最小多項式（場の理論）

数学の一分野である体論において、体の拡大体の元αの最小多項式とは、大まかに言えば、より小さい体に係数を持ち、α がその多項式の根となる最低次数の多項式である。αの最小多項式が存在する場合、それは一意である。多項式の最高次項の係数は 1 でなければならない。

より正式には、極小多項式は、体拡大 E / Fと拡大体E / Fの元に対して定義される。元の極小多項式は、存在する場合、F [ x ]、 つまりFに係数を持つ変数xの多項式の環の要素である。 Eの元αが与えられたとき、J _{α を}F [ x ]のすべての多項式f ( x )の集合とし、 f​​ ( α ) = 0とする。元αは、 J _αの各多項式の根または零点と呼ばれる。

より具体的には、J _{α は}F [ x ]からEへの環準同型の核であり、多項式g を元αでその値g ( α ) に写します。環準同型の核であるため、J _{α は}多項式環F [ x ] のイデアルです。つまり、多項式の加算と減算に対して閉じており（したがって零多項式を含みます）、 Fの元による乗算に対しても閉じています（F [ x ] がF上のベクトル空間と見なされる場合はスカラー乗算です）。

すべての係数が 0 である零多項式は、すべてのαおよびiに対して0 α ⁱ = 0であるため、すべてのJ _αに存在します。これにより、零多項式はαの異なる値をタイプに分類するのに役に立たなくなるため、除外されます。 J _αに非零多項式がある場合、つまり後者が零イデアルでない場合、α はF上の代数的元と呼ばれ、J _αには最小次数のモニック多項式が存在します。これは、 E / Fに関するαの最小多項式です。これは、 F上で一意かつ既約です。零多項式がJ _αの唯一の要素である場合、α はF上の超越元と呼ばれ、 E / Fに関する最小多項式はありません。

極小多項式は、体拡大の構築と解析に役立ちます。α が極小多項式 f ( x ) を持つ代数体である場合、 Fとαの両方を含む最小の体は商環F [ x ]/⟨ f ( x )⟩に同型です。ここで、⟨ f ( x )⟩はf ( x )によって生成されるF [ x ]のイデアルです。極小多項式は共役元の定義にも使用されます。

E / F を体拡大、αをEの元、F [ x ] をF上のxの多項式環とします。 α がF上で代数的である場合、つまり、F [ x ] 内の非ゼロ多項式f ( x )に対してf ( α ) = 0 である場合、元α は最小多項式を持ちます。 このとき、 αの最小多項式は、α を根として 持つF [ x ]内のすべての多項式の中で最小次数の単項多項式として定義されます。

このセクション全体を通じて、E / F を上記のようにF上の体拡大とし、 α ∈ EをF上の代数元とし、J _{α を}α上で消える多項式のイデアルとします。

αの最小多項式f は一意です。

これを証明するには、fとgがJ _αの最小次数n > 0のモニック多項式であると仮定します。 r  := f − g ∈ J _α (後者は加算/減算に対して閉じているため)、m  := deg( r ) < n (多項式は同じ次数のモニックであるため) となります。rがゼロでない場合、r / c _m ( rの最高次数の非ゼロ係数をc _m ∈ Fと表記) は次数m < nのモニック多項式で、 r / c _m ∈ J _α (後者はFの非ゼロ元による乗算/除算に対して閉じているため)となり、これはnの最小性という当初の仮定と矛盾します。 0 = r = f − g、つまりf = gと結論付けられます。

αの最小多項式f は既約です。つまり、厳密に低い次数の 2 つの多項式gとhに対してf = ghとして因数分解することはできません。

これを証明するには、まず、任意の因数分解f = ghはg ( α ) = 0 またはh ( α ) = 0のいずれかを意味することに留意します。これは、 f ( α ) = 0 であり、F は体 (したがって整域でもある)であるためです。 gとh の両方の次数をfより厳密に低く選択すると、 fの最小性要件に矛盾するため、fは既約である必要があります。

αの最小多項式f はイデアルJ _{α を}生成します。つまり、J _αのすべてのgは、 F [ x ]内の何らかのh'に対してg=fhとして因数分解できます。

これを証明するには、Fが体であるため、F [ x ] が主イデアル領域であることを観察するだけで十分です。つまり、F [ x ]のすべてのイデアルI (それらの中のJ _{α )}は、単一の元fによって生成されます。ゼロイデアルI = {0}を除いて、生成元f はゼロ以外でなければならず、 Fの因数を除いて、最小次数の唯一の多項式でなければなりません( gの次数がゼロより大きい場合は常に、 fgの次数がfの次数よりも確実に大きいため)。特に、唯一のモニック生成元fが存在し、すべての生成元は既約でなければなりません。I がJ _αになるように選択され、α がF上に代数的である場合、モニック生成元f はαの最小多項式です。

ガロア体拡大が与えられた場合、に含まれない任意の の最小多項式は次のように計算できる。${\displaystyle L/K}$${\displaystyle \alpha \in L}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle f(x)=\prod _{\sigma \in {\text{Gal}}(L/K)}(x-\sigma (\alpha ))}$

の場合、ガロア作用において安定子は存在しません。 は既約であり、これは の根を見て演繹できるため、最小多項式です。をで置き換えることで、同じ種類の式を見つけることができることに注意してください。ここで、は の安定子群です。たとえば、 の場合、その安定子は であるため、 はその最小多項式です。 ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle G={\text{Gal}}(L/K)}$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle N={\text{刺突}}(\alpha )}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \alpha \in K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (x-\alpha )}$

F = Q、E = R、α = √ 2の場合、 αの最小多項式はa ( x ) = x ² − 2です。基底体F は、 a ( x )の係数の可能​​性を決定するため重要です。 たとえば、F = Rとすると、α = √ 2の最小多項式はa ( x ) = x − √ 2です。

一般に、平方根のない によって与えられる二次拡大に対して、 の最小多項式を計算することはガロア理論を用いて行うことができる。すると、${\displaystyle d}$${\displaystyle a+b{\sqrt {d\,}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=(x-(a+b{\sqrt {d\,}}))(x-(ab{\sqrt {d\,}}))\\&=x^{2}-2ax+(a^{2}-b^{2}d)\end{aligned}}}$

特に、これはおよび を意味します。これは、モジュラ演算 を使用した一連の関係を通じてを決定するために使用できます。 ${\displaystyle 2a\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle a^{2}-b^{2}d\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d\,}}\!\!\!\;\;)}}$

α = √ 2 + √ 3の場合 、 Q [ x ]の最小多項式はa ( x ) = x ⁴ − 10 x ² + 1 = ( x − √ 2 − √ 3 )( x + √ 2 − √ 3 )( x − √ 2 + √ 3 )( x + √ 2 + √ 3 ) です。

の場合、 へのガロア作用はを安定化することに注意してください。したがって、商群 を使用して最小多項式を見つけることができます。 ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle {\text{Gal}}(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} )/{\text{Gal}}(\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})/\mathbb {Q} )}$

Q [ x ]の最小の根の多項式は円分多項式です。2cos (2 π /n)の最小の多項式の根は、原始的な根の実部の 2 倍です。

Q [ x ]における最初のn個の素数の平方根の和の最小多項式も同様に構成され、スウィナートン・ダイアー多項式と呼ばれます。

• 整数の環
• 代数体

• Weisstein、Eric W.「代数的数最小多項式」。MathWorld。
• PlanetMathの最小多項式。
• ピンター、チャールズ C. 『抽象代数学の本』。ドーバー数学シリーズ。ドーバー出版、2010 年、p. 270–273。ISBN 978-0-486-47417-5