定規とコンパスを使った構築

幾何学において、定規とコンパスによる作図（定規とコンパスによる作図、ユークリッド作図、古典的作図とも呼ばれる）は、理想的な定規とコンパスのみを使用して長さ、角度、およびその他の幾何学的図形を作図することです。

理想的な定規は定規と呼ばれ、長さが無限で、端が 1 つしかなく、目盛りが付いていないものと想定されます。コンパスには最大半径も最小半径もなく、紙から持ち上げると「折りたたまれる」ものと想定されるため、距離の転送に直接使用することはできません。(これは重要でない制限で、複数の手順を使用すれば、折りたためるコンパスでも距離を転送できます。コンパス同値定理を参照してください。ただし、折りたためないコンパスを定規に当てることは、定規に目盛りを付けることと同じように見えるかもしれませんが、neusis 構成は依然として許可されておらず、これが「目盛りなし」の本当の意味です。以下の「目盛り付き定規」を参照してください。) より正式には、許可される構成は、ユークリッドの『原論』の最初の 3 つの公理によって認められるものだけです。

定規とコンパスを使用して作図できるすべての点は、コンパスのみを使用して作図することも、単一の円とその中心が与えられている場合は定規のみを使用して作図することもできることがわかります。

古代ギリシャの数学者は最初に定規とコンパスによる作図を考案し、平面幾何学における古代の問題の多くがこの制約を課している。古代ギリシャ人は多くの作図法を開発したが、場合によっては作図できなかった。ガウスは、いくつかの多角形は作図可能であるが、ほとんどは作図不可能であることを示した。最も有名な定規とコンパスの問題のいくつかは、1837年にピエール・ワンツェルによって場の理論を用いて不可能であることが証明された。具体的には、任意の角度を3等分することと立方体の体積を2倍にすることである（§ 不可能な作図を参照）。これらの問題の多くは、他の幾何学的変換が許される限り簡単に解くことができる。たとえば、最初の2つの問題は、ニューシス作図を使用して解くことができる。

代数学では、長さは、それが構成可能な数を表す場合に限り構成可能であり、角度は、そのコサインが構成可能な数である場合に限り構成可能です。数は、四則演算と平方根の抽出を使用して表すことができ、高次の根を使用できない場合に限り構成可能です。

定規とコンパスの構図における「定規」と「コンパス」は、現実世界の定規とコンパスの理想化されたバージョンです。

• 定規は、マークのない無限に長い辺です。2 点間に線分を描画するため、または既存の線分を延長するためにのみ使用できます。
• コンパスは、目盛りがなくても任意の大きさの半径を持つことができます (現実世界の一部のコンパスとは異なります)。円と円弧は、中心と円上の点という 2 つの点から描くことができます。コンパスは折りたたむことも折りたたまないこともできます (つまり、ページから取り外すと折りたたまれ、保存されている半径が消去されます)。
• 構築された線と円は、精度が無限で幅がゼロです。

実際のコンパスは折りたためないので、現代の幾何学的構成ではこの特徴がよく使われています。「折りたためるコンパス」はそれほど強力ではない道具のように見えます。しかし、ユークリッドの『原論』第 1 巻の命題 2 にあるコンパスの等価定理によれば、折りたためるコンパスを使用してもパワーは失われません。この命題は正しいものの、その証明には長く波瀾万丈な歴史があります。^[1]いずれにせよ、この等価性が、この特徴が理想的なコンパスの定義に規定されていない理由です。

各作図は数学的に正確でなければなりません。距離を「目測」する (作図を見てその正確さを推測する) ことや、定規の目盛りを使用することは許可されていません。各作図は で終了する必要があります。つまり、有限数のステップを持ち、近似値の限界であってはなりません。(無制限の数のステップが許可されると、他の方法では不可能な作図が、限界に収束する無限のシーケンスによって可能になります。)

このように述べると、定規とコンパスによる作図は、深刻な実際的な問題というよりは社交ゲームのように見えますが、この制限の目的は、作図が正確に正しいことを証明できるようにすることです。

