定規とコンパスを使った製作 三角形の外接円は、定規とコンパスを用いて、まず3辺の 垂直二等分線 のうち2本を作図することで作図できます。これらの交点が外心 です。外接円 は、その交点を中心とし、三角形の頂点の1つを通る円としてすぐに描くことができ、その半径が外半径 です。
三角形の一辺の垂直二等分線上にある点は、三角形の隣接する2つの頂点から等距離にある。したがって、2つの垂直二等分線上にある点は、3つの頂点すべてから等距離にあるはずである。
代替建設 外心の別の作図方法（破線の交点） 外心を求める別の方法として、2つの頂点からそれぞれ共通辺に対してある角度で伸びる2本の線を引く方法がある。共通角は、反対側の頂点の角度を90°から引いた値となる。（反対側の角度が鈍角の場合、負の角度で線を引くと三角形の外側に出ることになる。）
沿岸航海 では、羅針盤 がない場合に六分儀 を用いて位置線を 求める方法として、三角形の外接円が用いられることがある。2つのランドマーク間の水平角が、観測者が位置する外接円を定義する。
三角形に対する位置 外心の位置は三角形の種類によって異なります。
鋭角三角形（すべての角が直角より小さい三角形）の場合、外心は常に三角形の内部に位置します。 直角三角形において、外心は常に斜辺 の中点に位置する。これはタレスの定理 の一形態である。 鈍角三角形（直角よりも大きい角が1つある三角形）の場合、外心は常に三角形の外側に位置します。
これらの位置的特徴は、外心について以下に示す三線座標または重心座標を考慮することで確認できます。内部の任意の点では3つの座標すべてが正であり、外部の任意の点では少なくとも1つの座標が負であり、三角形の辺上の頂点以外の点では1つの座標がゼロで2つの座標が正です。
外接円が三角形の辺となす角は、辺同士が交わる角と一致します。角α の対辺は、円と2回交わります。両端でそれぞれ1回ずつ、いずれも角α で交わります（他の2つの角についても同様です）。これは、接線と弦の間の角が、その交点の角に等しいという錯線定理 によるものです。
外接円の方程式
デカルト座標 ユークリッド平面 では、内接三角形の頂点の デカルト座標 を用いて外接円の方程式を明示的に表すことが可能です。A = （ A x 、 A y ） B = （ B x 、 B y ） C = （ C x 、 C y ） {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{x},A_{y})\\\mathbf {B} &=(B_{x},B_{y})\\\mathbf {C} &=(C_{x},C_{y})\end{aligned}}} は点A、B、C の座標です。外接円は、これらの点の軌跡です。v = （ v x 、 v y ） {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})} | v − u | 2 = r 2 | A − u | 2 = r 2 | B − u | 2 = r 2 | C − u | 2 = r 2 {\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {A} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {B} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {C} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\end{aligned}}} A 、B 、C 、v rにあることを保証する u {\displaystyle \mathbf {u} } 偏光恒等式を用いると、これらの式は 行列 の条件に帰着する。[ | v | 2 − 2 v x − 2 v y − 1 | A | 2 − 2 A x − 2 A y − 1 | B | 2 − 2 B x − 2 B y − 1 | C | 2 − 2 C x − 2 C y − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\|\mathbf {A} |^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\\|\mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\|\mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end{bmatrix}}} 非ゼロの核 を持つ。したがって、外接円は、この行列の 行列式 の零点の軌跡として別の形で記述することもできる。 検出 [ | v | 2 v x v y 1 | A | 2 A x A y 1 | B | 2 B x B y 1 | C | 2 C x C y 1 ] = 0. {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&v_{x}&v_{y}&1\\|\mathbf {A} |^{2}&A_{x}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{x}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}}=0.}
補因子展開 を用いて、 S x = 1 2 検出 [ | A | 2 A y 1 | B | 2 B y 1 | C | 2 C y 1 ] 、 S y = 1 2 検出 [ A x | A | 2 1 B x | B | 2 1 C x | C | 2 1 ] 、 1 = 検出 [ A x A y 1 B x B y 1 C x C y 1 ] 、 b = 検出 [ A x A y | A | 2 B x B y | B | 2 C x C y | C | 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]S_{y}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}A_{x}&|\mathbf {A} |^{2}&1\\B_{x}&|\mathbf {B} |^{2}&1\\C_{x}&|\mathbf {C} |^{2}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]a&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]b&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}} 1 | v | 2 − 2 S v − b = 0 {\displaystyle a|\mathbf {v} |^{2}-2\mathbf {Sv} -b=0} S = （ S x 、 S y ） 、 {\displaystyle \mathbf {S} =(S_{x},S_{y}),} S | v − S 1 | 2 = b 1 + | S | 2 1 2 、 {\displaystyle \left|\mathbf {v} -{\tfrac {\mathbf {S} }{a}}\right|^{2}={\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}},} S 1 {\displaystyle {\tfrac {\mathbf {S} }{a}}} b 1 + | S | 2 1 2 。 {\displaystyle {\sqrt {{\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}}}}.} 同様の手法を用いることで、正四面体 の外接球 の方程式を導き出すことができる。
パラメトリック方程式 円を含む平面に 垂直な 単位ベクトルは次のように与えられる。 n ^ = （ P 2 − P 1 ） × （ P 3 − P 1 ） | （ P 2 − P 1 ） × （ P 3 − P 1 ） | 。 {\displaystyle {\widehat {n}}={\frac {(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})}{|(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})|}}.}
したがって、半径r 、中心P c 、円上の点P 0 、 n ^ 、 {\displaystyle {\widehat {n}},} P 0 右手系 )に円を 回転させる円の媒介変数 方程式 n ^ {\displaystyle {\widehat {n}}} R （ s ） = P c + コス （ s r ） （ P 0 − P c ） + 罪 （ s r ） [ n ^ × （ P 0 − P c ） ] 。 {\displaystyle \mathrm {R} (s)=\mathrm {P_{c}} +\cos \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)(P_{0}-P_{c})+\sin \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)\left[{\widehat {n}}\times (P_{0}-P_{c})\right].}
三線座標と重心座標 三線形座標 x : y : z [ 1 ] 1 x + b y + c z = 0. {\displaystyle {\tfrac {a}{x}}+{\tfrac {b}{y}}+{\tfrac {c}{z}}=0.} 重心座標 x : y : z 1 2 x + b 2 y + c 2 z = 0. {\displaystyle {\tfrac {a^{2}}{x}}+{\tfrac {b^{2}}{y}}+{\tfrac {c^{2}}{z}}=0.}
外接円の等角共役は無限遠の直線であり、三 線形 座標では次のように表される 。1 x + b y + c z = 0 {\displaystyle ax+by+cz=0} x + y + z = 0. {\displaystyle x+y+z=0.}
高次元 さらに、3次元空間に埋め込まれた三角形の外接円は、一般化された方法を用いて求めることができます。A 、 B 、C を三角形の頂点とする3次元点とします。まず、 Cを 1 = A − C 、 b = B − C 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}}
外接半径r は r = ‖ 1 ‖ ‖ b ‖ ‖ 1 − b ‖ 2 ‖ 1 × b ‖ = ‖ 1 − b ‖ 2 罪 θ = ‖ A − B ‖ 2 罪 θ 、 {\displaystyle r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|}}={\frac {\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\sin \theta }}={\frac {\left\|\mathbf {A} -\mathbf {B} \right\|}{2\sin \theta }},} 、θは a b p0 。 p 0 = （ ‖ 1 ‖ 2 b − ‖ b ‖ 2 1 ） × （ 1 × b ） 2 ‖ 1 × b ‖ 2 + C 。 {\displaystyle p_{0}={\frac {\left(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} \right)\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}}}+\mathbf {C} .}
この公式は、外積が 他の次元では定義されていないため、3次元でのみ有効ですが、外積を次の恒等式に置き換えることで、他の次元にも一般化できます。 u × （ v × w ） = （ u ⋅ w ） v − （ u ⋅ v ） w 、 ‖ u × v ‖ 2 = ‖ u ‖ 2 ‖ v ‖ 2 − （ u ⋅ v ） 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )&=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} ,\\\left\|\mathbf {u} \times \mathbf {v} \right\|^{2}&=\left\|\mathbf {u} \right\|^{2}\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}-(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}.\end{aligned}}}
