ルーカス数

ルーカス数列は、数学者フランソワ・エドゥアール・アナトール・ルーカス（1842年- 1891年）にちなんで名付けられた整数数列です。ルーカス数列と、それに密接に関連するフィボナッチ数列の両方を研究しました。ルーカス数列の個々の数はルーカス数と呼ばれます。ルーカス数とフィボナッチ数は、ルーカス数列の相補的な関係にあります。

ルーカス数列は、各項が前の 2 つの項の和であるという点でフィボナッチ数列と同じ再帰関係を持ちますが、開始値は異なります。 ^{[ 1 ]}これにより、連続する項の比率が黄金比に近づく数列が生成され、実際には、項自体は黄金比の整数乗の丸めになっています。 ^{[ 2 ]}また、この数列はフィボナッチ数列とさまざまな関係があり、例えば、フィボナッチ数列で 2 つの項離れた任意の 2 つのフィボナッチ数を足すと、その間のルーカス数になるという事実があります。^{[ 3 ]}

最初のいくつかのルーカス番号は

2、1、3、4、7、11、18、29、47、76、123、199、322、521、843、1364、2207、3571、5778、9349、...。（OEISのシーケンスA000032）

これは例えば、循環グラフにおける独立頂点集合の数と一致する。${\displaystyle C_{n}}$長さ${\displaystyle n\geq 2}$[ ^{1 ]​}

フィボナッチ数列と同様に、各ルーカス数は直前の2項の和として定義され、それによってフィボナッチ整数列を形成します。最初の2つのルーカス数は${\displaystyle L_{0}=2}$そして${\displaystyle L_{1}=1}$これは最初の2つのフィボナッチ数とは異なる。${\displaystyle F_{0}=0}$そして${\displaystyle F_{1}=1}$定義上は密接に関連しているものの、ルーカス数とフィボナッチ数はそれぞれ異なる性質を示す。

ルーカス数は、次のように定義できる。

${\displaystyle L_{n}:={\begin{cases}2&{\text{if }}n=0;\\1&{\text{if }}n=1;\\L_{n-1}+L_{n-2}&{\text{if }}n>1.\end{cases}}}$

（nは自然数である）

フィボナッチ数列に似た整数列はすべて、ワイトホフ配列の行としてシフトされた形で現れます。フィボナッチ数列自体が1行目、ルーカス数列が2行目になります。また、フィボナッチ数列に似た整数列と同様に、連続する2つのルーカス数の比は黄金比に収束します。

使用${\displaystyle L_{n-2}=L_{n}-L_{n-1}}$ルーカス数を負の整数に拡張することで、二重無限数列を得ることができる。

...、− 11、7、−4、3、−1、2、1、3、4、7、11、...（項）${\displaystyle L_{n}}$のために${\displaystyle -5\leq {}n\leq 5}$（表示されている）。

この数列の負の指数を持つ項の公式は次のとおりです。

${\displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.\!}$

ルーカス数は、多くの恒等式によってフィボナッチ数と関連付けられています。その中には、以下のようなものがあります。

• ${\displaystyle L_{n}=F_{n+1}+F_{n-1}=F_{n+2}-F_{n-2}。}$
• ${\displaystyle L_{n+k}=L_{n+1}F_{k}+L_{n}F_{k-1}.}$
• ${\displaystyle F_{n+k}=L_{k}F_{n}-(-1)^{k}F_{nk};}$特に${\displaystyle k=n,}$${\displaystyle F_{2n}=L_{n}F_{n}.}$
• ${\displaystyle 2F_{n+k}=L_{n}F_{k}+L_{k}F_{n}.}$
• ${\displaystyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}}$、 それで${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}.}$
• ${\displaystyle L_{n}-{\sqrt {5}}F_{n}={\frac {2}{(-\varphi )^{n}}}\to 0.}$
• ${\displaystyle L_{n+k}-(-1)^{k}L_{nk}=5F_{n}F_{k}}$;特に${\displaystyle k=1,}$${\displaystyle 5F_{n}=L_{n+1}+L_{n-1}=2L_{n+1}-L_{n}=L_{n}+2L_{n-1},}$一方、${\displaystyle k=n,}$上記の恒等式${\displaystyle L_{2n}}$取得される。

それらの閉じた式は次のように表されます。

${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n},}$

どこ${\displaystyle \varphi }$は黄金比です。${\displaystyle n>1}$項の大きさ${\textstyle (1-\varphi )^{n}}$1/2より小さいので、${\displaystyle L_{n}}$に最も近い整数は$\displaystyle \varphi ^{n}}$または同等に、${\displaystyle \varphi ^{n}+1/2}$、また次のように表記される${\displaystyle \lfloor \varphi ^{n}+1/2\rfloor }$。

