スーパー黄金比

スーパー黄金比

超黄金の長方形には、それ自体の 3 つのスケーリングされたコピー、ψ = ψ −1 + 2 ψ −3 + ψ −5が含まれます。
合理性	無理数代数
シンボル	ψ
表現
小数点	1.46557 12318 76768 02665 67312 ...
代数形式	x 3の実根= x 2 + 1
連分数（線形）	[1;2,6,1,3,5,4,22,1,1,4,1,2,84,...] 周期的ではない 無限

数学において、超黄金比は85/58に近い幾何学的比率です。その真の値は方程式x ³ = x ² + 1 の実数解です。

スーパー黄金比という名前は、方程式x ² = x + 1の正の解である黄金比との類似性から付けられました。

2つの量a > b > 0が超黄金比の2乗にあるのは、

${\displaystyle \left({\frac {a+b}{a}}\right)^{2}={\frac {a}{b}}}$。

この比率は一般的に⁠ ⁠と表記されます。${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}}$${\displaystyle \psi .}$

この定義に基づくと、

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=\left({\frac {a+b}{a}}\right)^{2}{\frac {b}{a}}\\&=\left({\frac {a+b}{a}}\right)^{2}\left({\frac {a+b}{a}}-1\right)\\&\implies \psi ^{2}\left(\psi -1\right)=1\end{aligned}}}$

したがって、超黄金比は、3次方程式の唯一の実数解として見つかります。 根の小数展開は、( OEISのシーケンスA092526 )として始まります。 ${\displaystyle \psi ^{3}-\psi ^{2}-1=0.}$${\displaystyle 1.465\,571\,231\,876\,768...}$

逆根の最小多項式は、負の3次多項式である^{[2]。したがって、}カルダノの公式による最も単純な解は、 ${\displaystyle x^{3}+x-1}$

${\displaystyle w_{1,2}=\left(1\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {31}{3}}}\right)/2}$

${\displaystyle 1/\psi ={\sqrt[{3}]{w_{1}}}+{\sqrt[{3}]{w_{2}}}}$

または、双曲正弦を使用して、

${\displaystyle 1/\psi ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\sinh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)\right).}$

⁠ ⁠ は${\displaystyle 1/\psi}$反復の超安定不動点です。 ${\displaystyle x\gets (2x^{3}+1)/(3x^{2}+1)}$

反復により、継続的な過激な${\displaystyle x\gets {\sqrt[{3}]{1+x^{2}}}}$

${\displaystyle \psi ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3/2}]{1+{\sqrt[{3/2}]{1+\cdots }}}}}}}$ ^[3]

定義三項式を⁠ ⁠で割るととなり、⁠ ⁠の共役元は ${\displaystyle x^{3}-x^{2}-1}$${\displaystyle x-\psi }$${\displaystyle x^{2}+x/\psi ^{2}+1/\psi }$${\displaystyle \psi}$

${\displaystyle x_{1,2}=\left(-1\pm i{\sqrt {4\psi ^{2}+3}}\right)/2\psi ^{2},}$

と​${\displaystyle x_{1}+x_{2}=1-\psi \;}$${\displaystyle \;x_{1}x_{2}=1/\psi .}$

⁠ ⁠${\displaystyle \psi }$の多くの性質は黄金比⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$に関連しています。例えば、超黄金比は、無限等比級数 として表現することができます^[4]

${\displaystyle \psi =\sum _{n=0}^{\infty }\psi ^{-3n}}$そして${\displaystyle \,\psi ^{2}=2\sum _{n=0}^{\infty }\psi ^{-7n},}$

黄金比の同一性と比較して

${\displaystyle \varphi =\sum _{n=0}^{\infty }\varphi ^{-2n}}$逆もまた同様です。

さらに、${\displaystyle 1+\varphi ^{-1}+\varphi ^{-2}=2}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{7}\psi ^{-n}=3.}$

あらゆる整数 に対して${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi ^{n}&=\psi ^{n-1}+\psi ^{n-3}\\&=\psi ^{n-2}+\psi ^{n-3}+\psi ^{n-4}\\&=\psi ^{n-2}+2\psi ^{n-4}+\psi ^{n-6}.\end{aligned}}}$

議論は恒等式を満たす^[5]${\displaystyle \;\theta =\operatorname {arcsec}(2\psi ^{4})\;}$${\displaystyle \;\tan(\theta )-4\sin(\theta )=3{\sqrt {3}}.}$

いくつかの低べき乗の 連分数パターン

${\displaystyle \psi ^{-1}=[0;1,2,6,1,3,5,4,22,...]\approx 0.6823}$( 13/19 )

${\displaystyle \ \psi ^{0}=[1]}$

${\displaystyle \ \psi ^{1}=[1;2,6,1,3,5,4,22,1,...]\approx 1.4656}$( 22/15 )

${\displaystyle \ \psi ^{2}=[2;6,1,3,5,4,22,1,1,...]\approx 2.1479}$( 15/7 )

${\displaystyle \ \psi ^{3}=[3;6,1,3,5,4,22,1,1,...]\approx 3.1479}$( 22/7 )

