算術的組合せ論

数学において、算術的組合せ論は、数論、組合せ論、エルゴード理論、調和解析が交わる分野です。

算術的組合せ論は、算術演算 (加算、減算、乗算、除算) に関連する組合せ推定に関するものです。 加法的組合せ論は、加算と減算の演算のみが関係する特殊なケースです。

ベン・グリーンはタオとヴーの「加法組合せ論」のレビューで算術組合せ論について説明しています。^[1]

セメレディの定理は、整数の部分集合における等差数列に関する算術的組合せ論の結果である。1936年にエルデシュとトゥランは、正の自然密度を持つすべての整数集合Aには、すべてのkに対してk項等差数列が含まれると予想した^{[2] 。セメレディの定理となったこの予想は、}ファンデルワールデンの定理の記述を一般化したものである。

2004年にベン・グリーンとテレンス・タオによって証明されたグリーン・タオ定理[ ^3]は、素数の列には任意の長さの等差数列が含まれると述べています。言い換えると、k項を持つ素数の等差数列が存在し、kは任意の自然数です。この証明はセメレディの定理の拡張です。

2006 年、 Terence Tao とTamar Ziegler は、この結果を拡張して多項式数列をカバーしました。^[4]より正確には、定数項 0 を持つ1 つの未知数m内の任意の整数値多項式 P ₁、...、P _kに対して、 x  +  P ₁ ( m )、...、x  +  P _k ( m ) が同時に素数と なるような整数x、mは無限個存在します。多項式がm、 2 m、...、kmである特殊なケースは、長さkの素数等差数列が存在するという前の結果を意味しています。

2011年にエマニュエル・ブリューイヤール、ベン・グリーン、テレンス・タオによって証明されたブリューイヤール・グリーン・タオの定理^{[5]は、近似群の完全な分類を与える。この結果は、}フライマンの定理の非可換版、および多項式増加群に関するグロモフの定理の一般化と見ることができる。

AがN個の整数の集合である場合、その和集合はどのくらい大きいか小さいか

${\displaystyle A+A:=\{x+y:x,y\in A\},}$

差集合

${\displaystyle AA:=\{xy:x,y\in A\},}$

そして製品セット

${\displaystyle A\cdot A:=\{xy:x,y\in A\}}$

どのような集合になるのでしょうか。また、これらの集合のサイズはどのように関連しているのでしょうか。(混乱しないように:差集合と積集合という用語は他の意味を持つ場合があります。)

研究対象となる集合は、整数以外の代数構造の部分集合、例えば群、環、体であることもある。^[6]

• Łaba, Izabella (2008). 「調和解析から算術組合せ論へ」Bull. Amer. Math. Soc . 45 (1): 77–115. doi : 10.1090/S0273-0979-07-01189-5 .
• 加法的組合せ論と理論計算機科学、Wayback Machineに 2016-03-04 にアーカイブ、Luca Trevisan、SIGACT ニュース、2009 年 6 月
• Bibak, Khodakhast (2013)。「コンピュータサイエンスと暗号学を視野に入れた加法的な組み合わせ論」。Borwein, Jonathan M.、Shparlinski, Igor E.、Zudilin, Wadim (編)。数論と関連分野: Alf van der Poorten を偲んで。第 43 巻。ニューヨーク: Springer Proceedings in Mathematics & Statistics。pp. 99–128。arXiv : 1108.3790。doi : 10.1007 / 978-1-4614-6642-0_4。ISBN 978-1-4614-6642-0. S2CID  14979158。
• 加法組合せ論における未解決問題、E Croot、V Lev
• 回転する針から波の安定性へ: 組合せ論、解析、偏微分方程式間の新たなつながり、Terence Tao、AMS Notices 2001 年 3 月
• タオ、テレンス、ヴー、ヴァン H. (2006)。加法的な組み合わせ論。ケンブリッジ高等数学研究。第 105 巻。ケンブリッジ:ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-85386-9. MR  2289012. Zbl  1127.11002.
• Granville, Andrew ; Nathanson, Melvyn B.; Solymosi, József編 (2007)。加法的な組合せ論。CRM Proceedings & Lecture Notes。第 43 巻。アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-4351-2.ZBL1124.11003  。​
• マン、ヘンリー(1976)。加法定理: 群論と数論の加法定理( 1965年 Wiley 版の訂正再版)。ハンティントン、ニューヨーク: Robert E. Krieger Publishing Company。ISBN 0-88275-418-1。
• ナサニソン、メルヴィン B. (1996)。加法数論：古典的基底。数学大学院テキスト。第 164 巻。ニューヨーク：シュプリンガー出版。ISBN 0-387-94656-X. MR  1395371。
• ナサンソン、メルヴィン B. (1996)。加法数論:逆問題と和集合の幾何学。数学の大学院テキスト。第 165 巻。ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 0-387-94655-1. MR  1477155。

• 算術的組合せ論のハイライト、Terence Taoによるリソース
• 加法組合せ論: 2007 年冬、K Soundararajan
• 加法組合せ論とコンピュータサイエンスの最も初期のつながり、ルカ・トレヴィサン