古代ギリシャの数学者たちは、最初に定規とコンパスを使った作図を試み、与えられた長さの和、差、積、比、平方根を作る方法を発見した。^{[2] : p. 1}また、与えられた角度の半分、別の正方形の2倍の面積を持つ正方形、与えられた多角形と同じ面積を持つ正方形、3辺、4辺、5辺の正多角形^{[2] : p. xi} (または与えられた多角形の2倍の辺を持つ多角形^{[2] : pp. 49–50} ) を作ることもできた。しかし、特別な場合を除いて、与えられた角度の3分の1を作ることも、与えられた円と同じ面積を持つ正方形を作ることも、他の辺の数を持つ正多角形を作ることもできなかった。^{[2] : p. xi} また、与えられた辺を持つ立方体の体積の2倍の体積を持つ立方体の辺を作ることもできなかった。^{[2] : p. 29}

ヒポクラテスとメナエクモスは、双曲線と放物線の交点を見つけることによって立方体の体積を2倍にできることを示したが、これらは定規とコンパスで作図することはできない。^{[2] : p. 30}紀元前5世紀にヒッピアスは、一般角を三等分するとともに円を二乗するために、彼が方角線と呼んだ曲線を使用し、紀元前2世紀にニコメデスは、任意の角度を三等分するためにコンコイドを使用する方法を示した。 ^{[2] : p. 37}しかし、これらの方法も定規とコンパスだけでは実行できない。

未解決の問題は2千年の間進展がなかったが、1796年にガウスが17辺の正多角形が作図可能であることを示しました。5年後、ガウスはn辺の正多角形が作図可能であるための十分な基準を示しました。 ^{[2] ：pp. 51 ff.}

1837年、ピエール・ヴァンツェルは、長さの3乗根を構成することが不可能であることに基づいて、任意の角度を3等分することや立方体の体積を2倍にすることが不可能であることの証明を発表しました^[3]。彼はまた、正多角形に対するガウスの十分な構成可能性条件も必要であることを示しました^{[4] 。}

その後1882年にリンデマンはが超越数であることを示し、したがって定規とコンパスでは与えられた円と同じ面積の正方形を描くことは不可能であることを証明した。^{[2] : p. 47}${\displaystyle \pi }$

定規とコンパスを使ったすべての作図は、すでに作成された点、線、円を使用した 5 つの基本的な作図を繰り返し適用することで構成されます。これらは次のとおりです。

• 2点を通る線を作成する
• 1つの点を含み、別の点を中心とする円を作成する
• 2本の（平行でない）直線の交点に点を作成する
• 直線と円の交点に1 点または2 点を作成する(交差する場合)
• 2 つの円の交点に 1 点または 2 点を作成します (交差する場合)。

たとえば、2 つの異なる点から始めて、線または 2 つの円のいずれかを作成できます (各点を中心として、もう一方の点を通過)。両方の円を描くと、交点に 2 つの新しい点が作成されます。元の 2 つの点とこれらの新しい点の 1 つの間に線を引くと、正三角形の作成が完了します。

したがって、どんな幾何学の問題でも、最初の記号セット（点と線）、アルゴリズム、およびいくつかの結果があります。この観点から、幾何学は、その要素を記号に置き換えた公理的代数と同等です。おそらくガウスが最初にこれに気づき、それを使用していくつかの構成の不可能性を示しました。ずっと後になって、ヒルベルトが幾何学の公理の完全なセットを発見しました。

最もよく使用される定規とコンパスの構成は次のとおりです。

• 線分から垂直二等分線を作成する
• セグメントの中点を見つけます。
• 点から線へ垂直な線を引く。
• 角度を二等分する
• 線上の点をミラーリングする
• 円に接する点を通る直線の作成
• 3つの非共線点を通る円の作成
• 指定された点を通り、指定された直線と平行な線を描きます。

