黄金比

幾何学において、黄金長方形とは、辺の長さが黄金比、つまり⁠ ⁠が⁠ ⁠ 1.618または89/55にほぼ等しい長方形です。 ${\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}:1,}$${\displaystyle \varphi:1,}$${\displaystyle \varphi}$

黄金長方形は特殊な形の自己相似性を示します。つまり、長辺に正方形を追加したり、短辺から正方形を削除したりしても、結果は黄金長方形になります。

ピタゴラスの定理によれば、正方形の半分を分ける対角線は、黄金長方形の角を正方形に加えた円の半径に等しくなります。^{[1]したがって、黄金長方形は}定規とコンパスだけで4つのステップで作図できます。

1. 四角形を描く
2. 正方形の一辺の中点から反対側の角まで線を引きます
3. その線を半径として、長方形の高さを定義する円弧を描きます。
4. 黄金比を完成させる

この形状の特徴は、正方形を追加または削除すると、最初の長方形と同じアスペクト比を持つ別の黄金長方形になることです。正方形の追加または削除は無限に繰り返すことができ、その場合、正方形の対応する角は、この特性を持つ唯一の対数螺旋である黄金螺旋上の点の無限のシーケンスを形成します。埋め込まれた黄金長方形の最初の2つの順序の間に引かれた対角線は、埋め込まれたすべての黄金長方形の対角線の交点を定義します。クリフォード・A・ピックオーバーはこの点を「神の目」と呼びました。^[2]

正方形を、1:2の比で4つの合同な 直角三角形に分割し、これらを黄金長方形の形に配置し、係数⁠ ⁠で拡大され、中心を中心に⁠ ⁠回転した類似の長方形を囲みます。この構築を、規模を小さくしながら繰り返すと、隣接する直角三角形の無限シーケンスが4つ生成され、収束する黄金長方形の渦を描きます。^[3]${\displaystyle {\tfrac {1}{\varphi }}}$${\displaystyle \arctan({\tfrac {1}{2}}).}$

隣接する三角形の頂点を通る対数螺旋には極傾斜 があります。一対の直立した灰色の三角形の間にある平行四辺形は、比が ⁠ ⁠ の直交対角線を持ち、したがって黄金菱形です。 ${\displaystyle k={\frac {\ln(\varphi )}{\arctan({\tfrac {1}{2}})}}。}$${\displaystyle \varphi}$

三角形の辺の長さが1と2の場合、各離散螺旋の長さは です。各螺旋領域内の三角形の面積とその周囲の長さを合計すると、⁠ ⁠ (灰色) と⁠ ⁠ (黄色の領域) に等しくなります。${\displaystyle \varphi ^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\varphi ^{-n}.}$${\displaystyle \varphi =\sum _{n=0}^{\infty }\varphi ^{-2n};}$${\displaystyle 5+{\sqrt {5}}}$${\displaystyle 4\varphi }$

黄金比の比率は、バビロニアの シャマシュの粘土板 （紀元前888-855年頃）の頃から観察されていましたが、^[4]マリオ・リヴィオは、古代ギリシャ以前の黄金比の知識は「疑わしい」と述べています。^[5]

リヴィオによれば、1509年にルカ・パチョーリの『神の比例』が出版されて以来、「黄金比は、あまり数学的ではなく、実際に使える理論的な論文の中で芸術家たちに利用されるようになった」という。^[6]

ル・コルビュジエが1927年に設計したヴィラ・スタインは、黄金比を活用した建築物が多く、黄金長方形に近い寸法が特徴です。^[7]

ユークリッドは、黄金長方形の別の構築法として、合同な円で囲まれた3つの多角形、正十角形、六角形、五角形を示した。これら3つの多角形の辺の長さa、b、c はそれぞれa ²  +  b ²  =  c ²という式を満たすため、これらの長さの線分は直角三角形を形成する（ピタゴラスの定理の逆により）。六角形の辺の長さと十角形の辺の長さの比は黄金比であるため、この三角形は黄金長方形の半分を形成する。^[8]

正二十面体の2つの向かい合う辺の凸包は黄金長方形を形成する。この方法で二十面体の12の頂点は3つの互いに垂直な黄金長方形に分解することができ、その境界はボロミアン環のパターンで結ばれている。^[9]

上に示したように、高さ1、長さ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$、対角線の長さ の黄金長方形が構築されていると仮定します。対角線上の三角形の高さは、各垂直フィートが対角線を⁠ ⁠ の比率で分割する高さです。${\displaystyle {\sqrt {\varphi ^{2}+1}}}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\varphi ^{-2}}}\,;}$${\displaystyle \varphi ^{2}.}$

