数学の言語に は、専門用語や技術用語 が豊富に揃っています。また、数学 特有の専門用語も存在します。これらは、数学という学問分野というよりも、数学の文化の一部として一般的に用いられる表現です。専門用語は講義でよく使われ、時には印刷物にも登場し、厳密な 議論や正確な概念を簡潔に表現する非公式な略語として用いられます。その多くは一般的な英単語ですが、数学的な文脈で使用される際には、一見すると分かりにくい特別な意味を持ちます。
「一般的に」などの一部のフレーズは、以下の複数のセクションに登場します。
数学の哲学 抽象的なナンセンス 圏論 を皮肉った表現で、現在の問題の具体的な内容に一切言及することなく、（場合によっては具体的な）結論を導き出す議論を展開できる。そのため、 一般抽象ナンセンス 、あるいは一般化抽象ナンセンス とも呼ばれる。 アイレンバーグ マックレーン の論文（1942年）は、「 カテゴリー 」という非常に抽象的な概念を導入した。 当時、この分野は「一般的な抽象的なナンセンス」と呼ばれていた。
[ グロタンディーク ]は 代数幾何学を 新たな抽象レベルに引き上げた。一部の数学者は、これらの複雑な構造はすべて「抽象的なナンセンス」であるという希望で一時的に自分たちを慰めることができたが、グロタンディークらの後期の論文は、何世代にもわたる才能ある数学者の努力を阻んできた古典的な問題が、複雑な概念によって解決できることを示した。
正典 数学的対象 の標準的な表現、または選択のない表現（例えば、標準写像、標準形式、標準順序など）を指す。同じ用語は、より非公式な意味で「標準的」または「古典的」なものを指す場合にも使用される。例えば、ユークリッドの証明は 素数の無限性 に関する「標準的な証明」であると言うことができる。数学の専門家でない人に数学的証明がどのようなものかを説明する際に必ず用いられる、2つの典型的な証明方法がある。
深い 結果が「深遠」と呼ばれるのは、その証明に、結果を定式化するために必要な概念を超えた高度な概念や方法が必要な場合である。例えば、素数定理は 、もともと複素解析の手法を用いて証明されたもので、 初等的な証明 が見つかるまでは深遠な結果と考えられていた。 [ 1 ] π が無理数であるという事実は、その主張自体は単純な数論 や幾何学 で述べることができるにもかかわらず、証明を確立するには実解析 のかなりの発展が必要となるため、通常は深遠な結果として知られている。 エレガント 美的用語で、数学に対する洞察を与えるアイデアの能力を指す。それは、異質な分野を統合したり、単一の分野に新しい視点をもたらしたり、あるいは特に単純な証明方法を提供したり、証明された結果がなぜ正しいのかという直感や想像力を捉えたりする証明方法を提供したりすることによってもたらされる。場合によっては、「美しい」という言葉も同じ効果で使われることがあるが、ジャン＝カルロ・ロータは 表現の優雅さ と概念の美しさ を区別し、例えば、数学的な内容が美しくなくても優雅に書けるトピックもあれば、美しい定理 や証明でも優雅に書けない場合もあると述べている。 数学理論の美しさは、その理論の厳密な説明の美的性質とは無関係である。美しい理論の中には、その美しさに見合うような説明が与えられないものもある。また、美しさに疑問のある平凡な理論が、華麗で刺激的な説明を与えられる例もある。[圏論]は美しく洞察力に富んだ定義に富んでいるが、優雅な証明には乏しい。[定理]は依然としてぎこちなく退屈である。[射影幾何学 の説明]は、説明の優雅さと証明の巧妙さで競い合った。振り返ってみると、一体何がそんなに騒がれたのか不思議に思う。数学者は、定理が美しいと言うとき、実際には啓発的であると言いたいのかもしれない。定理がどのようにその場所に「適合」するかを見たときに、私たちは定理の美しさを認める。証明が美しいと言うのは、その証明が最終的に定理の秘密を明かすときである。
— ( 1977 、– 174、– 182)
小学校 証明や結果が、その分野の基本的な概念や方法のみを含む場合、「初等的」と呼ばれます。これは、その分野内外でより詳細な展開を必要とする高度な結果とは対照的です。「初等的証明」という概念は、特に 数論 において用いられ、通常は複素解析 の手法を用いない証明を指します。 民話 ある研究成果が、一般には知られておらず、公表もされていないものの、その分野の専門家の間では広く知られている場合、それは「民間伝承」と呼ばれる。多くの場合、誰が最初にその成果を得たのかは不明瞭だが、その成果が重要なものであれば、いずれ教科書に掲載される可能性があり、そうなれば民間伝承ではなくなる。 本論文で述べられている結果の多くは、「民間伝承」とみなされるべきである。なぜなら、それらは当該分野の研究者にはよく知られている考えを形式的に述べたにすぎず、初心者には必ずしも明らかではなく、私の知る限りでは他の出版物には掲載されていないからである。