2 本の線で構成された直交座標系を使用して代数を幾何学に関連付け、平面上の点をベクトルで表すことができます。最後に、これらのベクトルを複素数として記述できます。

直線と円の方程式を使用すると、直線と円が交差する点は、直線上の 2 つの点、円の中心、円の半径を含む最小のフィールドFの2 次拡張内にあることが示されます。つまり、それらは という形式であり、x、y、kはF内にあります。 ${\displaystyle x+y={\sqrt {k}}}$

構成可能点の体は平方根について閉じているので、有理係数の複素数の体の有限の二次拡大列によって得られるすべての点を含む。上の段落により、任意の構成可能点はそのような拡大列によって得られることが示される。この系として、構成可能点（したがって任意の構成可能長さ）の最小多項式の次数は2の累乗であることがわかる。特に、任意の構成可能点（または長さ）は代数的数であるが、すべての代数的数が構成可能というわけではない。たとえば、³ √ 2は代数的であるが構成可能ではない。^[3]

作図可能な角度と、作図可能な任意の円上に作図可能な点との間には一対一の関係がある。作図可能な角度は、2πを法とする加法の下でアーベル群を形成する（これは、複素数として見た単位円上の点の乗算に対応する）。作図可能な角度とは、その正接（または正弦または余弦）が数値として作図可能な角度とまったく同じである。たとえば、正十七角形（17辺の正多角形）は、次の理由で作図可能である 。

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\left({\frac {2\pi }{17}}\right)}&=\,-{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{16}}{\sqrt {17}}\,+\,{\frac {1}{16}}{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\\[5mu]&\qquad +\,{\frac {1}{8}}{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\end{aligned}}}$

ガウスによって発見された。^[5]

構成可能な角度のグループは、角度を半分にする演算（複素数の平方根を取ることに相当）の下で閉じています。2 点から開始して構成できる有限位数の角度は、位数が 2 の累乗であるか、2 の累乗と異なるフェルマー素数の集合との積のいずれかである角度のみです。さらに、無限位数の構成可能な角度の稠密な集合が存在します。

ユークリッド平面上の点の集合が与えられた場合、そのうちの1つを0、別の点を1と呼び、任意の方向を選択することで、点を複素数の集合として考えることができます。

点の集合を複素数として解釈する場合、有効な定規とコンパスの構成のみを使用して構成できる点は、元の点の集合を含み、複素共役および平方根演算で閉じている最小の体の要素とまったく同じです (曖昧さを避けるために、複素引数がπ 未満の平方根を指定できます)。この体の要素は、加算、減算、乗算、除算、複素共役、平方根の演算のみを使用して元の点の式として表現できる要素とまったく同じであり、平面の可算な稠密部分集合であることが簡単にわかります。これら 6 つの演算はそれぞれ、単純な定規とコンパスの構成に対応しています。このような式から、各算術演算の構成を組み合わせることで、対応する点の構成を簡単に作成できます。特定の点の集合をより効率的に構成するには、このような計算をショートカットします。

同様に（そして、2 つの点を任意に選択する必要もなく）、任意の方向の選択が与えられた場合、点の集合は、任意の 2 組の点の差の比によって与えられる複素比の集合を決定すると言えます。このような比の集合から定規とコンパスを使用して構成できる比の集合は、元の比を含み、複素共役と平方根をとらない最小のフィールドとまったく同じです。

例えば、点または比zの実部、虚部、絶対値は（上記の2つの観点のいずれかをとると）次のように表すことができるため、構成可能です。

${\displaystyle \mathrm {Re} (z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}\;}$

${\displaystyle \mathrm {Im} (z)={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}\;}$

${\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {z{\bar {z}}}}.\;}$

立方体を2倍にしたり、角を3等分したりするには（ φ /(2π )が分母が3で割り切れない有理数であるような特殊な角を除く）、 3次方程式の解である比が必要ですが、円の2乗には超越比が必要です。これらはいずれも説明した分野にはないため、定規とコンパスを使った作図は存在しません。

