デカゴン

正十角形
正十角形
タイプ	正多角形
エッジと頂点	10
シュレーフリ記号	{10}、t{5}
コクセター・ディンキン図
対称グループ	二面角（D 10）、次数2×10
内角（度）	144°
プロパティ	凸状、環状、正三角形、等角、等軸
デュアルポリゴン	自己

幾何学において、十角形（ギリシャ語のδέκα dékaとγωνία gonía、「十の角」に由来）は、10辺の多角形または10角形である。^[1]単純な十角形の内角の合計は1440°である。

正十角形は全ての辺の長さが等しく、各内角は常に144°になります。^[1]シュレーフリ記号は{10} ^[2]で、切頂 五角形t{5}、つまり2種類の辺が交互に並ぶ準正十角形 として構成することもできます。

図は、外接円の辺の長さと半径が示された正十角形を示しています。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle R}$

• 三角形は長さが等しい2本の脚と長さが等しい底辺を持つ。${\displaystyle E_{10}E_{1}M}$${\displaystyle R}$${\displaystyle a}$
• 半径 の円は、点（図では指定されていません）で交差します。${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle ]M\,E_{10}[}$${\displaystyle P}$
• これで三角形は頂点、底角 を持つ二等辺三角形になります。${\displaystyle {E_{10}E_{1}P}\;}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle m\angle E_{1}E_{10}P=m\angle E_{10}PE_{1}=72^{\circ }\;}$
• したがって です。したがっても頂点 を持つ二等辺三角形です。その脚の長さは なので、 の長さはです。${\displaystyle m\angle PE_{1}E_{10}=180^{\circ }-2\cdot 72^{\circ }=36^{\circ }\;}$${\displaystyle \;m\angle ME_{1}P=72^{\circ }-36^{\circ }=36^{\circ }\;}$${\displaystyle \;E_{1}MP\;}$${\displaystyle P}$${\displaystyle a}$${\displaystyle [P\,E_{10}]}$${\displaystyle ラ}$
• 二等辺三角形と は頂点の角度が 36° で等しいため相似です。したがって、${\displaystyle E_{10}E_{1}M\;}$${\displaystyle PE_{10}E_{1}\;}$${\displaystyle \;{\frac {a}{R}}={\frac {Ra}{a}}}$
• 分母を掛け合わせると二次方程式が得られます。${\displaystyle R,a>0}$${\displaystyle \;a^{2}=R^{2}-aR\;}$
• この辺の長さの式には、1 つの正の解があります。${\displaystyle a\,}$${\displaystyle \;a={\frac {R}{2}}(-1+{\sqrt {5}})}$

したがって、定規とコンパスを使用して正十角形を作成できます。

さらなる結論

${\displaystyle \;R={\frac {2a}{{\sqrt {5}}-1}}={\frac {a}{2}}({\sqrt {5}}+1)\;}$の底辺の高さ（つまり、 の長さ）は であり、三角形の面積は です。 ${\displaystyle \Delta \,E_{10}E_{1}M\,}$${\displaystyle [M\,D]}$${\displaystyle h={\sqrt {R^{2}-(a/2)^{2}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;}$${\displaystyle A_{\Delta }={\frac {a}{2}}\cdot h={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$

辺の長さがaの正十角形の面積は次のように与えられる: ^[3]

${\displaystyle A={\frac {5}{2}}a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{10}}\right)={\frac {5}{2}}a^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\simeq 7.694208843\,a^{2}}$

円周方向の半径 r（内接図も参照）に関して、面積は次のようになります。

${\displaystyle A=10\tan \left({\frac {\pi }{10}}\right)r^{2}=2r^{2}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\simeq 3.249196962\,r^{2}}$

円周半径 Rに関して、面積は次のようになります。

${\displaystyle A=5\sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)R^{2}={\frac {5}{2}}R^{2}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\,R^{2}}$

別の公式は、dが平行な辺の間の距離、または十角形が1辺を底辺として立っているときの高さ、または十角形の内接円の直径である。簡単な三角法によって、 ${\displaystyle A=2.5da}$

${\displaystyle d=2a\left(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\right),}$

そして代数的に次のように 書くことができる。

${\displaystyle d=a{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}.}$

10 = 2 × 5はフェルマー素数の2乗なので、コンパスと定規、または正五角形の辺の二等分によって正十角形を作図できることがわかります。^[4]