自然 「正準的」に似ているが、より具体的で、（ほぼ変換 の文脈においてのみ）いかなる選択にも依存しない記述を指す。この用語は長い間非公式に用いられてきたが、圏論において正式な定義が見出された。病理学的 ある対象が病的な振る舞いをする（あるいは、より広義には退化した 振る舞いをする）とは、そのような対象に共通する振る舞いに従わない場合、特定の文脈依存的な規則性を満たさない場合、あるいは単に数学的な直観に反する場合を指す。これらは矛盾する要求事項である可能性があり、この用語は、これらの性質に対する反例として人工的に構築された対象を指すために、より意図的に用いられることもある。簡単な例として、内角の 和が π ラジアンとなる三角形の 定義からすると、一本の直線はこの定義に病的に適合する。 半世紀もの間、私たちは、何らかの目的を果たす誠実な機能とはできるだけ似ていないように見える、奇妙な機能 が数多く出現するのを見てきました。…いや、論理的な観点から言えば、これらの奇妙な機能こそが最も一般的なものなのです。…今日では、それらは私たちの先人たちの推論を非難するために意図的に考案されたものです。
ディリクレ関数は 、直感的に許容できると思われる性質から完全に逸脱した新しいタイプの関数を作成する動機付けとして、非常に重要な意味を持つようになりました。そのようないわゆる「病理的」関数の有名な例は、ワイエルシュトラスによって提供されたもの です。この関数は連続ですが、 微分可能 ではありません。
後者の引用について注意すべき点は、バナッハが 1931年に発見したように、連続関数の空間において微分 可能な関数はごくわずかであるため、微分可能な関数は、一般的に言えば連続関数の中では稀な例外であるということである。したがって、微分不可能な連続関数を病的なものと呼ぶことは、もはやほとんど正当化できない。 厳密さ（厳密さ） 数学的結論を、形式的な記述的議論ではなく、議論の余地のない論理を用いて導き出す行為。厳密さは数学の根幹をなす特質であり、数学が誤謬に陥るのを防ぐ上で重要な役割を果たす。 行儀が良い ある対象が「良好な振る舞い」をするとは（「病理的」で 解析学において）、「 滑らか 」 という用語も同じ意味で用いられることがある。
証明用語 証明 の形式言語は、限られた概念群から繰り返し引用され、その多くは実際には様々な略記法を通して用いられる。
アリター 読者に対して別の方法や結果の証明を示すために用いられる、現在では廃れた用語。したがって、証明においては、論理的には不要だが、何らかの別の意義を持つ推論部分を示す役割を果たす。 矛盾によって （BWOC）、または「そうでなければ、...」背理法による証明 における修辞的な前置きであり、証明すべき命題の否定に先立って用いられる。 必要かつその場合に限る （iff）論理的等価性 を表す略語。一般的に 証明の文脈では、このフレーズは帰納法の 議論において、基本ケースから帰納段階へ移行する際によく見られ、同様に、数列の定義においても、最初の数項が数列のすべての項を与える式の例として示される。 必要かつ十分 「～の場合に限り」のマイナーな変形。「Aは B にとって必要 十分条件である 」は「Aは B の場合に限り成り立つ」という意味です。例えば、「体 Kが 代数的に閉じて いるためには、有限体拡大を 持たないことが必要十分条件である」は「K が代数的に閉じているのは、有限体拡大を持たない場合に限る」という意味になります。リストの中でよく使われ、「体が代数的に閉じているためには、以下の条件が必要十分条件である…」のように使われます。 提示する必要がある (NTS)、証明が求められる (RTP)、提示したい、提示したい (WTS) 証明は、いくつかの条件を列挙することによって進められる場合があり、それらの条件が満たされれば、目的とする定理が導かれる。したがって、これらの条件だけを示せばよい 。 たった一つだけ 物体 存在と一意性 に関する記述証明終了 ( Quod erat demonstrandum ): ラテン語の略語で、「証明されるべきもの」という意味。