上記をビネの公式と組み合わせると、

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}\,,}$

の式${\displaystyle \varphi ^{n}}$得られるもの：

${\displaystyle \varphi ^{n}={L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}} \over 2}\,.}$

n ≥ 2 の整数については、次の式も得られます。

${\displaystyle \varphi ^{n}=L_{n}-(1-\varphi )^{n}=L_{n}-(-1)^{n}L_{n}^{-1}-L_{n}^{-3}+R}$

余りRは以下を満たす

${\displaystyle \vert R\vert <3L_{n}^{-5}.}$

フィボナッチ数列の恒等式の多くは、ルーカス数列にも類似の式が存在する。例えば、カッシーニ数列の恒等式は次のようになる。

${\displaystyle L_{n}^{2}-L_{n-1}L_{n+1}=(-1)^{n}5}$

また

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}L_{k}=L_{n+2}-1}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}L_{k}^{2}=L_{n}L_{n+1}+2}$

${\displaystyle 2L_{n-1}^{2}+L_{n}^{2}=L_{2n+1}+5F_{n-2}^{2}}$

どこ${\displaystyle \textstyle F_{n}={\frac {L_{n-1}+L_{n+1}}{5}}}$。

${\displaystyle L_{n}^{k}=\sum _{j=0}^{\lfloor {\frac {k}{2}}\rfloor }(-1)^{nj}{\binom {k}{j}}L'_{(k-2j)n}}$

どこ${\displaystyle L'_{n}=L_{n}}$例外${\displaystyle L'_{0}=1}$。

例えば、nが奇数の場合、${\displaystyle L_{n}^{3}=L'_{3n}-3L'_{n}}$そして${\displaystyle L_{n}^{4}=L'_{4n}-4L'_{2n}+6L'_{0}}$

チェック中、${\displaystyle L_{3}=4,4^{3}=64=76-3(4)}$、 そして${\displaystyle 256=322-4(18)+6}$

ルーカス数列の通常の母関数は冪級数である

$${\displaystyle \Phi (x)=\sum _{k=0}^{\infty }L_{k}x^{k}=2+x+3x^{2}+4x^{3}+7x^{4}+11x^{5}+\cdots .}$$

この級数は任意の複素数に対して収束する${\displaystyle x}$満足${\displaystyle |x|<1/\varphi \approx 0.618,}$そしてその和は単純な閉じた形で表される。 $${\displaystyle \Phi (x)={\frac {2-x}{1-x-x^{2}}}.}$$

これは、を掛けることで証明できます。${\textstyle (1-x-x^{2})}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}(1-x-x^{2})\Phi (x)&=\sum _{k=0}^{\infty }L_{k}x^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }L_{k}x^{k+1}-\sum _{k=0}^{\infty }L_{k}x^{k+2}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }L_{k}x^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }L_{k-1}x^{k}-\sum _{k=2}^{\infty }L_{k-2}x^{k}\\&=2x^{0}+1x^{1}-2x^{1}+\sum _{k=2}^{\infty }(L_{k}-L_{k-1}-L_{k-2})x^{k}\\&=2-x,\end{aligned}}}$$ すべての用語が${\displaystyle x^{k}}$のために${\displaystyle k\geq 2}$定義するルーカス数の漸化式により相殺される。

${\displaystyle \Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)}$負のインデックス付きルーカス数の生成関数を与える。${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}L_{n}x^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }L_{-n}x^{-n}}$、 そして

${\displaystyle \Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)={\frac {x+2x^{2}}{1-x-x^{2}}}}$

${\displaystyle \Phi (x)}$関数方程式を満たす

${\displaystyle \Phi (x)-\Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)=2}$

フィボナッチ数列の生成関数は次のように与えられます。

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{1-x-x^{2}}}}$

我々は持っています

${\displaystyle s(x)+\Phi (x)={\frac {2}{1-x-x^{2}}}}$

これは、

${\displaystyle F_{n}+L_{n}=2F_{n+1},}$

そして

${\displaystyle 5s(x)+\Phi (x)={\frac {2}{x}}\Phi (-{\frac {1}{x}})=2{\frac {1}{1-x-x^{2}}}+4{\frac {x}{1-x-x^{2}}}}$

証明する

${\displaystyle 5F_{n}+L_{n}=2L_{n+1}}$

部分分数分解は次のように表される。

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{1-\phi x}}+{\frac {1}{1-\psi x}}}$

