数字の合計

数学では、与えられた基数における自然数の桁の合計は、そのすべての桁の合計です。たとえば、10進数の桁の合計は次のようになります。 ${\displaystyle 9045}$${\displaystyle 9+0+4+5=18.}$

を自然数とします。を基数とする桁の合計を次のように定義します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle b>1}$${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k}d_{i}}$

ここで、は基数 の数字の桁数より1小さい値であり、 ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor }$${\displaystyle b}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}}$

数字の各桁の値です。

例えば、10進数では、84001の数字の合計は${\displaystyle F_{10}(84001)=8+4+0+0+1=13.}$

任意の2つの基数と十分に大きな自然数に対して${\displaystyle 2\leq b_{1} <b_{2}}$${\displaystyle n,}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}F_{b_{1}}(k)<\sum _{k=0}^{n}F_{b_{2}}(k).}$^[1]

10進数の整数0、1、2、…の和は、オンライン整数列百科事典のOEIS :A007953で与えられます。Borwein & Borwein (1992)は、この整数列（および2進数の和の類似列）の生成関数を使用して、有理和と超越和を持ついくつかの急速に収束する級数を導出しました。^[2]

各整数を表すために符号付き数字表現を使用することで、数字の合計を負の整数に拡張できます。

桁の合計が q である n 桁の数字の数は、次のように計算できます。

${\displaystyle f(n,q)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\f(n,9n-q+1)&{\text{if }}q>\lceil {\frac {9n}{2}}\rceil \\\sum _{i=\max(q-9,1)}^{q}f(n-1,i)&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

10 進数の数字の合計の概念は、数字の合計演算を繰り返し適用して残りの値が 1 桁だけになるまで結果を返す数字根と密接に関連していますが、同じではありません。 0 以外の整数の 10 進数の数字根は 1 から 9 までの範囲の数値ですが、数字の合計は任意の値を取ることができます。 数字の合計と数字根は、簡単な割り切れるかどうかのテストに使用できます。自然数が3 または 9 で割り切れるのは、その数字の合計 (または数字根) がそれぞれ 3 または 9 で割り切れる場合のみです。 9 で割り切れるかどうかのこのテストは、 9 の規則と呼ばれ、計算をチェックするための9 を除外する手法の基礎となっています。

桁の合計は、初期のコンピュータの算術演算をチェックするチェックサムアルゴリズムの一般的な要素でもあります。 ^[3]手計算の時代に、エッジワース (1888) は、乱数生成の形式として、対数表から取得した 50 桁の合計を使用することを提案しました。各桁がランダムであると仮定すると、中心極限定理により、これらの桁の合計はガウス分布に近似したランダム分布になります。^[4]

数値の2進表現の桁の合計は、ハミング重みまたは人口カウントとして知られています。この操作を実行するためのアルゴリズムが研究されており、一部のコンピュータアーキテクチャと一部のプログラミング言語に組み込み操作として含まれています。これらの操作は、暗号化、符号理論、コンピュータチェスなどのコンピューティングアプリケーションで使用されます。

ハーシャッド数はその桁の和によって割り切れるかどうかで定義され、スミス数はその桁の和が素因数分解の桁の和と等しいかどうかで定義されます。

• 算術ダイナミクス
• 9を投げ出す
• チェックサム
• デジタルルート
• ハミングウェイト
• ハーシャド数
• 完全なデジタル不変量
• 横方向の合計
• スミス数
• 和積数

• ワイスタイン、エリック・W.「ディジット・サム」。マスワールド。