古代ギリシャ人は、自分たちが解決できなかった建設問題は、解決不可能なものではなく、単に難解なものだと考えていました。^[6] しかし、現代の方法では、これらの定規とコンパスによる建設は、論理的に実行不可能であることが証明されています。（ただし、問題自体は解決可能であり、ギリシャ人は定規とコンパスのみで作業するという制約なしに問題を解決する方法を知っていました。）

これらの問題の中で最も有名なのは、円の二乗問題、別名円求積問題で、定規とコンパスだけを使って、与えられた円と同じ面積の正方形を描くというものです。

円を二乗することは不可能であることが証明されています。なぜなら、それには超越数、つまり√ π を生成することが含まれるからです。定規とコンパスだけで作図できる代数的数は、加算、減算、乗算、除算、平方根の有限のシーケンスの演算で整数から作図できる数だけです。このため、「円を二乗する」というフレーズは、「不可能なことを行う」という意味でよく使用されます。

この問題は定規とコンパスだけで解くという制約がないため、さまざまな幾何学的・代数的手段で簡単に解くことができ、古代では何度も解かれてきました。^[7]

「円の求積法」に非常に近い近似方法は、ケプラーの三角形を使用して実現できます。

立方体を 2 倍にすることは、定規とコンパスだけを使用して、所定の辺を持つ立方体の 2 倍の体積を持つ立方体の辺を作成することです。これは不可能です。なぜなら、2 の立方根は代数的ではありますが、整数から加算、減算、乗算、除算、および平方根を取ることによって計算することはできないからです。これは、有理数上の最小多項式が 3 次であるためです。この作成は、2 つの目盛りが付いた定規とコンパスを使用して可能です。

角の三等分は、定規とコンパスだけを使って、任意の角度の 3 分の 1 の角度を作図することです。これは一般的な場合には不可能です。たとえば、角度 2 π /5ラジアン(72° = 360°/5) は三等分できますが、角度π /3ラジアン(60 ° ) は三等分できません。^[8]一般的な三等分の問題は、2 つの目盛りが付いた定規が許される場合 (ニューシス作図) にも簡単に解けます。

平面上の任意の点から円上の最も近い点までの線分は作図できますが、平面上の任意の点から正の離心率を持つ楕円上の最も近い点までの線分は 、一般には作図できません。^[9]を参照。ここで証明された結果は、主に円錐曲線の非構成性の結果であることに注意してください。最初の円錐曲線が与えられたものと見なされる場合、他の異なる円錐曲線を生成する必要があるかどうかを確認するために証明を再検討する必要があります。たとえば、放物線の法線の構成は知られていますが、円と放物線自体の交点を使用する必要があります。したがって、放物線が構成できないという意味では、法線は構成できません。

1997年、オックスフォード大学の数学者ピーター・M・ノイマンは、古代のアルハゼン問題（ビリヤード問題または球面鏡の反射）の一般解には定規とコンパスによる構成は存在しないという定理を証明した。 ^{[10] [11]}

いくつかの正多角形(例えば五角形) は定規とコンパスで簡単に作図できますが、そうでないものもあります。このことから、「すべての正多角形を定規とコンパスで作図できるのか?」という疑問が生じます。

カール・フリードリヒ・ガウスは1796年に正17角形を作図できることを示し、5年後には、nの奇数素因数がフェルマー素数である場合に定規とコンパスで正n角形を作図できることを示した。ガウスはこの条件も必須であると予想し、この予想は183​​7年にピエール・ヴァンツェルによって証明された。 ^[4]

最初に構築できる正多角形の辺の数は次のようになります。

3、4、5、6、8、10、12、15、16、17、20、24、30、32、34、40、48、51、60、64、68、80、85、96、102、120、128、136、160、170、192、204、240、255、256、257、272 ... （ OEISのシーケンスA003401）​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

偶数辺を持つ構成可能な正多角形は無数に存在することが知られています (正n角形が構成可能であれば、正 2 n角形も構成可能であり、したがって正 4 n角形、8 n角形なども構成可能であるため)。ただし、フェルマー素数は 5 つしか知られていないため、奇数辺を持つ 構成可能な正n角形は 31 個しか知られていません。