どこ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$は黄金比であり、${\displaystyle \psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}$は、その共役です。

これは生成関数を証明するために使用できます。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(\phi ^{n}+\psi ^{n})x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\phi ^{n}x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }\psi ^{n}x^{n}={\frac {1}{1-\phi x}}+{\frac {1}{1-\psi x}}=\Phi (x)}$

使用${\displaystyle x}$0.01、0.001、0.0001などのいずれかに等しい。 は、10進展開の最初のルーカス数を示す。${\displaystyle \Phi (x)}$。 例えば、${\displaystyle \Phi (0.001)={\frac {1.999}{0.998999}}={\frac {1999000}{998999}}=2.001003004007011018029047\ldots .}$

もし${\displaystyle F_{n}\geq 5}$がフィボナッチ数であれば、ルーカス数は で割り切れない。${\displaystyle F_{n}}$。

ルーカス数はガウスの合同条件を満たす。これは、${\displaystyle L_{n}}$は1 を法として合同である${\displaystyle n}$もし${\displaystyle n}$は素数です。​${\displaystyle n}$この性質を満たすものは、フィボナッチ擬素数として知られています。

${\displaystyle L_{n}-L_{n-4}}$は 5 を法として 0 と合同である。

ルーカス素数とは、素数であるルーカス数のことです。最初のいくつかのルーカス素数は

2、3、7、11、29、47、199、521、2207、3571、9349、3010349、54018521、370248451、6643838879、... （ OEISのシーケンスA005479）。

これらの素数の指数は（例えば、L ₄ = 7）

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, ... ( OEISのシーケンスA001606 )。

2015年9月現在 確認されている最大のルーカス素数はL ₁₄₈₀₉₁で、10進数で30950桁です。^{[ 4 ]} 2022年8月現在 既知の最大のルーカス確率素数はL _5466311で、1,142,392 桁の十進数です。^{[ 5 ]}

L _nが素数である場合、 nは 0、素数、または2 のべき乗です。^{[ 6 ]} L _{2 ^m}はm  = 1、2、3、4 の 場合 に素数であり、 m の他の既知の値はありません。 

フィボナッチ多項式がフィボナッチ数から導き出されるのと同様に、ルーカス多項式もフィボナッチ数から導き出されます。${\displaystyle L_{n}(x)}$これらはルーカス数から導出される多項式列である。

nの値が最小の場合を除いて、整数L _{n は}黄金比のn乗に非常に近い値となる。  ${\displaystyle \varphi ^{n}}$さらに、黄金比のべき乗の近似値は、それらの連分数から得ることができます。

正の整数nに対して、連分数は次のようになります。

${\displaystyle \varphi ^{2n-1}=[L_{2n-1};L_{2n-1},L_{2n-1},L_{2n-1},\ldots ]}$

${\displaystyle \varphi ^{2n}=[L_{2n}-1;1,L_{2n}-2,1,L_{2n}-2,1,L_{2n}-2,1,\ldots ]}$。

例えば：

${\displaystyle \varphi ^{5}=[11;11,11,11,\ldots ]}$

限界は

${\displaystyle {\frac {11}{1}},{\frac {122}{11}},{\frac {1353}{122}},{\frac {15005}{1353}},\ldots }$

各項の誤差は前の項の誤差の約1％であり、

${\displaystyle \varphi ^{6}=[18-1;1,18-2,1,18-2,1,18-2,1,\ldots ]=[17;1,16,1,16,1,16,1,\ldots ]}$

限界は

${\displaystyle {\frac {17}{1}},{\frac {18}{1}},{\frac {305}{17}},{\frac {323}{18}},{\frac {5473}{305}},{\frac {5796}{323}},{\frac {98209}{5473}},{\frac {104005}{5796}},\ldots }$

各項の誤差は、その2つ前の項の誤差の約0.3%である。

2016年に657本のヒマワリを分析したところ、時計回りと反時計回りの螺旋を数えると、ヒマワリではルーカス数がフィボナッチ数に次いで2番目に多いパターンであることがわかった。^{[ 7 ]}

• フィボナッチ数の一般化

• 「ルーカス多項式」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• ワイススタイン、エリック・W. 「ルーカス数」 . MathWorld .
• ワイスタイン、エリック W. 「ルーカス多項式」。マスワールド。
• 「ルーカス・ナンバーズ」、ロン・ノット博士
• ルーカス数と黄金比
• ルーカス数計算ツールはこちらから入手できます。
• OEISシーケンスA000032 （ルーカス番号は2から始まる）