これにより、外接半径r に関する以下の式が得られます。 r = ‖ 1 ‖ ‖ b ‖ ‖ 1 − b ‖ 2 ‖ 1 ‖ 2 ‖ b ‖ 2 − （ 1 ⋅ b ） 2 {\displaystyle r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2{\sqrt {\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}}}}} p 0 p 0 = （ （ ‖ 1 ‖ 2 b − ‖ b ‖ 2 1 ） ⋅ b ） 1 − （ （ ‖ 1 ‖ 2 b − ‖ b ‖ 2 1 ） ⋅ 1 ） b 2 （ ‖ 1 ‖ 2 ‖ b ‖ 2 − （ 1 ⋅ b ） 2 ） + C {\displaystyle p_{0}={\frac {\left(\left(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} \right)\cdot \mathbf {b} \right)\mathbf {a} -\left(\left(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} \right)\cdot \mathbf {a} \right)\mathbf {b} }{2\left(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}\right)}}+\mathbf {C} } p 0 = ‖ 1 ‖ 2 ‖ b ‖ 2 （ 1 + b ） − （ 1 ⋅ b ） （ ‖ 1 ‖ 2 b + ‖ b ‖ 2 1 ） 2 （ ‖ 1 ‖ 2 ‖ b ‖ 2 − （ 1 ⋅ b ） 2 ） + C {\displaystyle p_{0}={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}(\mathbf {a} +\mathbf {b} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\left(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} +\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} \right)}{2\left(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}\right)}}+\mathbf {C} }
外心座標
三線座標 外心は三線座標を持つ コス α : コス β : コス γ {\displaystyle \cos \alpha :\cos \beta :\cos \gamma } 、α、β、γ は三角形の角度です。
辺の長さa、b、c に関して、三線式は[ 3 ]です。 1 （ b 2 + c 2 − 1 2 ） : b （ c 2 + 1 2 − b 2 ） : c （ 1 2 + b 2 − c 2 ） 。 {\displaystyle a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):b\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):c\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right).}
重心座標 外心は重心座標を持つ [ 4 ] 1 2 （ b 2 + c 2 − 1 2 ） : b 2 （ c 2 + 1 2 − b 2 ） : c 2 （ 1 2 + b 2 − c 2 ） 、 {\displaystyle a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):\;b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):\;c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right),\,} 、a、b、c はそれぞれ三角形の辺の長さBC 、CA 、ABである。
三角形の角度α、β、γ に関して、外心の重心座標は[ 3 ]です。 罪 2 α : 罪 2 β : 罪 2 γ 。 {\displaystyle \sin 2\alpha :\sin 2\beta :\sin 2\gamma .}
外心ベクトル 任意の点のデカルト座標は頂点の座標の加重平均であり、その重みは点の重心座標を合計が1になるように正規化したものであるため、外心ベクトルは次のように表すことができます。 U = 1 2 （ b 2 + c 2 − 1 2 ） A + b 2 （ c 2 + 1 2 − b 2 ） B + c 2 （ 1 2 + b 2 − c 2 ） C 1 2 （ b 2 + c 2 − 1 2 ） + b 2 （ c 2 + 1 2 − b 2 ） + c 2 （ 1 2 + b 2 − c 2 ） 。 {\displaystyle U={\frac {a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)A+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)B+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)C}{a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)}}.}
ここで、U は外心ベクトル、A、B、C は頂点ベクトルです。除数は16S²に等しく、Sは 三角形の 面積 です。
外積と内積から得られるデカルト座標 ユークリッド空間 では、任意の3つの非共線点P 1 、P 2 、P 3 空間ベクトルとして デカルト座標で表すと、 内積 と外積を 用いて円の半径と中心を計算すること ができます。P 1 = [ x 1 y 1 z 1 ] 、 P 2 = [ x 2 y 2 z 2 ] 、 P 3 = [ x 3 y 3 z 3 ] {\displaystyle \mathrm {P_{1}} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{2}} ={\begin{bmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{3}} ={\begin{bmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{bmatrix}}}