三角形の重要な16点は、頂点、辺の中点、高さの足、内角の二等分線の足、外心、重心、垂心、内心である。これらを3つずつ取り上げると、3点から三角形を構成するという139の異なる重要な問題が生じる。^[12]これらの問題のうち、3つは他の2点から一意に構成できる点に関係する。23は一意に構成できない（実際には無限に多くの解がある）が、点の位置が特定の制約に従う場合のみである。74では、一般的なケースで問題が構成可能である。39では、必要な三角形は存在するが、構成可能ではない。

三角形の12の重要な長さは、3つの辺の長さ、3つの高さ、3つの中線、3つの角の二等分線です。これらを3つの角度と合わせると、95通りの組み合わせがあり、そのうち63通りの組み合わせで三角形が作図可能で、30通りの組み合わせでは作図不可能で、2通りの組み合わせでは定義が不十分です。^{[13] : pp. 201–203}

さまざまな規則の下で建築に使用できるツールを制限するさまざまな試みが行われてきました。これは、何を構築できるか、どのように構築できるかを決定するとともに、コンパスと定規で構築できるすべてのものを構築できるようにするために必要な最小限の基準を決定するためです。

モール・マスケローニの定理によれば、与えられたデータと求めるデータが離散的な点（線や円ではない）で構成されていれば、定規とコンパスで作図できるものはコンパスだけで作図できる。この定理の真偽はアルキメデスの公理^[14]の真偽に依存しており、これは本質的に一階述語ではない。コンパスのみによる作図の例にはナポレオンの問題などがある。

定規だけで平方根を取ることは不可能なので、定規では作図できないものでもコンパスを使えば作図できます。しかし、（ポンスレ・シュタイナーの定理により）単一の円とその中心が与えられれば、それらのものも作図できます。

古代ギリシャ人は、解くのに必要な道具の複雑さに応じて、作図を3つの主要なカテゴリに分類した。定規とコンパスだけを使用する作図は平面と呼ばれ、円以外に1つ以上の円錐曲線も必要な作図は立体と呼ばれ、3番目のカテゴリには他の2つのカテゴリのどちらにも当てはまらないすべての作図が含まれていた。^[15] この分類は、現代の代数の観点とうまくかみ合っている。体演算と平方根（前述のように）のみを使用して表現できる複素数は平面構成である。立方根の抽出も含む複素数は立体構成である。

体の言葉で言えば、平面の複素数は次数が 2 の累乗で、各拡張が次数 2 である体の塔に分解できる体の拡張内にあります。立体構造を持つ複素数は次数が 2 と 3 のみの素因数で、各拡張が次数 2 または 3 である体の塔の頂上にある体の拡張内にあります。

ある点が、定規、コンパス、および（おそらく仮想的な）円錐描画ツール（すでに構築された焦点、準線、および離心率を持つ任意の円錐を描くことができる）を使用して構築できる場合、その点は立体構築を持っています。同じ点のセットは、より少ないツールセットを使用して構築できることがよくあります。たとえば、コンパス、定規、および放物線 y=x ²と点 (0,0) と (1,0) が描かれた紙を使用すると、立体構築を持つ任意の複素数を構築できます。同様に、すでに構築された焦点と長軸を持つ任意の楕円を描くことができるツール（2 本のピンと 1 本のひもを想像してください）も同様に強力です。^[16]

古代ギリシャ人は、立方体を2倍にすることと任意の角度を3等分することはどちらも立体構造を持つことを知っていた。アルキメデスは正七角形のニューシス構造を与え、中世アラビアの解説者バーテル・レーンダート・ファン・デル・ワールデンらはこれを立体構造に基づいていると解釈したが、他の解釈も可能であり、これには異論がある。^[17]円の求積法は立体構造を持たない。

正n角形が立体構造を持つのは、 n =2 ^a 3 ^b mのときのみである。ここでaとbは負でない整数であり、mは0個以上の異なるピアポント素数（2 ^r 3 ^s +1の形式の素数）の積である。したがって、正n角形が立体構造を持つのは、nが次の数列にある ときのみである。