${\displaystyle \ \psi ^{4}=[4;1,1,1,1,2,2,1,2,2,...]\approx 4.6135}$( 60/13 )

${\displaystyle \ \psi ^{5}=[6;1,3,5,4,22,1,1,4,...]\approx 6.7614}$( 115/17 )

特に、 ⁠ ⁠${\displaystyle \psi ^{2}}$の連分数は最初の 6 つの自然数の順列として始まり、次の項はそれらの合計 + 1 に等しくなります。

超黄金比はピゾ数 の4番目に小さい数です。^[6]代数共役の絶対値 は1より小さいため、 の累乗はほぼ整数 を生成します。例: 11回転ステップ後、内側に螺旋状の共役ペアの位相は、最初は に近いですが、虚軸とほぼ一致します。 ${\displaystyle 1/{\sqrt {\psi }}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi ^{11}=67.000222765...\approx 67+1/4489}$${\displaystyle \pm 13\pi /22}$

超黄金比の最小多項式は判別式を持つ。虚二次体のヒルベルト類体は、⁠ ⁠ を付加することで形成できる。⁠ ⁠ の整数環の生成元を引数にとると、デデキントのイータ商 の特別な値を持つ。${\displaystyle m(x)=x^{3}-x^{2}-1}$ ${\displaystyle \Delta =-31}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \tau =(1+{\sqrt {\Delta }})/2\,}$${\displaystyle K}$

${\displaystyle \psi ={\frac {e^{\pi i/24}\,\eta (\tau )}{{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}}}$。

ウェーバー・ラマヌジャン類不変量G _nで表される

${\displaystyle \psi ={\frac {{\mathfrak {f}}({\sqrt {\Delta }})}{\sqrt {2}}}={\frac {G_{31}}{\sqrt[{4}]{2}}}}$^[7 ]

関連するクラインの j 不変量 ⁠ ⁠${\displaystyle j(\tau )}$の特性はほぼ同一になります。差は1/143092 未満です。 ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {-\Delta }}}\approx \left({\sqrt {2}}\,\psi \right)^{24}-24}$

⁠ ⁠の楕円積分特異値^[8] は閉じた形式の表現を持つ ${\displaystyle k_{r}=\lambda ^{*}(r)}$${\displaystyle r=31}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(31)=\sin(\arcsin \left(({\sqrt[{4}]{2}}\,\psi )^{-12}\right)/2)}$

（これは金星の軌道 離心率の1/10未満です）。

ナラヤナの牛は、 14世紀のインドの数学者ナラヤナ・パンディタが提唱した問題に由来する再発数列である。^[9]彼は、最初の年に1頭の牛から始まり、3歳以降は各牛が毎年1頭の子牛を産むとして、20年後の群れの牛と子牛の数を求めた。

ナラヤナ数列はフィボナッチ数列やパドバン数列と密接な関係があり、データコーディング、暗号化、組み合わせ論において重要な役割を果たします。n を 1 と 3 の部分に合成する回数は、n番目のナラヤナ数で数えられます。

ナラヤナ数列は3次の再帰関係によって定義される。

${\displaystyle N_{n}=N_{n-1}+N_{n-3}}$n > 2 の場合、

初期値付き

${\displaystyle N_{0}=N_{1}=N_{2}=1}$。

最初のいくつかの項は、1、1、1、2、3、4、6、9、13、19、28、41、60、88、...（OEISのシーケンスA000930）です。連続する項間の限界比はスーパー黄金比です。

n が素数となる最初の 11 個のインデックスは、n = 3、4、8、9、11、16、21、25、81、6241、25747 ( OEISのシーケンスA170954 ) です。最後の数字は 4274 桁の 10 進数です。 ${\displaystyle N_{n}}$

このシーケンスは、負のインデックスに拡張することができます。

${\displaystyle N_{n}=N_{n+3}-N_{n+2}}$。

ナラヤナ数列の生成関数は次のように与え られる。

${\displaystyle {\frac {1}{1-x-x^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }N_{n}x^{n}}$のために${\displaystyle x<1/\psi }$

ナラヤナ数は二項係数の和と次のよう に関係している。

${\displaystyle N_{n}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/3\rfloor }{n-2k \choose k}}$。

再帰方程式の特性方程式はである。3つの解が実根⁠ ⁠と共役対⁠ ⁠および⁠ ⁠である場合、ナラヤナ数はビネの公式^[10]で計算できる。${\displaystyle x^{3}-x^{2}-1=0}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle N_{n-2}=a\alpha ^{n}+b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}}$、実数⁠ ⁠${\displaystyle a}$および共役⁠ ⁠${\displaystyle b}$および⁠ ⁠${\displaystyle c}$の根。${\displaystyle 31x^{3}+x-1=0}$

およびなので、数⁠ ⁠は に最も近い整数であり、n ≥ 0かつ0.28469 30799 75318 50274 74714...${\displaystyle \left\vert b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}\right\vert <1/{\sqrt {\alpha ^{n}}}}$${\displaystyle \alpha =\psi }$${\displaystyle N_{n}}$${\displaystyle a\,\psi ^{n+2}}$${\displaystyle a=\psi /(\psi ^{2}+3)=}$