歴史的には証明の最後に付けられていたが、現在ではあまり一般的ではなく、ハルモス証明終了記号（ 四角い記号∎）に取って代わられている。 十分に良い オブジェクト を導出する 際、定理の記述にこの表現を用いるのは、関連する条件がまだ話し手には分かっていない可能性があり、定理の証明を成立させるために必要となる条件を収集することが意図されていることを示している。以下は同等です（TFAE） 多くの場合、複数の同等の条件（特に正規部分群 などの定義の場合）は、実際には同様に有用です。TFAE を持つ 2 つ以上の命題の同等性を示す定理を導入します。構造物の輸送 2つの物体 構造の移送 によって、2番目の空間にも同様の構造を定義できる。例えば、同じ次元の任意の2つの ベクトル空間は 同型で ある。一方の空間に内積が与えられ、特定の同型写像を固定した場合、その同型写像を通して因数分解する こと で、もう一方の空間にも内積を定義できる。V を k 上の有限次元ベクトル空間とする。... ( e i 1≤ i ≤ n を V の基底 とする。...多項式代数 k [ T ij 1≤ i , j ≤ n 代数 Sym k V ⊗ V * ) への同型写像が存在する。... これは、k [ GL n k V ⊗ V * ) D D = det( e i ⊗ e j * ) である。... この最後の代数を k [ GL ( V )]と表記する。構造の移送により、 GL n と同型の線形代数群 GL ( V )が得られる。
— ( 1991 、
一般性を失うことなく （WLOG、WOLOG、WALOG）、（WMA）と仮定できます。命題は 、対象となる事物に関する追加の仮定を加えることで、より容易に証明できる場合がある。もし、提示された命題が、この修正された命題から、簡潔かつ最小限の説明で導かれる場合（例えば、残りの特殊な場合が表記法を除いて同一である場合）、この句を用いて修正された仮定を導入し、変更された命題を証明する。
証明技法 数学者は証明や証明手法を説明する際に、いくつかの表現を用いる。これらはしばしば、面倒な詳細を補足するためのヒントとして使われる。
角度追跡 図中のさまざまな角度間の関係を見つける幾何学的証明を説明するために使用されます。[ 3 ] 概算 厳密さを多少省略した非公式な計算であり、正確性を損なうことはない。多くの場合、この計算は「概念実証 」であり、アクセス可能な特殊なケースのみを扱う。 力ずく これは、根本的な原理やパターンを見つけるのではなく、問題となっている事柄が真実であることを十分に証明または説得力のある証拠として示すために必要な数の事例を評価する方法です。場合によっては、考えられるすべての事例を評価することになります（これは「網羅的証明 」とも呼ばれます）。 例によって 例による証明と は、ある主張を証明するのではなく、例を用いて説明する論法である。適切に行われれば、具体的な例から容易に一般的な証明へと一般化できる。検査により 著者が読者に、提示された式や推論の正しさを一目で確認してもらうために用いる修辞的な近道。式が、複雑な計算や一般理論に頼ることなく、単純な手法を直接適用することで評価できる場合、それは「目視」で 評価できる。これは方程式を解く際にも用いられる。例えば、二次方程式 の根を目視で求めるということは、根を「見つける」、つまり頭の中で確認することである。「目視」は一種のゲシュタルト的な 脅迫によって 著者が容易に検証可能だと考える主張を「明白」または「些細な」と表現する証明スタイルであり、しばしば読者を混乱させる結果となる。 明らかに、簡単に示すことができる 数学者が面倒またはルーチン的だと感じる計算を省略する用語で、その分野に必要な専門知識を持つ聴衆の誰でも理解できるもの。ラプラスは obvious （フランス語 ：évident ）を使用した。 完全な直感 一般的にはジョーク（完全誘導 に関する駄洒落）に用いられる。図表を追いかける [ 4 ] 対象とそれらの間の射の可換図式 が与えられたとき、射の何らかの性質（例えば単射性 要素 で表すことができることを、連続する射が図式に適用されるにつれて、さまざまな対象の要素の経路をたどることで証明を進めることができます。つまり、図式上で要素を追いかける 図式追跡を 。手を振る 主に講義などで用いられる、形式的な議論が必ずしも必要ではない非証明手法。詳細や重要な要素を省略することで展開され、単なる妥当性論証に過ぎない。 