すると円の半径は次のように与えられる。 r = | P 1 − P 2 | | P 2 − P 3 | | P 3 − P 1 | 2 | （ P 1 − P 2 ） × （ P 2 − P 3 ） | {\displaystyle \mathrm {r} ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|\left|P_{2}-P_{3}\right|\left|P_{3}-P_{1}\right|}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|}}}
円の中心は線形結合で与えられる P c = α P 1 + β P 2 + γ P 3 {\displaystyle \mathrm {P_{c}} =\alpha \,P_{1}+\beta \,P_{2}+\gamma \,P_{3}} α = | P 2 − P 3 | 2 （ P 1 − P 2 ） ⋅ （ P 1 − P 3 ） 2 | （ P 1 − P 2 ） × （ P 2 − P 3 ） | 2 β = | P 1 − P 3 | 2 （ P 2 − P 1 ） ⋅ （ P 2 − P 3 ） 2 | （ P 1 − P 2 ） × （ P 2 − P 3 ） | 2 γ = | P 1 − P 2 | 2 （ P 3 − P 1 ） ⋅ （ P 3 − P 2 ） 2 | （ P 1 − P 2 ） × （ P 2 − P 3 ） | 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha ={\frac {\left|P_{2}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{1}-P_{2}\right)\cdot \left(P_{1}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\beta ={\frac {\left|P_{1}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{2}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{2}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\gamma ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|^{2}\left(P_{3}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{3}-P_{2}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\end{aligned}}}
その他の物件 外接円の直径（外径とも呼ばれ、外接 半径 の2倍に等しい）は 、三角形の任意の辺の長さをその対角の 正弦 で割ることによって計算できる。 直径 = 1 罪 A = b 罪 B = c 罪 C 。 {\displaystyle {\text{diameter}}={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}.}
正弦定理 の結果として、どの辺と対角を取っても結果は同じになる。
外接円の直径は次のように表すこともできます。 直径 = 1 b c 2 ⋅ エリア = | A B | | B C | | C A | 2 | Δ A B C | = 1 b c 2 s （ s − 1 ） （ s − b ） （ s − c ） = 2 1 b c （ 1 + b + c ） （ − 1 + b + c ） （ 1 − b + c ） （ 1 + b − c ） {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{diameter}}&{}={\frac {abc}{2\cdot {\text{area}}}}={\frac {|AB||BC||CA|}{2|\Delta ABC|}}\\[5pt]&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[5pt]&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}\end{aligned}}} 、a、b、c は三角形の辺の長さであり、s = 1 + b + c 2 {\displaystyle s={\tfrac {a+b+c}{2}}} は半周長 です。s （ s − 1 ） （ s − b ） （ s − c ） {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}} 上記は、ヘロンの公式 による三角形の面積です。[ 5 ] [ 6 ] 直径 = 2 ⋅ エリア 罪 A 罪 B 罪 C 。 {\displaystyle {\text{diameter}}={\sqrt {\frac {2\cdot {\text{area}}}{\sin A\sin B\sin C}}}.}
三角形の9つの頂点を持つ円 の直径は、外接円の直径の半分である。
任意の三角形において、外心は常に重心 および垂心 と同一線上にある。これら全てを通る直線はオイラー線 と呼ばれる。
外心と等角共役な点 は垂心で ある。
3点の最小外接円は 、外接円（3点が最小外接円上にある場合）または三角形の最長辺の2点（2点が円の直径を定義する場合）によって定義されます。最小外接円と外接円を混同することはよくあります。
3つの同一直線上の点 の外接円とは、その3点が乗る直線のことで、しばしば無限半径の円と呼ばれます。ほぼ同一直線上の点では、外接円の計算において 数値的な不安定性が 生じることがよくあります。
三角形の外接円は、点群 のドロネー三角形分割 と密接な関係がある。