対角線と正方形の内辺の交点を通る水平線を引くと、元の黄金長方形と対角線に沿った2つの拡大縮小されたコピーの線形サイズは、正方形と対角線の反対側の長方形の両方の面積が等しい比率になります。[ ^10]${\displaystyle \varphi ^{2}:\varphi :1\,,}$${\displaystyle \varphi ^{-2}.}$

頂点 Aを基準として、高度UとVのフィートの座標はそれぞれおよびです。線分 ⁠ ⁠ の長さは高度⁠ ⁠に等しいです。${\displaystyle \left({\tfrac {1}{\sqrt {5}}},{\tfrac {1}{\varphi {\sqrt {5}}}}\right)}$${\displaystyle \left({\tfrac {\varphi ^{2}}{\sqrt {5}}},{\tfrac {\varphi }{\sqrt {5}}}\right)}$${\displaystyle {\overline {UV}}}$${\displaystyle h.}$

図をUとV を通る垂直線でさらに細分化すると、対角線とその部分の長さは、黄金三角形の角度である引数 72 度と 36 度の三角関数として表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AB}}+{\overline {AS}}&=\tan(72)\\{\overline {AB}}={\sqrt {\varphi ^{2}+1}}&=2\sin(72)\\{\overline {AV}}=\varphi /{\overline {AS}}&=\cot(36)\\{\overline {AS}}={\sqrt {1+\varphi ^{-2}}}&=2\sin(36)\\{\overline {UV}}=1/{\overline {AS}}&=\cot(36)/\varphi \\{\overline {SB}}={\overline {AS}}/\varphi &=\tan(36)\\{\overline {US}}=2/(\varphi {\overline {AB}})&=2\cot(72)\\{\overline {AU}}=1/{\overline {AB}}&=\varphi \cot(72)\\{\overline {UV}}-{\overline {AU}}&=\cot(72)\\{\overline {SV}}=(2-\varphi )/{\overline {AB}}&=\cot(72)/\varphi ,\end{aligned}}}$

⁠ ⁠と${\displaystyle \varphi =2\cos(36).}$

対角線の長さと三角関数の値はどちらも4次数体の要素である。 ${\displaystyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {(5+{\sqrt {5}})/2}}\right).}$

⁠ ⁠辺の黄金菱形の対角線の長さは⁠ ⁠と⁠ ⁠です。 ⁠ ⁠辺の長さの正五角形の面積は⁠ ⁠ ⁠です。 5 本の対角線によって五角形は黄金三角形とグノモンに分割され、中央には上向きの目盛り付きのコピーがあります。 正五角形は辺の長さと黄金三角形の角度によって定義されるため、すべての測定値は⁠ ⁠の累乗と黄金長方形の対角線で表すことができます (上図参照)。^[11]${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\overline {UV}}}$${\displaystyle {\overline {AU}}.}$${\displaystyle {\tfrac {2}{\varphi }}=\sec(36)}$${\displaystyle 5{\overline {AU}}.}$${\displaystyle \varphi }$

対角線部分を音楽の弦の長さとして解釈すると、対応する 10 個の音程のセットが得られ、そのうちの 1 つはオクターブで 2 倍になります。対数スケールで音程をマッピングすると (「黄金オクターブ」は⁠ ⁠に等しい) 、平均律の半音、短 3 度、および11 度の範囲内の長 2 度が示されます。音楽用語での分析は、 ⁠ ⁠に比例する唯一の例外的な音程によって実証され、これは驚くべき 1セント精度で倍音 7 度に近似します。^[b]${\displaystyle \varphi ^{4}}$ ${\displaystyle {\overline {US}}}$

この 10 音のセットは、ペンタトニック スケールの2 つのモード、つまり回文の「エジプト」モード (赤い点、中国のrui bin diao ^ⓘ古琴チューニング) と荘厳な「ブルース マイナー」モード (青い点、中国のman gong diao ^ⓘチューニング) に分割できます。

• 黄金三角形– 辺が黄金比の三角形
• ケプラーの三角形 – 黄金比に関連する直角三角形
• 黄金比の菱形 – 黄金比の対角線を持つ菱形
• 5の平方根– √5とφの間の代数的関係
• 長方形の切り取り – 長方形から正方形を切り取る

ウィキメディア・コモンズには、黄金長方形に関連するメディアがあります。

• ワイスタイン、エリック・W.「黄金長方形」。マスワールド。
• 黄金比と美学の物理学
• 黄金長方形から黄金四辺形へ
• ハインツ・ボーレンの833セントφスケール
• アーヴィン・ウィルソンの再帰的シーケンススケール