄金比 φ と正確に等しく、各面の鋭角は2 arctan ( ⁠1/φ⁠ ) = arctan(2)、つまり約63.43°です。このようにして得られた菱形は黄金菱形と呼ばれます。

菱形三十面体はアルキメデスの立体の双対であるため、面推移的であり、立体の対称群が面の集合に対して推移的に作用することを意味します。つまり、任意の 2 つの面AとBについて、面Aから面Bへ移動するときに立体の回転または反射があり、立体は同じ空間領域を占めます。

菱形三十面体は、9 つ​​の辺が推移する凸多面体のうちの 1 つであるという点でやや特殊です。他の 5 つの凸多面体は、正八面体、二十十二面体、菱形十二面体です。

菱形三十面体は、頂点に 4 つのプラトン立体の配置が含まれているという点でも興味深い。四面体 10 個、立方体5 個、二十面体1 個、十二面体 1 個が含まれる。面の中心には八面体5 個が含まれる。

切頂八面体の六角形の面を 3 つの菱形に分割することで 作成できます。

φ を黄金比とする。(0, ±1, ± φ )とこれらの座標の巡回順列で与えられる 12 個の点は、正二十面体の頂点である。その双対正十二面体は、辺が二十面体の辺と直角に交差し、8 個の点(±1, ±1, ±1)と 12 個の点(0, ± φ , ± ⁠)を頂点とする。1/φ⁠）およびこれらの座標の巡回順列。32 点すべてが原点を中心とする菱形三十面体の頂点となる。辺の長さは√ 3 – φ ≈である。1.175 570 504 58。その面の対角線の長さは2と⁠2/φ⁠ .

菱形三十面体の一辺の長さがaの場合、表面積、体積、内接球の半径（菱形三十面体の各面に接する）、各辺の中央に接する中半径は次のようになる。^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=12{\sqrt {5}}\,a^{2}&&\approx 26.8328a^{2}\\[6px]V&=4{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,a^{3}&&\approx 12.3107a^{3}\\[6px]r_{\mathrm {i} }&={\frac {\varphi ^{2}}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}}\,a={\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\,a&&\approx 1.37638a\\[6px]r_{\mathrm {m} }&=\left(1+{\frac {1}{\sqrt {5}}}\right)\,a&&\approx 1.44721a\end{aligned}}}$

ここでφ は黄金比です。

内接球面は面の重心で面に接します。短い対角線は内接正十二面体の辺にのみ属し、長い対角線は内接正二十面体の辺にのみ含まれます。

菱形三十面体は20個の黄金菱面体に分割でき、そのうち10個は鋭角で、10個は鈍角である。^{[2] [3]}

菱形三十面体には、頂点を中心とする 2 つの対称位置、面の中央に 1 つ、辺の中央に 1 つの対称位置の計 4 つの対称位置があります。投影図「10」には、「太い」菱形と「細い」菱形が埋め込まれており、これらが組み合わさって、ペンローズ タイルと呼ばれる非周期的なタイル分割が生成されます。

菱形三十面体には227個の完全に支えられた星型がある。^{[4] [5]} 菱形三十面体の星型のうちの1つは5つの立方体を組み合わせたものである。菱形三十面体の星型の総数は358 833 097 .

この多面体は、 [ n , 3] コクセター群の対称性を持つ菱形多面体とタイリングのシーケンスの一部です。立方体は菱形が長方形でもある菱形六面体として見ることができます。

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  球面菱形三十面体
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  内接四面体 (赤) と立方体 (黄色) を持つ菱形三十面体。
  (回転モデルについてはここをクリックしてください)
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  内接する十二面体 (青) と二十面体 (紫) を持つ菱形三十面体。
  (回転モデルについてはここをクリックしてください)
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  完全に切頂された菱形三十面体

デンマークのデザイナー、ホルガー・ス​​トロームは、組み立て式ランプ IQ-light (IQ は「連動する四辺形」の略) のデザインのベースとして、菱形三十面体を使用しました。

木工職人のジェーン・コスティックは、菱形三十面体の形をした箱を製作しています。^[6]このシンプルな構造は、菱形三十面体と立方体の間のあまり明白ではない関係に基づいています。

ロジャー・フォン・オエヒの「ボール・オブ・ワックス」は菱形三十面体の形をしています。

菱形三十面体は「d30」の三十面体サイコロとして使用され、ロールプレイングゲームやその他の場面で役立つことがあります。

• 黄金菱形
• ロンビルタイル
• 切頂菱形三十面体

• ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。Dover Publications、Inc. ISBN 0-486-23729-X。（第3-9節）
• ウェニンガー、マグナス（1983）、デュアルモデル、ケンブリッジ大学出版局、doi：10.1017/CBO9780511569371、ISBN 978-0-521-54325-5、MR  0730208（13 個の半正凸多面体とその双対、p. 22、菱形三十面体）
• 物事の対称性2008、ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン・シュトラウス、ISBN 978-1-56881-220-5 [2] （第21章、アルキメデスとカタロニアの多面体とタイリングの命名、p. 285、菱形三十面体） 

• Weisstein, Eric W.、「菱形三十面体」（「カタロニア立体」）（MathWorld）
• 菱形三面体 - インタラクティブ多面体モデル
• バーチャルリアリティ多面体 - 多面体百科事典
• 菱形三十面体の星状構造
• EarthStar 地球儀 – 菱形三十面体地図投影
• IQ-light—デンマークのデザイナー、ホルガー・ス​​トロムのランプ
• 自分で作る 2007年7月17日アーカイブ - Wayback Machine
• 木工職人ジェーン・コスティックによる、菱形三十面体の箱の木造建築
• 120 菱形トライアコンタ面体、30+12 菱形トライアコンタ面体、および 12 菱形トライアコンタ面体 by Sándor Kabai、Wolfram デモンストレーション プロジェクト
• 菱形三十面体上に描かれた毒蛇。