幾何学におけるオイラーの定理 によれば、外心O と内心 I の間の距離は O 私 ¯ = R （ R − 2 r ） 、 {\displaystyle {\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}},} r は内接円の半径、R は外接円の半径である。したがって、外接円の半径は内接円の半径の少なくとも 2 倍である (オイラーの三角形の不等式 ) 。等号が成り立つのは正三角形の 場合のみである。[ 7 ] [ 8 ]
O と直交中心 H の間の距離は[ 9 ] [ 10 ] O H ¯ = R 2 − 8 R 2 コス A コス B コス C = 9 R 2 − （ 1 2 + b 2 + c 2 ） 。 {\displaystyle {\overline {OH}}={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C}}={\sqrt {9R^{2}-\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}}.}
重心 G と9点中心 N については、 私 G ¯ < 私 O ¯ 、 2 私 N ¯ < 私 O ¯ 、 O 私 ¯ 2 = 2 R ⋅ 私 N ¯ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {IG}}&<{\overline {IO}},\\2{\overline {IN}}&<{\overline {IO}},\\{\overline {OI}}^{2}&=2R\cdot {\overline {IN}}.\end{aligned}}}
辺の長さがa、b、c の三角形の内接円の半径と外接円の半径の積は[ 11 ] r R = 1 b c 2 （ 1 + b + c ） 。 {\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}
外接円半径R 、辺a、b、c 、中央値 m a 、m b 、m c を用いると、[ 12 ] 3 3 R ≥ 1 + b + c 9 R 2 ≥ 1 2 + b 2 + c 2 27 4 R 2 ≥ m 1 2 + m b 2 + m c 2 。 {\displaystyle {\begin{aligned}3{\sqrt {3}}R&\geq a+b+c\\[5pt]9R^{2}&\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\\[5pt]{\frac {27}{4}}R^{2}&\geq m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.\end{aligned}}}
中央線m 、高さh 、および内部二等分線tがすべて外接半径 R の三角形の同じ頂点から発している場合、[ 13 ] 4 R 2 h 2 （ t 2 − h 2 ） = t 4 （ m 2 − h 2 ） 。 {\displaystyle 4R^{2}h^{2}\left(t^{2}-h^{2}\right)=t^{4}\left(m^{2}-h^{2}\right).}
カルノーの定理は 、外心から3辺までの距離の合計が外接半径と内接半径 の合計に等しいことを述べている。ここで、線分の長さは、線分が三角形の外側に完全に位置する場合に 限り負とみなされる。
三角形の外接円と内接円が それぞれ特定の2つの円である場合、外接円と内接円が同じで、外接円上の任意の点を頂点とする三角形が無限に存在する。（これはポンセレットの多面体問題 のn =3のO 私 ¯ = R （ R − 2 r ） 。 {\displaystyle {\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}}.}
円で囲まれた多角形 円に内接する四角形 同一円周上にある点の集合を同円多角 円周多角
円に内接する多角形、特に四角形の円に内接する四角形は 、様々な特別な性質を持っています。具体的には、円に内接する四角形の対角は補角 （合計で180°またはπ ラジアン）となります。
参考文献 ↑ Whitworth, William Allen (1866). Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions . Deighton, Bell, and Co. p. 199 . 1 2 キンバーリング、クラーク。 「パート I: 序論と中心 X(1) – X(1000)」 。 三角形中心百科事典 。 ↑ Weisstein, Eric W. 「重心座標」 . MathWorld . ↑ Coxeter, HSM (1969). 「第1章」. 幾何学入門 . Wiley. pp. 12–13 . ISBN 0-471-50458-0 。↑ ドーリー、ハインリッヒ (1965)。 初等数学の100の偉大な問題 。ドーバー。p. 379。 ↑ ネルソン、ロジャー、「言葉を使わない証明によるオイラーの三角形不等式」、 Mathematics Magazine 81(1)、2008年2月、58-61。 ↑ Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko (2012). "いくつかの古典的な三角形不等式の非ユークリッド版" . Forum Geometricorum . 12 : 197– 209. 2019-10-28 の オリジナルからアーカイブ済み 。2015-01-18 に 取得 。 ↑ Gras, Marie-Nicole (2014). "外接三角形の外心と古典的中心間の距離" . Forum Geometricorum . 14 : 51– 61. ↑ Smith, GC; Leversha, Gerry (2007年11月)「オイラーと三角形の幾何学」 The Mathematical Gazette . 91 (522): 436–452 . doi : 10.1017/S0025557200182087 . JSTOR 40378417. S2CID 125341434 . ↑ Johnson, Roger A. (1929). Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle . Houghton Mifflin Co. p. 189, #298(d). hdl : 2027/wu.89043163211 . 『Advanced Euclidean Geometry』 （上級ユークリッド幾何学）として1960年と2007年に再版された。↑ Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2012). The Secrets of Triangles . Prometheus Books. pp. 289–290 . ↑ Altshiller Court, Nathan (1952). College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.). Barnes & Noble. p. 122, #96.