7、9、13、14、18、19、21、26、27、28、35、36、37、38、39、42、45、52、54、56、57、63、65、70、72、73、74、76、78、81、84、90、91、95、97 ...（OEISの配列A051913）​​​​​​​​​​​​

正n角形が立体的に構成されないnの集合は、次の数列である。

11、22、23、25、29、31、33、41、43、44、46、47、49、50、53、55、58、59、61、62、66、67、69、71、75、77、79、82、83、86、87、88、89、92、93、94、98、99、100 ... （ OEISの配列A048136）​​

フェルマー素数の問題と同様に、ピアポント素数が無限に存在するかどうかも未解決の問題です。

もし、定規とコンパスと一緒に、任意の角度を（ただ）三等分できる道具があったらどうなるでしょうか？そのような構成は立体構成ですが、そのような道具を使って構成できない立体構成を持つ数も存在します。例えば、そのような道具を使って立方体を2倍にすることはできません。^[18] 一方、立体構成を持つすべての正n角形は、そのような道具を使って構成することができます。

折り紙の数学的理論は定規とコンパスによる作図よりも強力です。藤田・羽鳥公理を満たす折り紙は、コンパスと円錐描画ツールを使用した拡張作図とまったく同じ点の集合を構成できます。したがって、折り紙は3次方程式（したがって4次方程式）を解くのにも使用でき、したがって古典的な問題のうち2つを解決できます。^[19]

アルキメデス、ニコメデス、アポロニウスは、目盛りの付いた定規を使った作図法を示した。これにより、例えば、線分、2 本の線 (または円)、および点を取り、与えられた点を通り、2 本の線と交差する線を描き、交点間の距離が与えられた線分に等しくなるようにすることができた。ギリシャ人はこれを、新しい線が点に向かう傾向があることから、 neusis (「傾斜」、「傾向」、または「収束」) と呼んだ。この拡張された方式では、任意の角度を 3 等分したり (アルキメデスの 3 等分法を参照)、任意の 3 乗根を抽出したりすることができる (ニコメデスによる)。したがって、既存の距離に対する比が 3 次方程式または4次方程式の解となる距離は、作図可能である。目盛りの付いた定規を使用すると、7 角形のような立体作図法を持つ正多角形を作図することができ、ジョン・H・コンウェイとリチャード・K・ガイは、それらのいくつかについて作図法を示した。^[20]

ニューシス構成は円錐描画ツールよりも強力で、実体構成を持たない複素数を構築できます。実際、このツールを使用すると、根号を使用しては解けないいくつかの五次方程式を解くことができます。^[21] ニューシス構成を使用して、7以上の素数次数の既約多項式を解くことができないことがわかっているため、このツールを使用して正23角形や29角形を構築することはできません。ベンジャミンとスナイダーは、正11角形を構築できることを証明しましたが、構成は示しませんでした。^[22] このツールを使用して正25角形や31角形を構築できるかどうかはまだ不明です。

AB と呼ばれる直線セグメントが与えられている場合、これを 3 つの新しい等しいセグメントと、切片定理の使用によって要求される多くの部分に分割できますか。

1998年にサイモン・プラウフは、特定の数の2進数を計算するために使用できる定規とコンパスのアルゴリズムを発表しました。 ^[23] このアルゴリズムは角度を繰り返し2倍にするもので、20進数を超えると物理的に非実用的になります。

• カーライルサークル
• 幾何学的暗号
• 幾何学
• インタラクティブな幾何学ソフトウェアのリスト。そのほとんどは定規とコンパスによる作図を表示します。
• 折り紙の数学
• アンダーウッド・ダドリーは、定規とコンパスによる偽の証明を収集することを副業としている数学者です。

• ドレクセル大学の数学フォーラムにおける数学博士による正多角形の構築
• コンパスを使った建設はカット・ザ・ノットのみ
• ヒポクラテスによる角の三等分
• ワイスタイン、エリック・W.「角の三等分」。マスワールド。