代替の（ただし類似の）方法は次のとおりです。

1. 五角形の作成に示されている方法のいずれかを使用して、円の中に五角形を作成します。
2. 五角形の各頂点から円の中心を通り、同じ円の反対側まで線を延長します。各線が円を切るところが十角形の頂点です。言い換えると、  正五角形をその中心に関して 点反射すると、その像は同心合同五角形となり 、2 つの五角形は合計で同心正十角形の頂点を持ちます。
3. 五角形の 5 つの角は、十角形の交互の角を構成します。これらの点を隣接する新しい点と結合して、十角形を形成します。

^{与えられた外接円[5]}と与えられた辺の長さによる作図の両方において、線分を外割で分割する黄金比が決定的な作図要素となる。

• 与えられた外接円による作図において、半径GE ₃の G の周りの円弧は線分AH を生成し、その分割は黄金比に対応します。

${\displaystyle {\frac {\overline {AM}}{\overline {MH}}}={\frac {\overline {AH}}{\overline {AM}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}}$

• ^{与えられた辺の長さ[6]}を持つ作図では、半径DAのDの周りの円弧は線分E ₁₀ Fを生成し、その分割は黄金比に対応します。

${\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}E_{10}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{10}F}}{\overline {E_{1}E_{10}}}}={\frac {R}{a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}}$

正十角形は、Dih ₁₀対称性、次数 20 を持ちます。サブグループ二面体対称性は 3 つあります: Dih ₅、 Dih ₂ 、および Dih ₁ 。また、巡回グループ対称性は 4 つあります: Z ₁₀、 Z ₅、 Z ₂、および Z ₁。

これらの 8 つの対称性は、十角形上の 10 の異なる対称性で確認できます。10 の異なる対称性は、反射線が頂点または辺のいずれかを通過することができるため、より多くの数になります。ジョン・コンウェイは、これらを文字とグループの順序でラベル付けしています。^[7]正則形式の完全な対称性はr20で、対称性がない場合はa1とラベル付けされます。二面対称性は、頂点 (対角の場合はd )を通過するか、辺 (垂直の場合はp ) を通過するかによって分類され、反射線が辺と頂点の両方を通過する場合はiと分類されます。中央の列の周期的対称性は、中心回転順序によりgとラベル付けされています。

各サブグループの対称性により、不規則な形状に対して 1 つ以上の自由度が許可されます。g10サブグループのみ自由度はありませんが、有向エッジとして見ることができます。

最も対称性の高い不規則十角形は、長辺と短辺を交互に配置できる 5 つの鏡で構成された等角十角形d10と、辺の長さは同じだが頂点の内角が 2 つの異なる角度で交互に配置される等角十角形 p10 です。これら 2 つの形状は互いに双対であり、正十角形の半分の対称順序を持ちます。

コクセターは、あらゆるゾノゴン（向かい合う辺が平行で長さが等しい2 m角形）はm ( m -1)/2 個の平行四辺形に分割できると述べています。^[8] 特に、辺の数が同じ正多角形の場合、平行四辺形はすべて菱形になります。正十角形の場合、m =5 であり、10 個の菱形に分割できます。以下に例を示します。この分解は、5 次元立方体のペトリ多角形投影面の 80 面のうちの 10 面として考えることができます。分割は、菱形三十面体の 30 面のうちの 10 面に基づいています。リストOEIS : A006245 では、解の数が 62 と定義されており、最初の対称形に 2 つの方向、他の 6 つに 10 の方向があります。

斜め十角形は、10 個の頂点と辺を持ちますが、同じ平面上に存在しない斜めの多角形です。このような十角形の内部は一般に定義されていません。斜めジグザグ十角形は、2 つの平行な平面間で頂点が交互に配置されます。

正斜十角形は頂点推移的で辺の長さが等しい。3次元ではジグザグ斜十角形となり、同じ D _5d、[2 ^{+ ,10] 対称性、次数 20 の}五角形反プリズム、五芒星反プリズム、五芒星交差反プリズムの頂点と側辺に見られる。

これらは、二十面体対称性を持つ 4 つの凸多面体にも見られます。これらの投影の周囲の多角形は、正三角形の十角形です。

正斜十角形は、多くの高次元多面体に対するペトリ多角形であり、さまざまなコクセター平面への直交投影で示されています。^[9]ペトリ多角形の辺の数は、各対称性ファミリーのコクセター数hに等しくなります。

• 十角数と中心十角数、十角形をモデルにした図形数
• 十角形、正十角形と同じ頂点位置を持つ星型多角形

• Weisstein、Eric W.「Decagon」。MathWorld。
• 十角形の定義と特性 インタラクティブアニメーション付き