係数は、関連するシーケンスのビネの公式になります。 ${\displaystyle a=b=c=1}$${\displaystyle A_{n}=N_{n}+2N_{n-3}}$

最初のいくつかの項は、3、1、1、4、5、6、10、15、21、31、46、67、98、144、... です ( OEISのシーケンスA001609 )。

この無名数列はフェルマーの性質を持つ。すなわち、pが素数ならば、である。逆は成り立たないが、奇数の擬素数の数が少ないため、^{この数列は特別なものとなっている。[11] テストに合格する108}未満の⁸つの奇数の合成数は、n = 1155、552599、2722611、4822081、10479787、10620331、16910355、66342673である。 ${\displaystyle A_{p}\equiv A_{1}{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle \,n\mid (A_{n}-1)}$

ナラヤナ数は、実固有値を持つ行列のn > 3の積分乗として得られる[ 9 ^] ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}1&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle Q^{n}={\begin{pmatrix}N_{n}&N_{n-2}&N_{n-1}\\N_{n-1}&N_{n-3}&N_{n-2}\\N_{n-2}&N_{n-4}&N_{n-3}\end{pmatrix}}}$

⁠ ⁠のトレースは上記の⁠ ⁠ を与えます。 ${\displaystyle Q^{n}}$${\displaystyle A_{n}}$

あるいは、⁠ ⁠ は、${\displaystyle Q}$対応する 置換規則を持つアルファベット⁠ ⁠ ⁠上のD0Lリンデンマイヤーシステムの接続行列として解釈できる。 ${\displaystyle \{a,b,c\}}$

${\displaystyle {\begin{cases}a\;\mapsto \;ab\\b\;\mapsto \;c\\c\;\mapsto \;a\end{cases}}}$

および開始者⁠ ⁠${\displaystyle w_{0}=b}$ 。置換を繰り返すことによって生成される一連の単語⁠ ⁠ は${\displaystyle w_{n}}$、c、b、aの数が連続するナラヤナ数に等しいという性質を持っています。これらの単語の長さは${\displaystyle l(w_{n})=N_{n}.}$

この文字列書き換えプロセスに関連して、ラウジーフラクタルと呼ばれる自己相似タイルで構成されたコンパクトなセットがあり、これは複数世代の3文字シーケンスに含まれる組み合わせ情報を視覚化します。 ^[12]

超黄金長方形とは、辺の長さの比が⁠ ⁠${\displaystyle \psi :1}$である長方形です。黄金長方形と比較すると、超黄金長方形は自己相似性が 1 度高くなります。

高さ1、長さ⁠ ⁠${\displaystyle \psi }$、対角線の長さ( による)の長方形が与えられます。対角線上の三角形の高さは、各垂直フィートが対角線を ⁠ ⁠ の比率で分割する高さです。 ${\displaystyle {\sqrt {\psi ^{3}}}}$${\displaystyle 1+\psi ^{2}=\psi ^{3}}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {\psi }}\,;}$${\displaystyle \psi ^{2}}$

左側では、辺の長さが1の正方形を切り取り、下降対角線との交点をマークします。残った長方形の縦横比 は（に従って）になります。交点を通る2番目の水平切断によって、元の長方形を4つの部分に分割します。^{[13] [4]}${\displaystyle \psi ^{2}:1}$${\displaystyle \psi -1=\psi ^{-2}}$

対角線の下の長方形の縦横比は⁠ ⁠${\displaystyle \psi ^{3}}$で、他の 3 つはすべて超黄金長方形で、高さの足の間に 4 つ目の長方形があります。親長方形と 4 つの拡大縮小されたコピーは、対角線の反対側にある長方形の面積が両方とも等しい比率で線形サイズになります⁠ ⁠${\displaystyle \psi ^{3}:\psi ^{2}:\psi :\psi ^{2}-1:1,}$${\displaystyle 1/\psi ^{3}.}$

対角線の上の超黄金長方形では、このプロセスが⁠ ⁠${\displaystyle 1:\psi ^{2}}$のスケールで繰り返されます。

スーパー黄金螺旋は、1/4回転ごとに⁠ ⁠倍ずつ幅が広くなる対数螺旋です。これは、初期半径⁠ ⁠とパラメータ ⁠ を持つ極方程式で記述できます。スーパー黄金長方形上に描かれた場合、螺旋は対角線上の三角形の頂点に極を持ち、垂直に揃い、係数⁠ ⁠で連続的に拡大縮小されるアスペクト比⁠ ⁠の長方形の頂点を通過します。${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle r(\theta )=a\exp(k\theta ),}$${\displaystyle a}$${\displaystyle k={\frac {2\ln(\psi )}{\pi }}.}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle 1/\psi .}$

• 次のような方程式の解: ${\displaystyle x^{3}=x^{2}+1}$
  • 黄金比– 方程式の唯一の正の解${\displaystyle x^{2}=x+1}$
  • 塑性比– 方程式の唯一の真の解${\displaystyle x^{3}=x+1}$
  • スーパーシルバー比– 方程式の唯一の真の解${\displaystyle x^{3}=2x^{2}+1}$