外部リンク Mathalino.comにおける三角形の外接円の半径の公式の導出 半正角形と半正角形: Dynamic Geometry Sketchesの長方形と菱形のそれぞれの一般化、インタラクティブな動的ジオメトリ スケッチ。 Weisstein, Eric W. 「外接円」、「円周角多角形」 三角形の外接円と外接円中心（インタラクティブアニメーション付き） 外心に関するインタラクティブなJavaアプレット 
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{x}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]S_{y}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}A_{x}&|\mathbf {A} |^{2}&1\\B_{x}&|\mathbf {B} |^{2}&1\\C_{x}&|\mathbf {C} |^{2}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]a&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]b&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1649c42b7532a101a98ee8d0eb5f18f72a4922a1)
![{\displaystyle \mathrm {R} (s)=\mathrm {P_{c}} +\cos \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)(P_{0}-P_{c})+\sin \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)\left[{\widehat {n}}\times (P_{0}-P_{c})\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a70aa6cf6f613352caa88916c82a86f03bbc8b4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}U_{x}&={\frac {1}{D}}\left[\left(A_{x}^{2}+A_{y}^{2}\right)(B_{y}-C_{y})+\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}\right)(C_{y}-A_{y})+\left(C_{x}^{2}+C_{y}^{2}\right)(A_{y}-B_{y})\right]\\[5pt]U_{y}&={\frac {1}{D}}\left[\left(A_{x}^{2}+A_{y}^{2}\right)(C_{x}-B_{x})+\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}\right)(A_{x}-C_{x})+\left(C_{x}^{2}+C_{y}^{2}\right)(B_{x}-A_{x})\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f012d7ac09dfd854ff8d245e7734e1d4ba03fb1b)
![{\displaystyle D=2\left[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y})\right].\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34c6178eff86289b6ec6f7dd49c95d675180f944)
![{\displaystyle {\begin{aligned}U'_{x}&={\frac {1}{D'}}\left[C'_{y}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})-B'_{y}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})\right],\\[5pt]U'_{y}&={\frac {1}{D'}}\left[B'_{x}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})-C'_{x}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae86c30103fce308b05684855b6c7241218358ad)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{直径}}&{}={\frac {abc}{2\cdot {\text{面積}}}}={\frac {|AB||BC||CA|}{2|\Delta ABC|}}\\[5pt]&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}}}\\[5pt]&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47584c5d8064a85b773192bd5c30ff505b51ac6a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}3{\sqrt {3}}R&\geq a+b+c\\[5pt]9R^{2}&\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\\[5pt]{\frac {27}{4}}R^{2}&\geq m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/790d28d5425086fee0f7465ed10d65aab26b5586)