一般的に 厳密さを必要としない文脈では、この表現は、完全な議論の技術的な詳細が概念的な利点を上回る場合に、労力を節約する手段としてよく用いられる。著者は、計算が妥当であるほど単純なケースで証明を示し、その後、「一般的に」証明は同様であると述べる。 インデックスバトル 複数のインデックスを持つオブジェクトを含む証明で、底辺まで辿ることで解決できるもの（もし誰かがその努力をしたいのであれば）。図式追跡に似ている。 道徳的に真実 これは、証明がまだ提示されていないにもかかわらず、 話し手が自身の数学的経験に基づいて、ある主張が真であるはずだと考えていることを示すために用いられる。変形として、その主張は実際には偽である場合もあるが、代わりに正しい原理のスローガンや例示として用いられる。 ハッセ の局所的・大域的原理 は、この例として特に影響力の大きいものである。 明らかに はっきりと 証明は読者への演習課題とする。 通常、より大きな証明の中の主張に対して適用され、その主張の証明は必要な専門知識を持つ聴衆の誰でも日常的に作成できるが、自明な ほど単純ではない場合に使用されます。 些細な 明らか に、概念が自明であるとは、それが定義によって成り立つ場合、既知の命題の直接的な帰結である場合、またはより一般的な概念の単純な特殊な場合である場合を指します。
その他 このセクションでは、数学 のさまざまな分野で使われる用語、あるいはより専門的な用語集には通常掲載されない用語を取り上げています。数学の特定の分野でのみ使用される用語については、「カテゴリ:数学用語集」の用語集を参照してください。
バイナリ 二項関係 とは順序対の集合であり、要素xが他の要素 y と関係があるとされるのは、 ( x , y ) がその集合に含まれている場合に限る。 対応 集合A から集合B への対応関係は 、デカルト積A × B A 、 Bが指定されている。 図 関数 関数f: A → B ( A, B, f ) であり 条件 ( a b ) , ( a , b ′ ) ∈ f ならば b = b ′ 対応であり、 A の要素a が与えられたとき、それに対応するB の要素b が一意に存在する。 基本的 「基本」という言葉は、特定の数学分野においてその分野で最も重要な定理とみなされる定理を説明するために使用されます（例：算術 の基本定理 ）。 不変 対象物または空間の不変量とは、何らかの変換を受けても変化しない、対象物または空間の性質または数値のことである。 地図 集合間の関数、または圏における 射 の同義語。著者によっては、「写像」または「関数」という用語を特定の種類の関数または射に限定して使用する場合がある（例えば、関数は解析的な用語であり、写像は一般的な用語である）。 数学 数学 を参照してください。多値 集合A から集合B への「多値関数」とは、 Aから B の部分集合への関数のことです。通常、多値関数は、 B のほとんどすべての点xに対して、 x の近傍が存在し、その近傍への関数の制限が、近傍からB への関数の集合として考えることができるという性質を持ちます。 投影 投影と は、大まかに言えば、ある空間や物体から別の空間や物体への地図であり、その物体や空間に関する情報の一部を省略したものです。例えば、R 2 → R 、 （ x 、 y ） ↦ x {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,(x,y)\mapsto x} 冪等作用素 」や「忘却写像 」も射影の同義語です。 構造 オブジェクト上の数学的構造 とは、オブジェクトに付随する追加のオブジェクトまたはデータの集合（例えば、関係、演算、メトリック、トポロジーなど）のことです。
注記 ↑ ゴールドフェルド、ドリアン。「素数定理の初等的証明：歴史的展望」（PDF） 。コロンビア大学 。 ↑ ボイド、スティーブン (2004). 凸最適化 . ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0521833783 。↑ Roe, John (1993), Elementary Geometry , Oxford science publications, p. 119, ISBN 978-0-19-853456-3 ↑ 多数の例は（Mac Lane 1998 ） に掲載されており、例えば100ページにも記載されている。
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